Come già accennato nella lezione 4, la nascita del calcolo differenziale, va ricercato nel tentativi di risolvere una serie di problemi; alcuni di essi, di natura affatto differente, quali:
possono essere affrontati e risolti (almeno in un consistente numero di casi) mediante l’uso dello strumento matematico della derivata di funzione.
Wikipedia (velocità istantanea)
Abbiamo gia visto come il concetto di limite consente di gestire il problema della valutazione di una funzione. Non ci consente però di stimare la monotonia di una funzione (crescente o decrescente?) e di valutarne la velocità di variazione. Ad esempio per le tre funzioni riportate in figura si ha che il limite per x tendente a 1 è uguale a 1. La loro monotonia è ovviamente differente.
In particolare una di esse è decrescente, le altre due sono crescenti. Queste ultime, inoltre, sembrano mostrare una differente “velocità di crescita”.
Occorre dunque un “indice di variabilità” che consenta di:
Notiamo che per la funzione y=mx+n sappiamo rispondere alle due domande precedenti: la monotonia dipende dal coefficiente angolare m (se positivo, la funzione è crescente, se negativo decrescente) e, fra due rette aventi coefficiente angolare positivo, quella con coefficiente angolare maggiore ha pendenza maggiore.
Notiamo che il rapporto incrementale coincide con il coefficiente angolare della retta per A e B (secante il grafico nei punti (x,f(x)), (x+h, f(x+h)) ).
Nota: Il rapporto incrementale positivo garantisce che la funzione decresce passando da x a x+h, ma non che decresce fra x e x+h !
Un’informazione puntuale in a circa la monotonia richiede che si consideri un “intervallo [a, a+h] molto piccolo”.
Wikipedia (definizione e proprietà)
Diremo che una funzione è derivabile in un punto se esiste ed è finito in tale punto il limite del rapporto incrementale df(x)/dx.
Il calcolo della derivata, per ognuna delle funzioni elementari viste richiede il calcolo di un limite nella forma 0/0 che, fortunatamente, siamo in grado di risolvere.
Nota: le notazioni in seconda immagine sono dovute a Leibniz.
APPLET: definizione di derivata
Wikipedia (derivata)
La derivata in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in tale punto.
Una funzione derivabile in un intervallo, è una funzione il cui grafico è dotato di retta tangente in ogni suo punto (sul calcolo della retta tangente torneremo anche più avanti).
Il calcolo delle derivate
2. Prerequisiti per il Corso: Equazione della retta, Equazioni e Disequazioni di I grado
3. Prerequisiti per il Corso: Modelli Lineari, Equazioni e Disequazioni di Secondo Grado
5. Proprietà caratteristiche delle funzioni
6. Funzioni elementari (potenza, radice, valore assoluto)
7. Funzioni elementari (esponenziale e logaritmo)
8. Introduzione al concetto di limite
9. Limiti (definizioni), continuità
10. Proprietà delle funzioni continue
12. Introduzione al concetto di derivata
14. Applicazioni delle derivate
15. Concavità, convessità, grafico di una funzione
16. Grafici di funzione e problemi collegati
18. Integrazione
ADAMS. Capitoli 2.1; 2.2