Monotonia e derivabilità
f : I → B, I intervallo, f(x) derivabile
f(x) crescente <=> f’(x) ≥ 0
f(x) decrescente <=> f’(x) ≤ 0
Questo teorema ci dice che per determinare la monotonia di una funzione basta studiare il segno della sua derivata; se la funzione non è derivabile in qualche punto interno del dominio, basterà “spezzare” il dominio in tali punti.
Nota: Questo teorema vale se il dominio è un qualsiasi tipo di intervallo (aperto, chiuso, limitato, illimitato…).
Monotonia e derivabilità
E’ immediato determinare la monotonia delle funzioni elementari a partire dal teorema visto.
Nota: Questo teorema vale se il dominio è un qualsiasi tipo di intervallo (aperto, chiuso, limitato, illimitato…).
Esempio
Derivabilità ed approssimazione
Domanda: assegnata la funzione y=f(x), fra i polinomio di primo grado della forma y=r(x)=f(a)+m(x-a) qual è quello che approssima meglio la funzione?
Risposta: la migliore approssimazione è data da y=f(a)+f’(a)(x-a) (equazione della retta tangente in (a, f(a)))
Wikipedia (Tangente)
Derivabilità ed approssimazione
Osservazione: I grafici delle rette di equazione y=r(x)=f(a)+m(x-a) passano tutti per A, e quindi r(a)=f(a). Tuttavia, solo per y=f(a)+f’(a)(x-a) (equazione della retta tangente in (a, f(a))) si verifica r’(a)=f’(a).
Il numeratore tende a zero più velocemente del denominatore
Derivabilità ed approssimazione
f(x0+ε) ≈ f(x0) + f’(x0)⋅ε per ε “piccolo”!
I numeri nella quinta colonna della tabella in figura vanno a zero più velocemente di quelli nella quarta.
Prossima lezione
Concavità, convessità, grafico di una funzione
- Concavità e convessità
- Tracciare il grafico di una funzione
Le lezioni del Corso
2. Prerequisiti per il Corso: Equazione della retta, Equazioni e Disequazioni di I grado
3. Prerequisiti per il Corso: Modelli Lineari, Equazioni e Disequazioni di Secondo Grado
5. Proprietà caratteristiche delle funzioni
6. Funzioni elementari (potenza, radice, valore assoluto)
7. Funzioni elementari (esponenziale e logaritmo)
8. Introduzione al concetto di limite
9. Limiti (definizioni), continuità
10. Proprietà delle funzioni continue
12. Introduzione al concetto di derivata
14. Applicazioni delle derivate
15. Concavità, convessità, grafico di una funzione
16. Grafici di funzione e problemi collegati
18. Integrazione
I materiali di supporto della lezione
ADAMS, Capitolo 2.7
