Francesco Giannino » 10.Modello logistico

Indice della lezione

Il modello logistico e le sue diverse implementazioni.

Modello matematico

Il modello di Verhulst (logistico)

Ipotesi: ogni popolazione subisce una trasformazione delle proprie condizioni di vita in accordo col seguente principio (effetto logistico):

ad alte densità, un aumento della popolazioni produce una diminuzione di fertilità ed un aumento di mortalità.

Quindi: la natalità e la mortalità dipendono da N (λ [N] = λ – λ N e μ [N] = μ + μ N )

Modello

• dN(t)/dt = ε N(t) (1-N(t)/K)

• N(t) = numero (o densità) di individui al tempo t
• ε = potenziale biologico della popolazione.
• K = capacità portante (“carrying capacity”) del sistema.

Soluzione

• Assegnando anche la condizione iniziale N(0)=N0 l’evoluzione è perfettamente determinata dalla curva logistica
  N(t) = KN₀ / (N₀ + (K-N₀)e-^εt)

La curva logistica

La tipica curva di crescita di un modello logistico

Modello di Verhulst

Il modello di Verhulst (logistico) versione quadratica

Ipotesi

Popolazione omogenea

1. il tasso di natalità della popolazione è un parametro a1;
2. la mortalità della popolazioni dipende dalla probabilità di incontro (a11) di due individui della stessa popolazione (competizione intraspecifica).

Modello

dN(t)/dt = a1 N(t) – a11 N(t)N(t)

Modello popolazione/risorsa

Un modello di popolazione con la risorsa esplicita

Scopo:

• Costruzione di un modello dinamico di simulazione che descrive la dinamica di una popolazione e della sua risorsa

Ipotesi:

1. La popolazione cresce in funzione di quanto mangia e di un tasso “metabolico” (met)
2. La popolazione muore con un proprio tasso di mortalita ™
3. La risorsa è mangiata dalla popolazione
4. La popolazione (POP) iniziale è uguale a 0.01
5. La risorsa (RIS) iniziale è uguale ad 1

Modello:

• d POP / dt = + met * POP * RIS – tm*POP
• d RIS / dt = – POP*RIS
• POP (t=0) = 0.01
• RIS (t=0) = 1

Modello popolazione/spazio implicito

Il modello di Verhulst (logistico)versione Spazio

Scopo:

• Costruzione di un modello dinamico di simulazione che descrive lo spazio occupato da una popolazione

Ipotesi:

1. Lo spazio totale è uguale ad 1
2. Lo spazio inizialmente occupato è uguale a 0.1
3. La legge di occupazione dello spazio è funzione di un tasso di occupazione e dello spazio libero disponibile

Modello:

• d Spazio_Occupato/dt = tasso_occupazione*Spazio_Occupato*(Spazio_Libero) = tasso_occupazione*Spazio_Occupato*(Spazio_Totale-Spazio_Occupato)