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Antonella di Luggo » 34.La prospettiva: rappresentazione degli enti geometrici fondamentali


Elementi di riferimento

Elementi di riferimento della prospettiva

  • Un piano generalmente verticale π detto quadro.
  • Un piano ausiliario π1, orizzontale, detto geometrale.
  • La retta di intersezione tra π e π1, detta fondamentale f o linea di terra lt.
  • Un punto di vista (o centro di proiezione) V, disposto a distanza finita dal quadro.
  • V1 prima proiezione del punto di vista V.
  • VV1 Altezza del punto di vista h.
  • V0 Seconda proiezione del punto di vista V.
  • VV0 Distanza principale d distanza del punto di vista dal quadro.
  • H Piede della perpendicolare alla fondamentale.
  • Un piano proiettante (che passa per il centro di proiezione) π2 passante per V e parallelo a π1, detto piano di orizzonte.
  • La retta di intersezione tra π2 e π è detta retta di orizzonte o.
  • Sul piano π1, tracciamo un cerchio di centro V0 e raggio pari alla distanza principale d che verrà detto cerchio di distanza.
  • Il cerchio interseca la linea di orizzonte in due punti detti punti di distanza destro Dd e sinistro Ds.

Schema spaziale, rappresentazione piana

Lo schema spaziale può essere riferito alle due proiezioni ortogonali.
Sul piano orizzontale (vista dall’alto) verrà rappresentato il piano π in una sola linea nella quale si trovano a coincidere f e o, la proiezione del centro di vista sul piano geometrale, la distanza principale del punto di vista dal quadro, il punto Vo che nella proiezione si troverà a coincidere con H piede della perpendicolare e l’oggetto visto in pianta, posto al di là del quadro.
Nella vista frontale saranno rappresentati la linea di orizzonte e la fondamentale, il piede della perpendicolare H e il punto principale Vo.
Le due viste potranno essere relazionale attraverso il prolungamento della retta che passa per H.


Rappresentazione prospettica della retta

I problemi relativi alla rappresentazione prospettica degli enti geometrici fondamentali possono essere ricondotti alla prospettiva della retta.

La prospettiva della retta: si ottiene congiungendo traccia e fuga della retta stessa.

  • traccia di una retta: punto di intersezione della retta con la fondamentale (o con il quadro se l’oggetto non è poggiato sul geometrale);
  • punto di fuga di una retta: punto di intersezione con il quadro di una retta parallela alla retta data e passante per il centro di vista;
  • punti di distanza D1 e D2: punti di fuga delle rette inclinate a 45° rispetto al quadro;
  • punto principale Vo: proiezione del centro di vista sul quadro è il punto di fuga di tutte le rette ortogonali al quadro.

Rappresentazione di una retta generica

Data una retta r appartenente al geometrale:

  • tr traccia di r è il punto in cui r interseca π;
  • Poiché r appartiene al geometrale tr si trova sulla fondamentale f;
  • fr punto di fuga di r rappresenta l’intersezione con il quadro di una retta passante per V e parallela alla retta data.

Congiungendo tr con fr avremo la retta r’ immagine prospettica della retta r.


Rappresentazione del punto

Data una retta r ed un punto P appartenente alla retta, la rappresentazione prospettica del punto P si ottiene mandando un raggio proiettante dal centro di vista V fino al punto P. Il punto di intersezione del raggio proiettante VP con il quadro individuerà il punto P’ rappresentazione prospettica del punto P.
Nella rappresentazione sul piano si procede in modo analogo: la congiungente VP interseca il quadro in un punto P0; riportando il punto P0 sul piano di quadro si otterrà sulla retta r’ il punto P’ prospettiva del punto P.


Rappresentazione della retta

Prospettiva di un retta perpendicolare al quadro (fig.1)
r’(tr, fr= V0 )

Tutte le rette perpendicolari al quadro hanno il punto di fuga coincidente con il punto principale V0.

Prospettiva di un retta inclinata di 45° rispetto al quadro (fig.2)
r’ (tr, fr= D2 )

Le rette che formano con la fondamentale un angolo di 45° hanno il punto di fuga coincidente con uno dei due punti di distanza.

Fig. 1

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 2


Prospettiva accidentale di una figura piana

Prospettiva accidentale di un quadrato posto sul geometrale, schema spaziale.

