Antonello Santini » 12.Il significato di funzione d'onda e la sua relazione con la definizione di orbitale

Significato di funzione d’onda

Conseguenza del principio di indeterminazione di Heisenberg è che non ha più senso parlare di elettroni che ruotano intorno all’atomo su certe orbite a cui compete una certa energia, perché si è nell’impossibilità di definire con esattezza orbita ed energia contemporaneamente.
Un nuovo tipo di meccanica fornisce una descrizione più soddisfacente dei sistemi atomici, la meccanica quantistica o meccanica ondulatoria di E. Schrödinger. In questa teoria le leggi ordinarie del moto sono sostituite da equazioni rappresentanti probabilità.

Significato di funzione d’onda

Le equazioni rappresentanti probabilità sono dello stesso tipo di quelle che descrivono il moto di un punto su di una corda vibrante. Sono chiamate equazioni d’onda ed ammettono per soluzioni le cosiddette funzioni d’onda Ψ, che descrivono ognuna lo stato di un solo elettrone ed ad ognuna corrisponde un definito valore della energia del sistema.

Orbita ed orbitale

L’elettrone viene considerato come un piccolo corpo in rapido moto in uno spazio relativamente grande e la grandezza Ψ² in qualunque punto dello spazio rappresenta la probabilità che l’elettrone venga trovato in quel punto in un dato istante.
Con questa interpretazione la rappresentazione ondulatoria ed il concetto di corpuscolo possono trovare una forma di coesistenza. La probabilità di individuare l’elettrone, considerato comunque una particella, in un qualsiasi punto viene determinata dall’equazione d’onda.
Lo spazio occupato dall’elettrone è descritto mediante il concetto di orbitale.

Orbita ed orbitale

L’orbita è la traiettoria circolare o ellittica lungo la quale un elettrone si muoverebbe intorno al nucleo.

L’immagine geometrica dell’orbitale è invece una superficie nello spazio nella quale la probabilità di trovare l’elettrone è massima. Ad ogni orbitale compete un particolare livello di energia.

Orbitale

Lo spazio in cui esiste la probabilità di trovare l’elettrone va dal nucleo all’infinito, ma, per ogni livello energetico, esisterà una parte dello spazio dove è più probabile trovarlo. La probabilità di trovare un elettrone in un punto qualsiasi di un atomo è data dal quadrato della funzione d’onda, Ψ², dell’orbitale in quel punto.
Per l’elettrone dell’idrogeno nello stato fondamentale risulta che la funzione d’onda Ψ non ha alcuna dipendenza angolare ma è solo funzione della distanza; per cui, in questo caso, anche la funzione Ψ² dipende solo dalla distanza che separa l’elettrone dal nucleo. Questo orbitale presenta quindi una simmetria sferica.

Orbitale

Nella figura è evidenziata la variazione di Ψ² per l’orbitale 1s dell’atomo di idrogeno in funzione della distanza r. Si può osservare che la densità elettronica ha un valore massimo a distanza zero, cioè sul nucleo, e che detto valore rapidamente diminuisce al crescere di r; in nessun punto comunque esso raggiunge lo zero, tendendo asintoticamente ad esso.

Rappresentazioni dell’orbitale

Rappresentazione probabilità

Rappresentazioni dell’orbitale

La rappresentazione punteggiata ci suggerisce per l’elettrone l’idea non di una particella solida ma di una nuvola diffusa che avrà la sua densità massima in regioni diverse dello spazio a seconda del tipo di orbitale che rappresenta.
Sebbene in nessuna parte dello spazio la probabilità di trovare l’elettrone sia nulla, per fini pratici, altro modo di rappresentare graficamente un orbitale, è quello di una curva chiusa, cioè la rappresentazione bidimensionale della regione dello spazio nella quale è massima la probabilità di trovare l’elettrone.

Densità radiale

La densità radiale è un’altra importante funzione usata per rappresentare un orbitale, essa rappresenta la probabilità di trovare un elettrone ad una distanza compresa tra r e r + dr, o meglio, in un guscio sferico di spessore infinitesimo dr ad una distanza r dal nucleo.
La densità radiale è data dal prodotto 4πr²Ψ² tra il volume del guscio 4πr²dr, che è praticamente uguale alla superficie sferica 4πr² e la funzione Ψ², che ha lo stesso valore in tutto il volume del guscio.

Densità radiale

Densità di probabilità radiale per gli orbitali 1s e 2s dell'atomo di idrogeno

Densità radiale

Nella figura è riportata la variazione della densità radiale in funzione della distanza dal nucleo per l’orbitale 1s. Partendo dal nucleo, quando r cresce, la probabilità 4πr²Ψ² cresce, perché, sebbene diminuisca la probabilità di trovare l’elettrone, l’elemento di un volume 4πr²dr aumenta rapidamente.

Densità radiale

La curva presenta un massimo e successivamente diminuisce, perché prevale la rapida diminuzione di Ψ². La funzione assume il valore zero per r=0, perché in quel punto 4πr²=0, e per r=∞, perché in quel punto Ψ²=0. Il massimo raggiunto dalla densità radiale è ad un valore della distanza dal nucleo a₀=0,53 Å, che Bohr calcolò come il raggio dell’orbita più stabile nel suo sistema planetario.