Proprietà delle funzioni continue
Le proprietà delle funzioni continue sono espresse da alcuni teoremi, la cui interpretazione grafica è immediata e le cui applicazioni al calcolo del grafico di una funzione sono estremamente interessanti.
In particolare, a partire da queste proprietà è possibile:
- Calcolare, per le funzioni elementari, i limiti agli estremi dei rispettivi domini.
- Valutare la limitatezza delle funzioni continue.
- Calcolare le immagini delle funzioni continue monotòne.
Regolarità agli estremi delle funzioni continue monotone
Nota: questo teorema vale se il dominio è un qualsiasi tipo di intervallo (aperto, chiuso, limitato, illimitato…).
Regolarità agli estremi delle funzioni continue monotone
I teoremi di regolarità ora visti dicono semplicemente che il grafico di una funzione monotona definita in un intervallo avrà “i punti più alto e più basso” agli estremi dell’intervallo (se faccio un cammino tutto in salita, necessariamente partirò dal punto più basso per arrivare, al termine, nel punto più alto).
Teorema di Weierstrass
Questo teorema dice semplicemente che il grafico di una funzione continua in un intervallo chiuso ammette un valore minimo e un valore massimo per le ordinate (se faccio un cammino “senza salti”, alla fine della giornata avrò registrato due punti di minima e massima altitudine raggiunti).
Nota: Questo teorema non assicura l’unicità dei punti di minimo e di massimo.
Teorema dei valori intermedi
Questo teorema dice semplicemente che una funzione continua in un intervallo, se assume due valori, deve assumere tutti quelli compresi, (intermedi appunto) (se faccio un cammino “senza salti”, alla fine della giornata avrò registrato due punti di minima e massima altitudine raggiunti, e sarò necessariamente passato per tutte le altezze intermedie).
Nota: Questo teorema vale se il dominio è un qualsiasi tipo di intervallo (aperto, chiuso, limitato, illimitato…).
Teorema degli zeri
Questo teorema dice semplicemente che se il grafico di una funzione continua passa da un punto ad ordinata positiva ad uno ad ordinata negativa (o viceversa), esso dovrà necessariamente attraversare l’asse delle ascisse.
Su questo teorema si basa un metodo per il calcolo approssimato delle radici di una funzione (metodo di bisezione).
Immagine di una funzione continua in un intervallo
f: (a,b) → B con f(x) continua => f(x) assume tutti i valori compresi tra inf(f(x)) e sup(f(x))
=> L’immagine di f(x) è un intervallo di estremi inf(f(x)) e sup(f(x))
Una funzione continua trasforma intervalli in intervalli.
Immagine di una funzione continua in un intervallo chiuso
f: [a,b] → B con f(x) continua
Teorema dei valori intermedi & Teorema di Weierstrass
=> L’immagine di f(x) è un intervallo chiuso di estremi min(f(x)) e max(f(x))
Una funzione continua trasforma intervalli chiusi in intervalli chiusi.
Prossima lezione
Calcolo dei limiti
- Operazioni con i limiti
- Forme indeterminate
- Questo insegnamento prevede anche l'uso di una diversa piattaforma.
Le lezioni del Corso
2. Prerequisiti per il Corso: Equazione della retta, Equazioni e Disequazioni di I grado
3. Prerequisiti per il Corso: Modelli Lineari, Equazioni e Disequazioni di Secondo Grado
5. Proprietà caratteristiche delle funzioni
6. Funzioni elementari (potenza, radice, valore assoluto)
7. Funzioni elementari (esponenziale e logaritmo)
8. Introduzione al concetto di limite
9. Limiti (definizioni), continuità
10. Proprietà delle funzioni continue
12. Introduzione al concetto di derivata
14. Applicazioni delle derivate
15. Concavità, convessità, grafico di una funzione
16. Grafici di funzione e problemi collegati
18. Integrazione
I materiali di supporto della lezione
ADAMS, Capitolo 1.4
Lezione 10.1 - Proprietà delle funzioni continue