Per la rappresentazione prospettica di una figura piana posta sul geometrale si procede individuando traccia e fuga di tutte le rette che ne delimitano il contorno. Essendo la figura posta sul geometrale tutte le tracce si troveranno sulla linea di terra; le fughe, ottenute come intersezione di rette parallele alle rette date e passanti per il punto di vista, si troveranno sulla retta di orizzonte. Unendo traccia e fuga si otterrà la prospettiva della figura data. Lo schema spaziale in figura 3 illustra la costruzione che andrà redatta sul piano, ricorrendo alla doppia proiezione dello schema spaziale (in pianta e nella vista frontale).

Fig. 3

Fig. 3


Prospettiva accidentale di una figura piana (segue)

Prospettiva accidentale di un quadrato posto sul geometrale, rappresentazione sul piano di quadro.

Nella vista sul geometrale sono rappresentati la proiezione del centro di vista O1 e, coincidenti in una sola linea, il piano di quadro, la retta di orizzonte e la fondamentale su cui si trova il punto H piede della perpendicolare. Si prolungano i lati della figura fino ad incontrare la fondamentale (f=o) nei punti Ts, Tr, Tt, Tq. Dalla proiezione del punto di vista O1 sul geometrale si mandano delle rette parallele alle rette date che incontreranno la retta di orizzonte nei punti Ft=Fq e Fr=Fs. Da ciò si deduce di conseguenza che rette parallele hanno lo stesso punto di fuga.
I punti trovati vengono trasferiti sulla vista frontale a partire dal punto H e OO, facendo attenzione a portare le tracce sulla fondamentale e le fughe sulla linea di orizzonte.


Prospettiva centrale di una figura piana

Prospettiva centrale di un quadrato posto sul geometrale, schema spaziale.

Nel caso in cui i lati della figura siano paralleli al quadro è opportuno ricorrere ad altre soluzioni. Ad esempio nel caso di un quadrato, la rappresentazione prospettica potrà essere determinata attraverso le tracce e i punti di fuga delle diagonali (che coincidono con i punti di distanza).


Prospettiva centrale di una figura piana (segue)

Prospettiva centraledi un quadrato posto sul geometrale, rappresentazione sul piano di quadro.

Nella vista sul geometrale sono rappresentati la proiezione del centro di vista O1 e, coincidenti in una sola linea, il piano di quadro, la retta di orizzonte e la fondamentale su cui si trova il punto H piede della perpendicolare. Si prolungano i lati della figura perpendicolari al quadro fino ad incontrare la fondamentale (f=o) nei punti Ts, Tp. Le due rette, essendo parallele, avranno lo stesso punto di fuga che coincide con il punto principale O1. Poiché gli altri due lati sono paralleli al quadro, occorre riferirsi alle diagonali del quadrato. Individuate le tracce Ts, Tt, i punti di fuga coincideranno con i punti di distanza (d2=Ft- D1 = Fs)
I punti trovati vengono trasferiti sulla vista frontale a partire dal punto H e O°, facendo attenzione a portare le tracce sulla fondamentale e le fughe sulla linea di orizzonte. Unendo tracce e fughe omologhe si otterrà la rappresentazione prospettica della figura 4.

Fig. 4

Fig. 4


Determinazione delle altezze prospettiche

Per determinare le altezze, ci si riferisce alla vista frontale e, a partire da una delle tracce, nella scala di rappresentazione dell’altezza dell’osservatore, si riporta l’altezza reale (altezza obiettiva). Si unisce poi l’estremo del segmento con il corrispondente punto di fuga. Dalla figura prospettica in pianta e in corrispondenza dello spigolo in questione si stacca un segmento che, incontrando il prolungamento verso il punto di fuga, determina l’altezza prospettica che andrà riportata per tutti gli spigoli.


Metodo del ribaltamento

Omologia di ribaltamento
Per una più agevole costruzione prospettica ci si serve dell’omologia di ribaltamento. In particolare si riportano tutte le operazioni sul piano di quadro operando due ribaltamenti:

  1. viene ribaltato sul piano di quadro il piano orizzontale e tutti gli elementi che gli appartengono (centro di vista, cerchio di distanza);
  2. viene ribaltato sul piano di quadro il piano geometrale e tutti gli elementi che gli appartengono.

