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Gerardo Toraldo » 4.Il concetto di funzione


Funzioni Matematiche: Cenni storici

Alle origini del Calcolo differenziale

La genesi del calcolo differenziale, così come lo intendiamo oggi va ricercato nel XVII secolo nei tentativi di risolvere una serie di problemi, quali:

  • Definire la tangente ad una curva.
  • Descrivere la velocità istantanea di un punto.
  • Calcolare l’area di una superficie descritta dall’intersezione di curve.
  • Calcolare la somma di una serie.
  • Risoluzione di problemi di minimo.

Apparentemente scollegati fra loro, accomunati però dal fatto che per un loro trattamento, gli strumenti della geometria cartesiana e dell’algebra apparivano inadeguati. Studiosi quali Cartesio, Fermat, Wallis, Gregory, Cavalieri, Barrow, Torricelli, Roberval, Leibniz e Newton (solo per citarne alcuni!) furono coinvolti in tale processo. Tuttavia, spetta a Leibniz e Newton il merito di avere fornito una prima formalizzazione teorica di un sistema, il calcolo differenziale appunto, in cui i problemi sopra elencati, e molti altri, poterono essere adeguatamente inquadrati e risolti.

Wikipedia (Calcolo differenziale); Wikipedia (Concetto di funzione)

Per i più esigenti; Per quelli veramente curiosi

Funzioni Matematiche: Cenni storici

Alle origini del Calcolo differenziale

Le esigenze, apparentemente scollegate, alla base dei problemi prima elencati possono essere sintetizzati come:

  1. Necessità di una matematica che consenta di trattare “dinamicamente” il moto fisico (descrizione del moto e della sua variazione (velocità)).
  2. Trattare concetti apparentemente metafisici, quali l’infinitamente grande e l’infinitamente piccolo.

Funzioni Matematiche: Cenni storici

Alle origini del Calcolo differenziale

Come osserva lo storico A.Koyré nei suoi “Studi newtoniani” (Ed. Einaudi, 1972), la geometrizzazione del mondo fisico implica una matematica in cui “Le curve e le figure non risultano costituite da diversi elementi geometrici, non vengono formate nello spazio dall’intersezione di corpi e piani geometrici, e neppure rappresentano un’immagine spaziale delle relazioni strutturali espresse in esse da formule algebriche. Sono invece determinate e descritte dal moto di punti e linee nello spazio”. Newton abbandona quindi una definizione statica (quale quella algebrica Cartesiana) degli enti geometrici per una definizione dinamica. Questa concezione delle grandezze geometriche come generate da moti continui, e quindi tutte dipendenti dal tempo — piuttosto che come aggregati di elementi infinitesimi — é alla base del “Methodus fluxionum et serierum infinitarum” (Giorgio Israel): 1673 il manoscritto, 1742 la stampa.

Per saperne di più

Funzioni Matematiche: Cenni storici

… la grande diversità fra la concezione leibniziana del calcolo e quella newtoniana. Mentre infatti Newton é mosso dalla esigenza di forgiare uno strumento che gli permetta di cogliere “dinamicamente” il moto fisico, Leibniz avverte il bisogno di trovare sei “segni”, di organizzare un calcolo che permetta all’uomo di cogliere la continuità del reale e dell’ideale e di trattare insieme quantità incomparabili e concetti opposti; un granello di sabbia e il globo terrestre, il moto e la quiete, la coincidenza e la distanza.
Si tratta appunto del calcolo differenziale, che permette di maneggiare l’infinito e l’infinitamente piccolo e quindi di studiare insieme delle quantità incomparabili e di cogliere il trasferirsi di un concetto nel suo opposto mediante un passaggio infinitesimo; così la quiete può essere interpretata come un moto infinitamente piccolo e la coincidenza come una distanza infinitesima. Questo calcolo permetterà quindi all’uomo di penetrare più profondamente la natura.

