Il concetto di limite
Una parte significativa del corso è dedicata allo studio di funzione. Più precisamente, ciò che ci interessa di una funzione è:
- Conoscere, se possibile, la rappresentazione analitica della funzione
- Calcolarne dominio e immagine (variabilità complessiva di x e y)
- Valutare la funzione nel dominio e nei punti “vicini al dominio”
- Stimare la variazione Δy della variabile dipendente in corrispondenza di una variazione Δx della variabile indipendente
- Conoscere la rappresentazione grafica della funzione
Una introduzione intuitiva al concetto di limite
L’introduzione del concetto di limite consente di affrontare in maniera rigorosa il problema di valutare la funzione nel dominio e nei punti “vicini al dominio”, compresi gli estremi (Punti di Accumulazione del dominio).
Una introduzione intuitiva al concetto di limite
Ha però senso chiedersi:
- Qual è il comportamento della funzione “vicino al punto 1″ che non sta nel dominio pur essendone un estremo
- Il comportamento asintotico (cioè a +∞) della funzione.
In particolare, il secondo problema è di particolare interesse per le applicazioni; se f(x) è una legge di crescita di popolazione e x rappresenta il tempo, la domanda che ci si pone è: cosa succederà alla popolazione in tempi lunghi?
Si osservi che non ha nessun senso chiedersi qual è il comportamento a -1 (tale punto non ha alcun collegamento con il dominio della nostra funzione!).
Una introduzione intuitiva al concetto di limite
Calcolando la funzione in una sequenza di punti via via più vicini ad 1 osserviamo che il valore di f(x) assume valori sempre più vicini a zero, o, in altre parole, si “stabilizza” intorno a zero.
Una introduzione intuitiva al concetto di limite
Calcolando la funzione in una sequenza di punti via via più “vicini a +∞” (cioè positivi, via via più grandi) osserviamo che il valore di f(x) assume valori positivi sempre più grandi, o, in altre parole, tende a +∞
Una introduzione intuitiva al concetto di limite
Numerosi esempi analoghi, in cui si verificano differenti eventualità (limite finito all’infinito, limite infinito al finito, no esistenza del limite, etc.) sono in questa dispensa.
Un rigoroso trattamento del concetto di limite sarà oggetto delle prossime lezioni.
Limite finito al finito
Questa scrittura può essere interpretata come segue: “quanto più x si avvicina al valore a, tanto più f(x) si avvicina ad L“, o, per essere più precisi, scelto un intorno di L di ampiezza piccola a piacere (ε), f(x) starà in tale intorno purchè x venga scelto ad una distanza sufficientemente piccola (δ) da a .
Si osservi che la definizione di limite:
- non presuppone che f(x) sia definita in a
- presuppone che f(x) sia definita “intorno ad a“
- non garantisce che la funzione assuma il valore L
Prossima lezione
Limiti (definizioni)
- limiti all’infinito
- limiti infiniti al finito
- Questo insegnamento prevede anche l'uso di una diversa piattaforma.
Le lezioni del Corso
2. Prerequisiti per il Corso: Equazione della retta, Equazioni e Disequazioni di I grado
3. Prerequisiti per il Corso: Modelli Lineari, Equazioni e Disequazioni di Secondo Grado
5. Proprietà caratteristiche delle funzioni
6. Funzioni elementari (potenza, radice, valore assoluto)
7. Funzioni elementari (esponenziale e logaritmo)
8. Introduzione al concetto di limite
9. Limiti (definizioni), continuità
10. Proprietà delle funzioni continue
12. Introduzione al concetto di derivata
14. Applicazioni delle derivate
15. Concavità, convessità, grafico di una funzione
16. Grafici di funzione e problemi collegati
18. Integrazione
I materiali di supporto della lezione
ADAMS, Capitolo 1
Lezione 8.1 - Introduzione al concetto di limite
