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Antonella di Luggo » 30.L'omologia

L’omologia

Il termine Omologia, dal greco homoios (“simile, uguale”) e logos (“discorso”); significa “uguale logica, uguale discorso”. L’omologia è la corrispondenza logica tra due cose, per cui ciò che accade in una accade anche nell’altra a motivo della stessa logica. Omologo è quindi sinonimo di analogo, pur significando non solo una somiglianza, ma un’identità.

Nella geometria descrittiva l’omologia è il prodotto di due prospettività nello spazio.

In altri termini, è la relazione di corrispondenza biunivoca tra punti di due figure generiche Δ1 e Δ2, nella condizione in cui, tali figure, sono state ottenute come proiezioni, sullo stesso piano e da due centri distinti, di una stessa figura Δ.

Ha collaborato alla redazione di questa lezione l’arch. A. Paolillo.

Prospettività

Due figure piane si dicono corrispondenti quando derivano l’una dall’altra, mediante una operazione di proiezione.

Siano dati due piani π e π’ non paralleli fra loro e un centro C di proiezione fuori di essi. Ad ogni punto del piano π proiettato dal centro C corrisponde sul piano π’ uno e un solo punto. Tra i due piani intercorre una corrispondenza biunivoca senza eccezioni: infatti, fissando sul piano π il punto A, si ottiene come sua proiezione sul piano π’ il punto A’ e viceversa. I punti A e A’ sono legati da una prospettività di centro C. Se si sposta il punto A lungo la retta r, il suo corrispondente A’ descrive sul piano π’ la retta r’; le due rette hanno in comune un punto nell’intersezione tra i due piani (D= D’ punto unito). Tutti i punti della retta di intersezione tra i piani π e π’ godono di questa stessa proprietà: tale retta prende il nome di retta dei punti uniti o asse della prospettività; inoltre il punto all’infinito P∞ della retta r ha come corrispondente il punto finito P ‘ sulla retta r’.

Coppie di punti corrispondenti (A e A’) sono allineati con il centro C della prospettività;
coppie di rette corrispondenti (r e r’) si incontrano sull’asse della prospettività (retta u, luogo dei punti uniti e intersezione dei piani π e π’).

Fonte: Docci M., Manuale di Disegno architettonico, Laterza, Bari, 2002

Prospettività di ribaltamento

Un caso particolare di prospettività si verifica nel ribaltamento di due piani. Siano dati i piani π e π’: facendo ruotare il piano π intorno alla retta di intersezione dei due piani (u), fino portarlo a sovrapporsi al piano π’, si può osservare che nella rotazione un punto A del piano π si porta sul punto A’ del piano π’ e analogamente avviene per tutti gli altri punti del piano π. Poiché ad ogni punto di un piano corrisponde uno e un solo punto sull’altro piano, si può parlare di corrispondenza biunivoca tra i punti dei due piani anche nel caso di ribaltamento.

L’asse della prospettività sarà la retta di intersezione dei due piani, mentre il centro della prospettività sarà un punto improprio con direzione ortogonale al piano bisettore dell’angolo formato tra i due piani.

Fonte: Docci M., Manuale di Disegno architettonico, Laterza, Bari, 2002

L’omologia 1/3

Considerati nello spazio proiettivo due piani π e π’ sovrapposti e coincidenti e un terzo piano π° non parallelo ad essi, fissati due centri di proiezione C e C’ è possibile costruire una prospettività (corrispondenza biunivoca) tra i punti dei piani π e π’.

Proiettando, infatti, il punto A del piano π da C su π°, si ottiene il punto A°; tra il punto A e il punto A° intercorre una corrispondenza biunivoca di centro C (prima prospettività di centro C asse u).

Proiettando quindi il punto A° del piano π° dal centro C’ sul piano π’, si ottiene il punto A’ (seconda prospettività di centro C’ asse u); pertanto, fissato il punto A (nella prospettività di centro C e C’) è univocamente determinato il punto A’; in altre parole, si può dire che tra i punti del piano π = π’ intercorre una corrispondenza biunivoca. La corrispondenza fra i punti del piano π = π’ è detta omologia. Spostando il punto A lungo la retta r, il suo corrispondente A’ descrive la retta r’.

Fonte: Docci M., Manuale di Disegno architettonico, Laterza, Bari, 2002

L’omologia 2/3

La relazione geometrica tra le due immagini del punto A e A‘, a seguito di due proiezioni distinte, da due centri di proiezione diversi C ed C’ esterni al piano si dice omologia.

Prima prospettività: ω1 = C, u, A A°

Seconda prospettività: ω2 = C’, u, A’ A°

Omologia = Prodotto di prospettività = ω1 X ω2 = ω = U, u, AA’

I piani sovrapposti π e π’ costituiscono in realtà un artifìcio per chiarire il concetto di prodotto di due prospettività; tuttavia i concetti rimangono inalterati se, anziché due piani sovrapposti, se ne prende in considerazione uno solo. In questo caso si possono considerare A e A’ come punti corrispondenti sullo stesso piano, ottenuti come proiezione dai centri C e C’. Si ottiene cioè una corrispondenza biunivoca tra punti dello stesso piano, attraverso la proiezione di essi su di un altro piano da due distinti centri di proiezione.

