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Gerardo Toraldo » 18.Integrazione


Il concetto di Integrale: motivazioni e obiettivi

Il concetto d’integrale è legato alla risoluzione di due classi di problemi:

Integrale Definito:

  • Calcolo delle aree di figure delimitate da curve
  • Calcolo di volumi
  • Calcolo del lavoro di una forza

Integrale Indefinito:

  • Calcolo dell’espressione analitica di una funzione a partire dalla derivata della funzione stessa.

Il concetto di Integrale: cenni storici

L’idea di base del concetto di integrale si trova già in parte nel metodo usato da Archimede di Siracusa (vissuto tra il 287 ed il 212 a.C) per il calcolo dell’area del cerchio o del segmento di parabola e più precisamente per il calcolo dell’area della superficie racchiusa dal primo giro della spirale.

Archimede di Siracusa

Verso il concetto di Integrale: area di figure piane

Aree di figure piane

Aree di figure piane


Verso il concetto di Integrale: calcolo delle aree

Area del Rettangolo

Basta decomporre la superficie del rettangolo in quadratini di area unitaria.


Verso il concetto di Integrale: calcolo delle aree

Area del Poligono

È la situazione più semplice in quanto qualunque poligono può essere scomposto in triangoli e la sua area ricondotta alla somma delle aree dei triangoli in cui è stato decomposto.

  • Poligoni regolari: scomponendoli in triangoli congruenti è facile calcolare l’area.
  • Poligoni irregolari: basta scomporli opportunamente in triangoli.

Verso il concetto di Integrale: calcolo delle aree

Area del Cerchio

  • Il calcolo dell’area del cerchio è molto più complesso in quanto non è possibile scomporre il cerchio in triangoli.
  • E’ possibile però calcolare l’area per approssimazioni successive mediante poligoni regolari inscritti nel cerchio e poligoni regolari circoscritti al cerchio.
  • Si dimostra che: l’area del cerchio è uguale al limite comune, quando il numero lati → ∞, al quale tendono le successioni formate dalle aree dei poligoni inscritti e circoscritti al cerchio.

Verso il concetto di Integrale: calcolo delle aree

Area del Rettangoloide relativo ad una funzione

Assegnata una funzione f continua nell’intervallo [a;b], vogliamo calcolare l’area della regione di piano compresa tra l’asse x, le due rette verticali di equazione x = a e x = b ed il grafico di f. Tale regione di piano è detta Rettangoloide relativo alla funzione f.


Integrale definito di una funzione

Definizione

Assegnata una funzione f continua nell’intervallo [a,b], l’integrale definito della funzione f (x) relativamente all’intervallo [a,b] è la misura dell’area del rettangolide R relativo alla funzione f e si indica con il simbolo in figura.

Lezione 18.2 – Integrazione

Richiami teorici


Prossima lezione

Teoremi, Funzioni primitive, Integrale indefinito

  • Teorema della media integrale
  • Teorema fondamentale del calcolo integrale
  • Primitiva di una funzione
  • Definizione di integrale indefinito

I materiali di supporto della lezione

Lezione 18.2 - Integrazione

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