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Antonella di Luggo » 26.Elementi di Geometria Proiettiva


Elementi di Geometria Proiettiva

La geometria elementare riguarda le proprietà dimensionali delle figure, e cioè le dimensioni lineari, angolari, di superficie e volume, le congruenze e le equivalenze.

La Geometria Proiettiva invece studia le proprietà delle figure rispetto ad una serie di trasformazioni dette Trasformazioni Proiettive. Tali trasformazioni si ottengono sottoponendo le figure ad operazioni di proiezione (da un punto) e di sezione (con un piano).

Con tali operazioni la figura subisce alterazioni metriche ma rimangono invariate le proprietà proiettive.

Le proprietà proiettive rappresentano quelle proprietà che le figure non perdono quando vengono proiettate da un punto su di un piano. Queste proprietà sono:

  • appartenenza di punti, rette, piani;
  • incidenza di punti, rette, piani;
  • collinearità, per la quale punti allineati rimangono allineati;
  • continuità con cui si succedono gli elementi, mantenendo le reciproche posizioni.

Ha collaborato alla redazione di questa lezione l’arch. A. Paolillo.

Il punto, la retta, il piano

Elementi fondamentali della geometria proiettiva

Il punto è un ente adimensionale e si indica con una lettera maiuscola dell’alfabeto (P, Q, S…..).

La retta è un ente ad una sola dimensione, quella della lunghezza. Ha una sola direzione, un verso e si indica con una lettera minuscola dell’alfabeto (r, s, t……). Può essere considerata come un insieme di infiniti punti allineati (retta punteggiata). Le rette si distinguono per una diversa direzione nel piano. Rette parallele hanno la stessa direzione.

Il piano è un ente a due dimensioni, lunghezza e larghezza. Si indica con una lettera greca (α, β, γ …) e può essere considerato sia come l’insieme degli infiniti punti di un piano (piano punteggiato) o anche come l’insieme di infinite rette appartenenti ad uno stesso piano (piano rigato).

I piani si distinguono per una diversa giacitura. Le giaciture fondamentali sono quella orizzontale e verticale. Piani paralleli hanno la stessa giacitura.

Elementi fondamentali della geometria elementare: punto, retta, piano

Elementi fondamentali della geometria elementare: punto, retta, piano


Punto improprio

La Geometria Proiettiva si avvale non solo degli assiomi della geometria fondata sugli elementi fondamentali al finito, ma anche di quelle proprietà che si riferiscono ad elementi all’infinito. Infatti la geometria proiettiva introduce il concetto di punto improprio, retta impropria, piano improprio.

Punto improprio

Consideriamo una retta r ed un punto S esterno ad essa. Per il punto S facciamo passare una retta s che intersecherà la retta r nel punto P. Facendo ruotare la retta s intorno al punto S il punto di intersezione tra le due rette si sposterà assumendo progressivamente posizioni sempre più lontane dal punto di origine P fino alla condizione limite in cui assumendo la retta s una direzione parallela la retta r, il punto di intersezione sarà un punto all’infinito detto punto improprio (P∞) che si rappresenta con la direzione della retta alla quale appartiene. Ogni retta ha un punto improprio, che è comune a tutte le rette ad essa parallela (fig. 1).

Fig. 1: Schema di rappresentazione del punto improprio P∞ a partire da P

Fig. 1: Schema di rappresentazione del punto improprio P∞ a partire da P


Retta impropria, piano improprio

Retta impropria<

La retta impropria non può essere disegnata ma viene rappresentata attraverso la giacitura del piano a cui appartiene. Ogni piano ha una retta all'infinito che è comune a tutti i piani ad esso paralleli.

Piano improprio

È l’insieme di tutti i punti impropri e di tutte le rette improprie.

Schema di rappresentazione del punto improprio P∞ a partire da P

Schema di rappresentazione del punto improprio P∞ a partire da P


Operazioni fondamentali

Le operazioni fondamentali della Geometria Proiettiva sono:

  • proiezione, da un punto o da una retta;
  • sezione, con una retta o con un piano.

Dato un piano π ed un punto C nello spazio non appartenente a π, chiamiamo π piano di proiezione e C centro di proiezione.

Dato un altro punto P nello spazio chiameremo proiezione del punto P da C la costruzione del segmento CP che viene detto raggio proiettante. Verranno detti proiettanti tutti gli elementi che contengono il centro di proiezione.

