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Paolo Masi » 8.Scorrimento di un liquido in un condotto cilindrico


Scorrimento di un liquido in un condotto cilindrico

Bilancio di forze: ΣF = ma = m dv/dt

Bilancio di forze: ΣF = ma = m dv/dt

Bilancio di forze: P0 + Fp + Ft = PL + Fa

Bilancio di forze: P0 + Fp + Ft = PL + Fa


Scorrimento di un liquido in un condotto cilindrico

\mathbf{Po = A \times P(0) = 2\pi r \Delta r P_o\;\;\;\;\;\;\; P_L = A \times P(L) = 2\pi r\Delta \rho PL}

\mathbf{F_p = mg = V\rho g = 2\pi r\Delta rL\rho g\;\;\;\;\;\;\; F_t = 2\pi rL\tau(r)|_{r+\Delta_r} \;\;\;\;\;\;\; F_a = 2\pi rL\tau(r)|_{r +\Delta_r}}

\mathbf{2\pi r\DeltarP_o - 2\pi r\Delta rP_L + 2\pi rL\tau(r)|_r - 2\pi rL\tau(r)|_{r+\Delta r}+ 2\pi r \Delta rL\rho g = 0}

\mathbf{\frac{r(P_o-P_L)}L+r\rho g=\frac{r\tau|_{r+\Delta r}-r\tau(r)|_r}{\Delta r}=\frac{dr\tau(r)}{dr}}

\mathbf{\tau=\frac{r(P_0-P_L)}{2r}+\frac C r}

\mathbf{r=0\;\;\; \tau\ne\infty\;\;\;C=0}

\mathbf{\tau=\frac{r(P_0-P_L)}{2L}=-\frac{\eta dv}{dr}\;\;\;\;\;\; BC\;r= R\;v=0}

\mathbf{V=[(P_0-P_L)/4\eta L]R^2[1-(r/R)^2]}

\mathbf{V_{max}\longrightarrow r=0=[(P_0-P_L)/4\eta L]R^2}

\mathbf{V_{media}=\frac 1 2 V_{max}=[(P_0-P_L)/8\eta L]R^2}

\mathbf{Q=S\times V_{media}=[(P_0-P_L)/8\eta L]R^2\pi R^2=\pi [(P_0-P_L)/8\eta L]R^4}

Quest’ultima è detta Equazione di Hagen – Poiseille

Scorrimento di un liquido in un condotto cilindrico

Un impianto di riempimento di bottiglie di vino può essere schematizzato come un serbatoio dotato di ugello lungo 10 cm del diametro di 2 mm. Si desidera riempire ciascuna bottiglia di vino del volume di 750 cl in 2 secondi. Calcolare la differenza di pressione che si deve applicare sapendo che la viscosità del vino può essere assimilata a quella dell’acqua ed è pari a 0,01 poises.
Si vuole ripetere l’operazione di riempimento a carico questa volta di olio con viscosità 10 poises che si vuole pompare ad una portata di 1000 cl al secondo.

\mathbf{Q = p[(Po-PL)/8\eta L]R^4}

\mathbf{Q = (750/2) cm^3/s\;\;\;L = 10 cm\;\;\;R = 0,1 cm\;\;\;\eta=0,01 Poises[g/(cm)(s)]}

\mathbf{\Delta P [=] (cm/s)(cm)(g/cm s)/cm^4 [=] g cm/s^2}

Primo caso

750/2 x 8 x 0,01 x 10/3,14 x 0,14 = 9554140 x 9,87 10-70,94 atm

Secondo caso

1000 x 8 x 10 x 10/3,14 x 0,14 = 2,5 109 x 9,87 10-72500 atm

Equazione di Hagen – Poiseille

\mathbf{Q=\frac{dv}{dt}=\frac{\Delta P}{\eta R} A}

Filtrazione

Obiettivo: separazione solido-liquido

  • chiarificazione: succhi, olii, bevande fermentate
  • eliminazione sostanze sospese: terre; microorganismi; carboni decoloranti
  • recupero solidio: biomasse; cristalli da acque madri

Fattori che influiscono sulla tecnologia

  • Dimensioni delle particelle
  • Concentrazione particelle sospese
  • Proprietà fisiche del mezzo sospendente
  • Proprietà fisiche delle particelle sospese
  • Valore economico filtrato/solidi sospesi

Filtrazione

  • Filtrazione di superficie
  • Filtrazione di profondità
  • Filtrazione con deposito
  • Diffusione selettiva

Filtrazione

Filtrazione di superficie

  • Mezzo filtrante = membrana microporosa
  • Efficienza di ritenzione = colmataggio

Filtrazione

Filtrazione di profondità

  • Mezzo filtrante = feltro, lana vetro, cartoni
  • Inerzia
  • Sedimentazione
  • Attrazione elettrostatica

Filtrazione

Filtrazione con deposito

  • Mezzo filtrante = deposito particelle

 Filtrazione con deposito comprimibile

  • Colmataggio
  • Aggiunta di coadiuvante di filtrazione: farine fossili

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