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Paolo Masi » 10.Filtrazione - parte seconda


Filtrazione

Un impianto di filtrazione ha una superficie filtrante di 2m2 e opera a pressione costante e pari a 200 kPa. Nei primi 5 minuti di funzionamento si raccoglie un volume di filtrato pari a 0,3 m3. Determinare dopo quando tempo la portata di liquido filtrato si riduce a 5 (10-4) m/s.

\mathbf{K_f\cong 0}

\mathbf{t=\frac{K'_d\alpha}{A^2\Delta p}v^2;\;K'_d\alpha=\frac{tA^2\Delta P}{v^2}}

\mathbf{K'_d\alpha=(5)(60)(2^2)(200000)/(0,3)^2=2,67(10^9)}

\mathbf{v=\frac{A^2\Delta P}{K_d\alpha(v/t)}=\frac{A^2\Delta P}{K_d\alpha(Q)}=\frac{(4)(200000)}{2,67(10^9)(5)(10^{-4})}=0,6m^3}

\mathbf{t=\frac{K'_d\alpha}{A^2\Delta p}v^2=\frac{2,67(10^9)(0,6)^2}{(2)^2(200000)}=1200 s=20 min}

Filtrazione

Un impianto di filtrazione lavora ad una pressione di 100 KPa, nella prima ora di esercizio si ottengono 5 m3 di filtrato. Calcolare a che pressione si deve lavorare la seconda ora di esercizio se si vogliono ottenere altri 5 m3 di filtrato.

\mathbf{dt=\frac{K_d\alpha}{A^2\Delta p}vdv}

\mathbf{t=\frac{K_d\alpha}{2A^2\Delta p}v^2\Longrightarrow K_d\alpha/A^2=(2)(1)(10^5)(1)/25}

Operazioni a Pressione costante

\mathbf{\int dt=\frac{K_d\alpha}{A^2\Delta p}\int vdv=\frac{A^2\Delta P}{K_d\alpha}l\Biggl |_1^2=\frac 1 2 v^2\Biggl |_5^{10}}

\mathbf{\frac{A^2\Delta P}{K_d\alpha}(2-1)=\frac 1 2\,\;(100-25)=\frac{100-25}2=\frac{75}2}

\mathbf{\frac{25\Delta P}{2(10^5)}=\frac{75}2=\Delta P=3(10^5)}

Filtrazione

Un impianto di filtrazione è dotato di una pompa volumetrica che garantisce una portata costante durante tutto l’arco dell’operazione. La pompa è dotata di un dispositivo di sicurezza che arresta il processo quando la pressione di esercizio supera i 250 KPa. Un’ora dopo l’avviamento la pressione di esercizio raggiunge un valore pari a 100 KPa. Sapendo che il deposito ha un coefficiente di compressibilità n = 0,75, calcolare dopo quanto tempo dall’avviamento bisogna arrestare l’operazione di filtrazione per provvedere alla pulizia del filtro.

\mathbf{\alpha=f(\Delta P)=\alpha_0(\Delta P)^n}

\mathbf{\frac{100000^{(0,25)}}{60}=\frac{K_d\alpha_0}{A^2}Q^2=0,2964}

\mathbf{t=\frac{250000^{(0,25)}}{0,2964}=75\;min}

Filtrazione

Ottimizzazione delle operazioni:

  • % coadiuvante di filtrazione
  • Durata del ciclo

\mathbf{t=\frac{K_f}{A\Delta p}v+\frac{K_d\alpha}{A^2\Delta p}v^2}

\mathbf{K_d=\eta C}

Durata ottimale del ciclo di filtrazione

\mathbf{t=\frac{C_1}A v+\frac{C_2}{A^2}v^2}

\mathbf{\Delta P= \; Costante}

\mathbf{C_1=1\;\;\;\;C_2=10\;\;\;\;A=1m^2}

\mathbf{Tempo \; complessivo\;\;\;\; 6h}

\mathbf{Tempo \; pulizia\; filtro\;\;\;\; 1h}

Durata ottimale del ciclo di filtrazione

\mathbf{\frac V{Ciclo}=\frac V{t_f+t_p}}

\mathbf{t_f=C_1(V/A)+C_2(V/A)^2}

\mathbf{\frac d {dV}\left[\frac V {t_f+t_p}\right]=\left[\frac V {C_1(V/A)+C_2(V/A)^2+tp}\right]}

\mathbf{\frac{d f(x)}{dx}=\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g(x)^2}}

\mathbf{\frac d {dV}\left[\frac V{C_1(V/A)+C_2(V/A)^2+tp}\right]=0}

Durata ottimale del ciclo di filtrazione

\mathbf{\frac{[C_1(V/A)+C_2(V/A)^2+tp]-V[2C_2(V/A^2)+C_1/A]}{[C_1(V/A)+C_2(V/A)^2+tp]^2]}}

\mathbf{C_2(V/A)^2+tp=0}

\mathbf{tp-C_2(V/A)^2=0}

\mathbf{(V/A)_{max}=(t_p/C_2)^{1/2}}

\mathbf{t_{ott}=t_p+C_1(t_p/C_2)^{1/2}}

\mathbf{C_1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1}

\mathbf{C_2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;10}

\mathbf{A\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1m^2}

\mathbf{t_{pulizia}\;\;\;\;\;\;\;\;\;1h}

\mathbf{t_{ott}=1+1/(1/10)^{1/2}=1,32=1h20min}

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