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Gerardo Toraldo » 14.Applicazioni delle derivate


Monotonia e derivabilità

f : I → B, I intervallo, f(x) derivabile

f(x) crescente <=> f’(x) ≥ 0

f(x) decrescente <=> f’(x) ≤ 0

Questo teorema ci dice che per determinare la monotonia di una funzione basta studiare il segno della sua derivata; se la funzione non è derivabile in qualche punto interno del dominio, basterà “spezzare” il dominio in tali punti.

Nota: Questo teorema vale se il dominio è un qualsiasi tipo di intervallo (aperto, chiuso, limitato, illimitato…).

Lezione 14.1 – Applicazioni delle derivate

Monotonia

Monotonia e derivabilità

E’ immediato determinare la monotonia delle funzioni elementari a partire dal teorema visto.

Nota: Questo teorema vale se il dominio è un qualsiasi tipo di intervallo (aperto, chiuso, limitato, illimitato…).

Esempio

Esempio


Derivabilità ed approssimazione

Domanda: assegnata la funzione y=f(x), fra i polinomio di primo grado della forma y=r(x)=f(a)+m(x-a) qual è quello che approssima meglio la funzione?

Risposta: la migliore approssimazione è data da y=f(a)+f’(a)(x-a) (equazione della retta tangente in (a, f(a)))

Wikipedia (Tangente)


Derivabilità ed approssimazione

Osservazione: I grafici delle rette di equazione y=r(x)=f(a)+m(x-a) passano tutti per A, e quindi r(a)=f(a). Tuttavia, solo per y=f(a)+f’(a)(x-a) (equazione della retta tangente in (a, f(a))) si verifica r’(a)=f’(a).

Il numeratore tende a  zero più velocemente del denominatore

Il numeratore tende a zero più velocemente del denominatore


Derivabilità ed approssimazione

f(x0+ε) ≈ f(x0) + f’(x0)⋅ε per ε “piccolo”!

I numeri nella quinta colonna della tabella in figura vanno a zero più velocemente di quelli nella quarta.

Lezione 14.2 – Applicazioni delle derivate

Formula di Taylor


Prossima lezione

Concavità, convessità, grafico di una funzione

  • Concavità e convessità
  • Tracciare il grafico di una funzione

I materiali di supporto della lezione

ADAMS, Capitolo 2.7

Lezione 14.1 - Applicazioni delle derivate

Lezione 14.2 - Applicazioni delle derivate

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