La sezione del raggio proiettante con il piano di proiezione individua sul piano π un punto P’ che viene detta immagine del punto P su π o anche proiezione di P su π. Qualora il punto P si trovi su π, la proiezione P’ del punto P coincide con il punto stesso che viene detto punto unito.

Proiettare da un punto C (proprio o improprio), detto centro di proiezione, un altro punto P, significa condurre una retta congiungente C e P.

Proiezione di P dal centro di proiezione O

Proiezione di P dal centro di proiezione O


Posizioni del piano e del centro di proiezione

Una proiezione può variare in relazione alle posizioni del piano di quadro π rispetto al centro di proiezione C ed all’oggetto da rappresentare P.


Centro di proiezione proprio e improprio

La proiezione varia in relazione alla posizione del centro di proiezione C:

  1. se il centro di proiezione è improprio C∞ i raggi proiettanti sono paralleli tra di loro e la proiezione verrà detta parallela o cilindrica;
  2. se il centro di proiezione è proprio la proiezione verrà detta conica o centrale.

Proiezioni cilindriche e coniche

Proiezioni cilindriche

Le proiezioni cilindriche sono generate da un centro di proiezione O costituito da un punto improprio.

Le proiezioni cilindriche vengono anche dette parallele perché i raggi proiettanti sono tutti paralleli tra loro.

Il centro improprio O∞ si indica con una freccia in direzione parallela ai raggi proiettanti.

Una proiezione parallela o cilindrica è detta ortogonale quando la direzione dei raggi proiettanti è perpendicolare al piano di proiezione.

Proiezioni coniche

Le proiezioni coniche sono generate da un centro di proiezione O costituito da un punto proprio.

Le proiezioni coniche vengono anche dette centrali perché il punto O rappresenta il centro del fascio proprio di raggi proiettanti.

Schema spaziale di rappresentazione delle proiezioni parallele

Schema spaziale di rappresentazione delle proiezioni parallele

Schema spaziale di rappresentazione delle proiezioni centrali

Schema spaziale di rappresentazione delle proiezioni centrali


Operazioni di Proiezione

Proiezione del punto sulla retta

Proiettare un punto P su di una retta r, dal centro di proiezione O, significa condurre una retta s da O a P, fino ad incontrare r in P’.

Proiezione del punto sul piano

Proiettare un punto P su di un piano β, dal centro di proiezione O, significa condurre una retta r da O a P, fino ad incontrare il piano β in P’; Il punto P’ è detto immagine del punto P.

Proiezione di un punto su di una retta

Proiezione di un punto su di una retta

Proiezione di un punto su di un piano

Proiezione di un punto su di un piano


Operazioni di Sezione

Sezione di una retta con un’altra

Sezionare una retta r con un’altra retta s significa trovare il punto di intersezione P.

Sezione di una retta con un piano

Sezionare una retta r con un piano β significa trovare il punto R comune al piano β ed alla retta r.

Il punto R è detto traccia della retta r sul piano β. Se la retta r è parallela al piano β, la traccia è il suo punto improprio.

Sezione di una retta con un’altra

Sezione di una retta con un'altra

Sezione di due piani tra loro

Sezione di due piani tra loro


Operazioni di Sezione (segue)

Sezione di due piani tra loro

Sezionare due piani α e β tra loro significa trovare la retta r di intersezione tra i due piani che prende il nome di traccia di β su α.

Se i due piani sono paralleli, la loro intersezione sarà la retta impropria comune ad entrambi.

Sezione di due piani tra loro paralleli

Sezione di due piani tra loro paralleli

Sezione di una retta con un piano

Sezione di una retta con un piano


Le lezioni del Corso

I materiali di supporto della lezione

Dell'Aquila M., Il luogo della geometria, Arte Tipografica, Napoli, 1999.

Docci M., Migliari R., Scienza della rappresentazione. Fondamenti e applicazioni della geometria descrittiva, edizioni NIS, Roma, 1992.

Docci M., Manuale di Disegno architettonico, Laterza, Bari, 2002.

Gesuele A., Pagliano A., Verza V., La Geometria animata: Lezioni multimediali di geometria descrittiva, Cafoscarina, Venezia, 2007.

Sgrosso A., La rappresentazione geometrica dell'architettura. Applicazioni di geometria descrittiva, UTET Università, 1996.

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