Una funzione
f: A → B con A, B ⊆ R e A, B ≠ ∅
Ma che vuol dire praticamente che una funzione f è invertibile?
Vuol dire che a partire dalla funzione f è possibile costruire una nuova funzione, detta inversa ed indicata con f-1 che “procede a ritroso” rispetto ad f.
f(x) = x3
f(2) = 8; f(3) = 27
f-1(x) = 3√x
f-1(8) = 2; f-1(27) = 3
Nota : non sempre è possibile costruire una tale funzione.
Ma chi è l’inversa f -1 di una funzione invertibile f ?
Il grafico di f -1 si ottiene da quello di f mediante due rotazioni.
Una funzione
f: A → B con A, B ⊆ R e A, B ≠ ∅
si dice monotòna se è strettamente crescente, crescente, strettamente decrescente o decrescente.
x1, x2 ∈ A: x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≤ [<] f (x2)
x1, x2 ∈ A: x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≥ [>] f (x2)
In una funzione crescente, la variabile indipendente “segue l’andamento” della variabile dipendente; al crescere della prima, cresce anche la seconda. L’opposto accade per una funzione decrescente.
Non tutte le funzioni sono monotòne; tutte le funzioni che considereremo sono monotone a tratti (il dominio può essere suddiviso in intervalli all’interno dei quali la funzione è monotòna).
Quando si parla di limitatezza di una funzione si fa riferimento alla limitatezza della sua immagine. Quindi, per minimo assoluto, massimo assoluto, estremo inferiore, estremo superiore di una funzione si intende, rispettivamente, minimo assoluto, massimo assoluto, estremo inferiore, estremo superiore dell’immagine della funzione. La ricerca degli estremi di una funzione sarà oggetto di una parte significativa di questo corso.
Una funzione è limitata superiormente [inferiormente] se il suo grafico si trova tutto al di sotto [sopra] di una retta parallela all’asse delle ascisse. Se una tale retta non esiste, la funzione è illimitata superiormente [inferiormente].
La funzione y=x2 è chiaramente limitata inferiormente: assume solo valori non negativi e quindi per ogni h ≤ 0.
f (x) strettamente monotona ⇒ f(x) iniettiva
Nota: l’invertibilità non implica la stretta monotonia (condizione sufficiente, ma non necessaria). Verificheremo in seguito che l’equivalenza vale in certe ipotesi di “regolarità” per la funzione.
Si osservi che:
f -1 f (x)= x
L’esistenza di f -1 è fondamentale per la risoluzione dell’equazione
f (x) = a
equivalente a f -1 f (x)= f -1(a) e quindi x= f -1(a).
Esempio: x3=9 ⇔ 3√x3 = 3√9 ⇔ x=3√9
Si osservi che l’esistenza di f -1 e la conoscenza della monotonia di f (x) è fondamentale per la risoluzione della disequazione
f (x) ≥ a
equivalente a
f -1 f (x) ≥ f -1(a) se f (x) è crescente,
oppure a f -1 f (x) ≤ f -1(a) se f (x) è decrescente (anche f -1 lo è, e quindi la disequazione si inverte).
Esempio: x3≥9 ⇔ 3√x3 ≥ 3√9 ⇔ x≥3√9
Funzioni elementari
2. Prerequisiti per il Corso: Equazione della retta, Equazioni e Disequazioni di I grado
3. Prerequisiti per il Corso: Modelli Lineari, Equazioni e Disequazioni di Secondo Grado
5. Proprietà caratteristiche delle funzioni
6. Funzioni elementari (potenza, radice, valore assoluto)
7. Funzioni elementari (esponenziale e logaritmo)
8. Introduzione al concetto di limite
9. Limiti (definizioni), continuità
10. Proprietà delle funzioni continue
12. Introduzione al concetto di derivata
14. Applicazioni delle derivate
15. Concavità, convessità, grafico di una funzione
16. Grafici di funzione e problemi collegati
18. Integrazione
Lezione 5.1 - Proprietà caratteristiche delle funzioni
Lezione 5.2 - Proprietà caratteristiche delle funzioni
Lezione 5.3 - Proprietà caratteristiche delle funzioni