Youlaurea.it
Vai alla Home Page About me Courseware Federica Living Library Federica Federica Podstudio Virtual Campus 3D Le Miniguide all'orientamento Gli eBook di Federica La Corte in Rete
 
 
Il Corso Le lezioni del Corso La Cattedra
 
Materiali di approfondimento Risorse Web Il Podcast di questa lezione

Gerardo Toraldo » 8.Introduzione al concetto di limite


Il concetto di limite

Una parte significativa del corso è dedicata allo studio di funzione. Più precisamente, ciò che ci interessa di una funzione è:

  • Conoscere, se possibile, la rappresentazione analitica della funzione
  • Calcolarne dominio e immagine (variabilità complessiva di x e y)
  • Valutare la funzione nel dominio e nei punti “vicini al dominio”
  • Stimare la variazione Δy della variabile dipendente in corrispondenza di una variazione Δx della variabile indipendente
  • Conoscere la rappresentazione grafica della funzione

Una introduzione intuitiva al concetto di limite

L’introduzione del concetto di limite consente di affrontare in maniera rigorosa il problema di valutare la funzione nel dominio e nei punti “vicini al dominio”, compresi gli estremi (Punti di Accumulazione del dominio).


Una introduzione intuitiva al concetto di limite

Ha però senso chiedersi:

  1. Qual è il comportamento della funzione “vicino al punto 1″ che non sta nel dominio pur essendone un estremo
  2. Il comportamento asintotico (cioè a +∞) della funzione.

In particolare, il secondo problema è di particolare interesse per le applicazioni; se f(x) è una legge di crescita di popolazione e x rappresenta il tempo, la domanda che ci si pone è: cosa succederà alla popolazione in tempi lunghi?

Si osservi che non ha nessun senso chiedersi qual è il comportamento a -1 (tale punto non ha alcun collegamento con il dominio della nostra funzione!).


Una introduzione intuitiva al concetto di limite

Calcolando la funzione in una sequenza di punti via via più vicini ad 1 osserviamo che il valore di f(x) assume valori sempre più vicini a zero, o, in altre parole, si “stabilizza” intorno a zero.


Una introduzione intuitiva al concetto di limite

Calcolando la funzione in una sequenza di punti via via più “vicini a +∞” (cioè positivi, via via più grandi) osserviamo che il valore di f(x) assume valori positivi sempre più grandi, o, in altre parole, tende a +∞


Una introduzione intuitiva al concetto di limite

Numerosi esempi analoghi, in cui si verificano differenti eventualità (limite finito all’infinito, limite infinito al finito, no esistenza del limite, etc.) sono in questa dispensa.

Un rigoroso trattamento del concetto di limite sarà oggetto delle prossime lezioni.


Limite finito al finito

Questa scrittura può essere interpretata come segue: “quanto più x si avvicina al valore a, tanto più f(x) si avvicina ad L“, o, per essere più precisi, scelto un intorno di L di ampiezza piccola a piacere (ε), f(x) starà in tale intorno purchè x venga scelto ad una distanza sufficientemente piccola (δ) da a .

Si osservi che la definizione di limite:

  • non presuppone che f(x) sia definita in a
  • presuppone che f(x) sia definita “intorno ad a
  • non garantisce che la funzione assuma il valore L

Lezione 8.3 – Introduzione al concetto di limite

Prossima lezione

Limiti (definizioni)

  • limiti all’infinito
  • limiti infiniti al finito
  • Contenuti protetti da Creative Commons
  • Feed RSS
  • Condividi su FriendFeed
  • Condividi su Facebook
  • Segnala su Twitter
  • Condividi su LinkedIn
Progetto "Campus Virtuale" dell'Università degli Studi di Napoli Federico II, realizzato con il cofinanziamento dell'Unione europea. Asse V - Società dell'informazione - Obiettivo Operativo 5.1 e-Government ed e-Inclusion