L’intersezione della retta che unisce i due centri di proiezione, con il piano π individua il punto U detto centro dell’omologia.
La retta che unisce A e A’ passa per U. Punti corrispondenti sono infatti allineati con il centro dell’omologia. La retta u, intersezione dei due piani rappresenta l’asse dell’omologia.

(Da Docci M., Manuale di Disegno architettonico, Laterza, Bari, 2002)

Proprietà dell’omologia

Rette corrispondenti si incontrano sull’asse dell’omologia u (retta di intersezione tra i piani π e π₀ – retta unita – luogo dei punti uniti);
punti corrispondenti sono allineati con il centro dell’omologia U (punto di intersezione della retta congiungente i due centri di proiezione con il piano π).

Una prospettività che abbia le proprietà sopra illustrate prende il nome di omologia e poiché dette proprietà si riscontrano solo nelle figure piane viene detta anche omologia piana.

Una omologia risulta individuata quando, in un piano, sono assegnati il centro U dell’omologia, il suo asse e una coppia di punti corrispondenti (oppure una coppia di rette corrispondenti).

(Da Docci M., Manuale di Disegno architettonico, Laterza, Bari, 2002)

L’omologia 3/3

Uno dei casi che si incontra con frequenza è dato da due piani sovrapposti (π =π’), il piano π₀ e due centri di proiezione C∞ e C’∞ (impropri, disposti all’infinito, in posizione ortogonale rispettivamente al piano π = π’ e al piano bisettore del diedro formato dai piani π e π₀). Proiettando un punto A⁰ del piano π₀ dal centro improprio C∞ sul piano π; si ottiene il punto A; proiettando poi lo stesso punto A⁰ dal centro C’∞ si ottiene il punto A’; sì dice allora che i punti A e A’ sono legati da una corrispondenza biunivoca di centro C∞ e C’∞.

L’asse dell’omologia è rappresentato dalla retta U, (intersezione fra i piani π e π₀) e il centro dell’omologia è rappresentato dall’intersezione della retta congiungente i due centri di proiezione con il piano π. Poiché i due centri di proiezione sono entrambi impropri, l’unione di essi definisce sul piano un punto improprio che si rappresenta nel punto U∞ la cui direzione è definita dall’intersezione del piano formato dai due centri C∞ e C’∞ con il piano π. Anche in questo caso la coppia di punti corrispondenti A e A’ è allineata il centro dell’omologia U∞. Questa prospettività, caratterizzala dal centro improprio, prende il nome di affinità omologica.

Fonte: Docci M., Manuale di Disegno architettonico, Laterza, Bari, 2002

Casi particolari di omologia

Le proprietà dell’omologia, che potrebbero risultare solo teoriche, rivestono nella pratica una notevole importanza, potendosi utilizzare in tutti i metodi della rappresentazione e consentendo di svolgere tutte le operazioni grafiche sul piano del disegno, senza ricorrere alla collocazione spaziale degli oggetti.

Al variare della posizione reciproca tra i piani e i centri di proiezione, possono presentarsi alcuni casi particolari, che non modificano le proprietà proiettive.

Si possono distinguere:

Omologia affine o affinità omologica: centro improprio, asse proprio.
Omotetia: centro proprio, asse improprio.
Congruenza o traslazione: centro improprio, asse improprio.

L’omologia affine

1) Omologia affine o affinità omologica

Centro improprio S∞, asse proprio s, punti corrispondenti A e A’

ω = S∞, s, AA’

Si verifica quando la retta congiungente O e O’ è parallela alla giacitura dei ai piani π e π’ o quando entrambi i centri sono impropri.

La proiezione parallela è un’affinità (assonometria).

(Da Dell’Aquila M., Il luogo della geometria, Arte Tipografica, Napoli, 1999)

Schema di rappresentazione nello spazio dell'Omologia affine

Omologia affine

L’omotetia

2) Omotetia

Centro proprio S, asse improprio s∞, punti corrispondenti A e A’

ω = S, s ∞, AA’

Si verifica quando il piano π₀ di prospettività è // a π = π’.

Rette corrispondenti sono parallele tra loro.
Conserva il parallelismo tra rette e lascia invariati gli angoli.
La proiezione parallela è un’affinità.

Se i punti si trovano dalla stessa parte rispetto al centro si chiama Omotetia diretta.

Se i punti si trovano dalla parte opposta rispetto al centro si chiama Omotetia inversa.

(Da Dell’Aquila M., Il luogo della geometria, Arte Tipografica, Napoli, 1999)

Omotetia

Da sinistra: omotetia diretta, omotetia inversa, omotetia inversa simmetrica

Congruenza

3) Congruenza o traslazione

Centro improprio S∞, asse improprio s∞, punti corrispondenti A e A’

ω = S∞, s∞, AA’

Si verifica quando la retta congiungente O e O’ è parallela alla giacitura dei ai piani π e π’ o quando entrambi i centri sono impropri ed il piano _0 di prospettività è // a π = π’.

Conserva il parallelismo tra rette, lascia invariati gli angoli e la grandezza dei segmenti.

(Da Dell’Aquila M., Il luogo della geometria, Arte Tipografica, Napoli, 1999)