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Gerardo Toraldo » 5.Proprietà caratteristiche delle funzioni


Invertibilità

Una funzione

f: A → B con A, B ⊆ R e A, B ≠ ∅

  • Si dice suriettiva se l’immagine f (A) del dominio A mediante f coincide con l’insieme di arrivo B.
  • Si dice iniettiva se ∀ x1, x2 ∈ A: x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2).
  • Si dice invertibile se è contemporanemente iniettiva e suriettiva.

Lezione 5.1 – Proprietà caratteristiche delle funzioni

Proprietà iniettiva, suriettiva, biiettiva

Invertibilità

Ma che vuol dire praticamente che una funzione f è invertibile?

Vuol dire che a partire dalla funzione f è possibile costruire una nuova funzione, detta inversa ed indicata con f-1 che “procede a ritroso” rispetto ad f.

f(x) = x3

f(2) = 8; f(3) = 27

f-1(x) = 3√x

f-1(8) = 2; f-1(27) = 3

Nota : non sempre è possibile costruire una tale funzione.

Invertibilità (esempi)


Grafico della funzione inversa

Ma chi è l’inversa f -1 di una funzione invertibile f ?

Il grafico di f -1 si ottiene da quello di f mediante due rotazioni.

Funzione inversa


Monotonia

Una funzione

f: A → B con A, B ⊆ R e A, B ≠ ∅

si dice monotòna se è strettamente crescente, crescente, strettamente decrescente o decrescente.

  • f(x) [strettamente] crescente se

x1, x2 ∈ A: x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≤ [<] f (x2)

  • f(x) [strettamente] decrescente se

x1, x2 ∈ A: x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≥ [>] f (x2)

Lezione 5.2 – Proprietà caratteristiche delle funzioni

Monotonia

In una funzione crescente, la variabile indipendente “segue l’andamento” della variabile dipendente; al crescere della prima, cresce anche la seconda. L’opposto accade per una funzione decrescente.


Monotonia

Non tutte le funzioni sono monotòne; tutte le funzioni che considereremo sono monotone a tratti (il dominio può essere suddiviso in intervalli all’interno dei quali la funzione è monotòna).

Monotonia

Massimi e minimi

Simmetrie

Periodicità


Limitatezza di una funzione

Quando si parla di limitatezza di una funzione si fa riferimento alla limitatezza della sua immagine. Quindi, per minimo assoluto, massimo assoluto, estremo inferiore, estremo superiore di una funzione si intende, rispettivamente, minimo assoluto, massimo assoluto, estremo inferiore, estremo superiore dell’immagine della funzione. La ricerca degli estremi di una funzione sarà oggetto di una parte significativa di questo corso.

Lezione 5.3 – Proprietà caratteristiche delle funzioni

Limitatezza di una funzione

Una funzione è limitata superiormente [inferiormente] se il suo grafico si trova tutto al di sotto [sopra] di una retta parallela all’asse delle ascisse. Se una tale retta non esiste, la funzione è illimitata superiormente [inferiormente].


Limitatezza di una funzione

La funzione y=x2 è chiaramente limitata inferiormente: assume solo valori non negativi e quindi per ogni h ≤ 0.


Limitatezza di una funzione

Esercizi 5


Monotonia e invertibilità

f (x) strettamente monotona ⇒ f(x) iniettiva

Nota: l’invertibilità non implica la stretta monotonia (condizione sufficiente, ma non necessaria). Verificheremo in seguito che l’equivalenza vale in certe ipotesi di “regolarità” per la funzione.

Lezione 5.4 – Proprietà caratteristiche delle funzioni


Monotonia e invertibilità

Si osservi che:

f -1 f (x)= x

L’esistenza di f -1 è fondamentale per la risoluzione dell’equazione

f (x) = a

equivalente a f -1 f (x)= f -1(a) e quindi x= f -1(a).

Esempio: x3=9 ⇔ 3√x3 = 3√9 ⇔ x=3√9

Monotonia e invertibilità

Si osservi che l’esistenza di f -1 e la conoscenza della monotonia di f (x) è fondamentale per la risoluzione della disequazione

f (x) ≥ a

equivalente a

f -1 f (x) ≥ f -1(a) se f (x) è crescente,

oppure a f -1 f (x) ≤ f -1(a) se f (x) è decrescente (anche f -1 lo è, e quindi la disequazione si inverte).

Esempio: x3≥9 ⇔ 3√x33√9 ⇔ x≥3√9

Lezione 5.5 – Proprietà caratteristiche delle funzioni

Funzione composta

Prossima lezione

Funzioni elementari

  • Funzioni potenza e radice
  • Disequazioni irrazionali
  • Funzione valore assoluto
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