Vai alla Home Page About me Courseware Federica Living Library Federica Virtual Campus 3D Le Miniguide all'orientamento Gli eBook di Federica
 
 
Il Corso Le lezioni del Corso La Cattedra
 
Materiali di approfondimento Risorse Web Il Podcast di questa lezione

Mara Capone » 2.Omologia


Omografia

Due piani sono proiettivi quando possono essere dedotti l’uno dall’altro mediante un numero finito di operazioni di proiezione e sezione.
La corrispondenza biunivoca che lega due piani proiettivi è detta anche omografia.
Un’omografia non identica tra due piani sovrapposti ma non coincidenti è detta omologia piana quando esiste una retta di punti uniti ed un fascio di rette unite.
In un’omologia piana la retta s, intersezione di α, π e π1, è l’asse dell’omologia ed è una retta fatta tutta di punti uniti, mentre il centro S si determina come intersezione della congiungente i due centri di prospettività con i due piani omografici sovrapposti. Si dimostra che S è un punto unito ed è il centro di un fascio di rette unite.

Fig.1– omografia

Fig.1– omografia

Fig. 2 – omologia

Fig. 2 - omologia


Omologia

Si dimostra che in un’omologia piana sussistono le seguenti relazioni:

  • Rette corrispondenti si intersecano sull’asse.
  • Punti corrispondenti sono allineati con il centro.

Fig. 3 – rette corrispondenti si intersecano sull’asse

Fig. 3 – rette corrispondenti si intersecano sull’asse

Fig. 3 – rette corrispondenti si intersecano sull'asse

Fig. 4 – punti corrispondenti sono allineati con il centro

Fig. 4 – punti corrispondenti sono allineati con il centro


Omologia speciale e omologia generale

L’omologia si definisce generale quando sia l’asse che il centro sono due punti propri.
Si possono tuttavia presentare diversi altri casi, in particolare si può avere:

  • un’omologia speciale quando il centro si trova sull’asse;
  • un’affinità quando il centro è un punto improprio;
  • un’omotetia quando l’asse è una retta impropria;
  • una congruenza o traslazione quando sia il centro che l’asse sono impropri.

Fig. 5  – omologia speciale

Fig. 5  – omologia speciale

Fig. 5 – omologia speciale

Fig. 6 – omologia generale

Fig. 6 – omologia generale


Affinità

In un’omologia affine il centro è improprio e l’asse è una retta propria. Ciò si verifica quando la congiungente i due centri di prospettività è parallela ai due piani omografici sovrapposti oppure quando i due centri di prospettività sono entrambi impropri.

L’affinità si definisce ortogonale quando la direzione è perpendicolare rispetto all’asse, altrimenti è obliqua.
Fig. 7 – affinità

Fig. 7 – affinità

Fig. 7 – affinità

Fig. 8 – affinità

Fig. 8 – affinità


Omotetia

Si ha un’omotetia quando il centro è un punto proprio, mentre l’asse è improprio.
Ciò si verifica quando il piano α ha la stessa giacitura dei due piani sovrapposti π e π1.
L’omotetia si definisce inversa quando il centro si trova tra i due punti corrispondenti, altrimenti è diretta.
Nell’omotetia diretta le due figure omologhe sono simili.

Fig. 9 – omotetia

Fig. 9 – omotetia

Fig. 9 - omotetia

Fig.10  – omotetia

Fig.10 - omotetia


Traslazione

Si ha una congruenza o traslazione quando sia il centro che l’asse sono impropri e ciò si verifica quando il pianoπ e la congiungente i due centri di prospettività è parallela ai due piani omografici sovrapposti.
In questo caso le due figure omologhe avendo i lati e gli angoli corrispondenti uguali sono uguali.

Fig. 11 – congruenza o traslazione

Fig. 11 – congruenza o traslazione

Fig. 12 – congruenza o traslazione

Fig. 12 – congruenza o traslazione


Rette limiti

Si definiscono rette limiti in un’omologia piana, le rette corrispondenti della retta impropria comune ai due piani.
Le rette limiti sono parallele all’asse dell’omologia. Ogni punto di una delle due rette limiti ha come omologo un punto improprio.
Fig. 14 – determinazione delle rette limiti

Fig. 13 – determinazione delle rette limiti

Fig. 13 - determinazione delle rette limiti

Fig. 14 – determinazione delle rette limiti

Fig. 14 - determinazione delle rette limiti


Determinare le rette limiti

Fig. 15 – assegnata sul piano un’omologia ω si determinino le rette limiti

Fig. 15 – assegnata sul piano un'omologia ω si determinino le rette limiti


Applicazioni

Fig. 16 – Assegnata un’omologia ω in cui sia nota la retta limite j si determini l’omologa della figura data

Fig. 16 – Assegnata un'omologia ω in cui sia nota la retta limite j si determini l'omologa della figura data


I materiali di supporto della lezione

Capone M., La genesi Geometrica della forma. Applicazioni di Geometria Descrittiva nell'era informatica, Fidericiana Editrice Universitaria, Napoli 2010.

Dell'Aquila M., Il luogo della geometria, Arte Tipografica, Napoli 1999.

Migliari R., Geometria dei modelli, Edizioni Kappa, Roma 2003.

Migliari R., Geometria Descrittiva, Voll. I e II, Città Studi edizioni, Novara 2009.

Sgrosso A., La rappresentazione geometrica dell'architettura, Utet, Torino 1996.

Affinità

Affinità 2

Modelli

Omologia speciale

Omotetia

Rette corripondenti

Rette e limiti

  • Contenuti protetti da Creative Commons
  • Feed RSS
  • Condividi su FriendFeed
  • Condividi su Facebook
  • Segnala su Twitter
  • Condividi su LinkedIn
Progetto "Campus Virtuale" dell'Università degli Studi di Napoli Federico II, realizzato con il cofinanziamento dell'Unione europea. Asse V - Società dell'informazione - Obiettivo Operativo 5.1 e-Government ed e-Inclusion