Due piani sono proiettivi quando possono essere dedotti l’uno dall’altro mediante un numero finito di operazioni di proiezione e sezione.
La corrispondenza biunivoca che lega due piani proiettivi è detta anche omografia.
Un’omografia non identica tra due piani sovrapposti ma non coincidenti è detta omologia piana quando esiste una retta di punti uniti ed un fascio di rette unite.
In un’omologia piana la retta s, intersezione di α, π e π1, è l’asse dell’omologia ed è una retta fatta tutta di punti uniti, mentre il centro S si determina come intersezione della congiungente i due centri di prospettività con i due piani omografici sovrapposti. Si dimostra che S è un punto unito ed è il centro di un fascio di rette unite.
Si dimostra che in un’omologia piana sussistono le seguenti relazioni:
L’omologia si definisce generale quando sia l’asse che il centro sono due punti propri.
Si possono tuttavia presentare diversi altri casi, in particolare si può avere:
Fig. 5 – omologia speciale
In un’omologia affine il centro è improprio e l’asse è una retta propria. Ciò si verifica quando la congiungente i due centri di prospettività è parallela ai due piani omografici sovrapposti oppure quando i due centri di prospettività sono entrambi impropri.
L’affinità si definisce ortogonale quando la direzione è perpendicolare rispetto all’asse, altrimenti è obliqua.
Fig. 7 – affinità
Si ha un’omotetia quando il centro è un punto proprio, mentre l’asse è improprio.
Ciò si verifica quando il piano α ha la stessa giacitura dei due piani sovrapposti π e π1.
L’omotetia si definisce inversa quando il centro si trova tra i due punti corrispondenti, altrimenti è diretta.
Nell’omotetia diretta le due figure omologhe sono simili.
Fig. 9 – omotetia
Si ha una congruenza o traslazione quando sia il centro che l’asse sono impropri e ciò si verifica quando il pianoπ e la congiungente i due centri di prospettività è parallela ai due piani omografici sovrapposti.
In questo caso le due figure omologhe avendo i lati e gli angoli corrispondenti uguali sono uguali.
Si definiscono rette limiti in un’omologia piana, le rette corrispondenti della retta impropria comune ai due piani.
Le rette limiti sono parallele all’asse dell’omologia. Ogni punto di una delle due rette limiti ha come omologo un punto improprio.
Fig. 14 – determinazione delle rette limiti
2. Omologia
3. Proiezioni centrali: prospettiva a quadro verticale
4. Prospettiva a quadro inclinato
5. Prospettiva a quadro orizzontale
8. Doppie proiezioni ortogonali
9. Proiezioni ortogonali: condizioni di appartenenza, parallelismo...
10. Proiezioni ortogonali: vera forma e grandezza
11. Proiezioni ortogonali: problemi fondamentali
13. Cilindri
14. Teoria delle ombre - parte prima
15. Teoria delle ombre – parte seconda
17. Superfici di traslazione e rototraslazione
Capone M., La genesi Geometrica della forma. Applicazioni di Geometria Descrittiva nell'era informatica, Fidericiana Editrice Universitaria, Napoli 2010.
Dell'Aquila M., Il luogo della geometria, Arte Tipografica, Napoli 1999.
Migliari R., Geometria dei modelli, Edizioni Kappa, Roma 2003.
Migliari R., Geometria Descrittiva, Voll. I e II, Città Studi edizioni, Novara 2009.
Sgrosso A., La rappresentazione geometrica dell'architettura, Utet, Torino 1996.
2. Omologia
3. Proiezioni centrali: prospettiva a quadro verticale
4. Prospettiva a quadro inclinato
5. Prospettiva a quadro orizzontale
8. Doppie proiezioni ortogonali
9. Proiezioni ortogonali: condizioni di appartenenza, parallelismo...
10. Proiezioni ortogonali: vera forma e grandezza
11. Proiezioni ortogonali: problemi fondamentali
13. Cilindri
14. Teoria delle ombre - parte prima
17. Superfici di traslazione e rototraslazione
20. Superfici rigate - parte prima
21. Superfici rigate - parte seconda
22. Gli archi
23. Le volte
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