In riferimento all’omologia di ribaltamento sappiamo che l’immagine B’ di un punto B e il suo ribaltato B* si corrispondono in un’omologia avente centro in V* (ribaltato del centro V situato su di un piano orizzontale parallelo a π1) e avente per asse la f.
L’omologia di ribaltamento sfrutta le proprietà proiettive che si stabiliscono tra la figura del geometrale A B C D, il suo ribaltamento sul quadro A* B* C* D* e l’immagine prospettica A’ B’ C’ D’.
Valgono dunque le proprietà dell’omologia:

  • rette corrispondenti si intersecano sull’asse (f);
  • punti corrispondenti sono allineati con il centro (O*).

Metodo del ribaltamento (segue)


Metodo del ribaltamento (segue)


Prospettiva con il metodo dei punti di misura

Un altro sistema di rappresentazione prospettica è quello dei punti di misura.
Data una retta r individuiamo nella proiezione sul piano geometrale la sua traccia Tr e il suo punto di fuga Fr (nell’intersezione della retta parallela ad r e passante per V’, proiezione del centro di vista sul piano geometrale).
Consideriamo il segmento AB giacente sulla retta r. Se, centrando il compasso in A ruotiamo il punto B in B’ e centrando il compasso in Fr ruotiamo il punto V’ in M’, avremo costruito due rette parallele: in questo modo il punto di concorso di BB’ risulta M’, detto anche punto di misura.
Nella proiezione sul quadro prospettico: fissate L.T. e L.O. alla distanza stabilita e riportati Fr e M’ alla distanza da già trovata, si portano i punti ai relativi concorsi; all’incontro delle proiettanti si fissa B, punto cercato sulla retta r.


Prospettiva a quadro orizzontale

La prospettiva a quadro orizzontale o prospettiva zenitale.
Il quadro risulta parallelo al geometrale.

1. La retta fondamentale coincide con quella di orizzonte;

2. Tutte le rette verticali vanno in fuga nel punto Oo (punto principale, proiezione del centro di vista sul quadro).

In alcuni casi può essere utile rappresentare un contesto visto dall’alto: si può ricorrere dunque ad una prospettiva a quadro orizzontale dove il piano di quadro si trova a coincidere con il geometrale. La pianta dell’oggetto poggia direttamente sul piano di quadro e dunque sussiste una totale identità tra la pianta stessa e la sua immagine prospettica.
Dopo aver disegnato la pianta in vera forma, va individuato il punto principale (cioè la proiezione del centro di vista sul quadro), la distanza principale (scelta a piacere) ed il cerchio di distanza che ha come raggio la distanza principale.


Prospettiva a quadro orizzontale (segue)

La rappresentazione delle rette che costituiscono gli spigoli verticali può essere eseguita direttamente, dal momento che le tracce di queste rette coincidono con i punti A, B, C, D e la loro fuga è coincidente con il punto principale, essendo esse perpendicolari al quadro. Si congiungono pertanto i punti A, B, C, D con O0 e si ottengono le immagini degli spigoli verticali; per riportare sugli spigoli verticali l’altezza si utilizza il cerchio di distanza che, per le rette perpendicolari al quadro, costituisce anche il cerchio di misura.- Si ribalta il punto di proiezione O in una direziono a piacere (ad esempio sulla verticale) e si ottiene il punto O*, che in questo caso particolare costituisce anche il punto di misura delle rette in esame. Si ribalta, nella stessa direzione del punto di vista, uno degli spigoli verticali (ad esempio lo spigolo BE); quindi, a partire da B, traccia dello spigolo, si riporta sulla verticale la misura complessiva dell’altezza e si ottiene il punto E*, congiungendo il quale con O* si determina l’intersezione di questa retta con lo spigolo BE e si individua così il punto E’. Con analoga costruzione, riportando nel punto 1* l’altezza della porta, si ottiene sullo spigolo il punto 1′, che consente di determinare, mediante una retta orizzontale, l’architrave della medesima.


Le lezioni del Corso

I materiali di supporto della lezione

Dell'Aquila M., Il luogo della geometria, Arte Tipografica, Napoli, 1999.

De Rubertis R., Fondamenti di Geometria Descrittiva, Edizioni Kappa, Roma, 1975.

De Rubertis R., Il disegno dell'architettura, NIS, 1992.

Docci M., Manuale di Disegno architettonico, Bari, Laterza, 1985.

Docci M., Migliari R., Scienza della rappresentazione, NIS, 1992.

Gesuele A. , Pagliano A., Verza V., La Geometria animata: Lezioni multimediali di geometria descrittiva, Cafoscarina, Venezia, 2007.

Sgrosso A., La rappresentazione geometrica dell'architettura. Applicazioni di geometria descrittiva, UTET, 1996.

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