(Giorgio Israel)

Il concetto di Funzione

Alla base del calcolo differenziale esiste il concetto di funzione. Il termine funzione è stato introdotto nella matematica da Gottfried Wilhelm LEIBNIZ nel 1664, per denotare una quantità collegata ad una curva, come la pendenza di una curva o uno specifico punto di una curva.

Successivamente, intorno alla metà del XVIII secolo la parola funzione fu usata da EULERO per descrivere una espressione o una formula che coinvolge vari argomenti, come ad es. f(x) = sin(x) + x3.

Verso la fine del XIX secolo i matematici hanno cominciato a tentare di formalizzare l’intera matematica servendosi della teoria degli insiemi e si sono proposti di definire ogni entità matematica mediante un insieme. DIRICHLET e LOBACHEVSKIJ indipendentemente e quasi simultaneamente hanno data la moderna definizione “formale” di funzione secondo cui “una funzione è un caso speciale di una relazione”.

Il concetto di Funzione

Nell’esperienza quotidiana si utilizza già implicitamente il concetto di funzione quando si afferma che:

  • “La temperatura dipende dall’altitudine”.
  • “Il tempo di percorrenza del treno dipende dalla lunghezza del percorso effettuato”.
  • “La misura di una circonferenza è funzione della lunghezza del raggio”.
  • “La vacanza che posso permettermi è funzione del mio stipendio”.

Nel linguaggio comune l’espressione “dipende da” è equivalente a “è funzione di”, esprimendo il concetto di relazione o dipendenza fra due o più entità. In matematica, una funzione è una relazione con particolari caratteristiche.

Il concetto di Funzione

Definizione

Siano A, B ⊆ R, A, B ≠ Ø. Si definisce funzione reale f da A (dominio) a B (codominio) di variabile reale x una corrispondenza che ad ogni elemento x (variabile indipendente) di A associa uno ed un solo elemento y (variabile dipendente) di B.

f : A → B

f : x ∈ A → y ∈ B

→ <=> “associa”

Lezione 4.1 – Il concetto di funzione

Il concetto di Funzione

Proprio l’univocità dell’associazione è l’elemento caratterizzante del concetto di funzione e caratterizza il concetto di funzione matematica rispetto al termine funzione così come utilizzato nel linguaggio comune (se diciamo che l’acquisto di una casa è funzione della cifra che si ha a disposizione, non intendiamo certo dire che fissata la cifra, la casa da acquistare è individuata in maniera univoca! La scelta dipende dalla cifra, ma anche da altri motivi.

Funzioni: esempi

  • La procedura che ad una assegnato codice fiscale associa il nome e cognome della persona titolare di tale codice fiscale è una funzione (il codice fiscale identifica in maniera univoca il suo titolare).
  • La procedura che ad una assegnata coppia (nome, cognome) associa il relativo codice fiscale non è una funzione (possono esistere differenti persone aventi uguale nome e cognome, e quindi differente codice fiscale). Tale procedura è una funzione se di una persona si considerano, quale identificativo, le generalità complete.

Funzioni: esempi

  1. E’ una funzione (è possibile calcolare in maniera univoca l’immagine di ogni numero reale).
  2. Non è una funzione (non è possibile calcolare l’immagine di alcun numero negativo).
  3. Non è una funzione (non è possibile calcolare univocamente l’immagine di alcun numero negativo); ad es. 4 potrebbe avere come immagine +2 o -2
  4. E’ una funzione (è possibile calcolare univocamente l’immagine di ciascun elemento del dominio); questa funzione non è altro che la funzione radice quadrata di x.

Grafico di una funzione

E’ l’insieme dei punti P del piano cartesiano Oxy che hanno per ascissa il generico elemento x del dominio e per ordinata il valore y = f(x). Il grafico di una funzione fornisce una rappresentazione sintetica della funzione

y = f(x)

mostrandone le principali caratteristiche e proprietà.

Lezione 4.2 – Il concetto di funzione

Definizioni, dominio e insieme immagine


Prossima lezione

Proprietà caratteristiche delle funzioni

  • Invertibilità
  • Monotonia
  • Limitatezza
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