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Mara Capone » 18.Superfici poliedriche


Poliedri e superfici poliedriche

Si definisce superficie poliedrica la superficie composta da poligoni piani detti facce.
Le superfici poliedriche sono spesso utilizzate per rappresentare forme continue, ogni forma può infatti essere rappresentata per approssimazione da una superficie poliedrica.

I modelli digitali sono spesso realizzati utilizzando la rappresentazione numerica o poligonale che alla continuità reale sostituisce una superficie poligonale, generalmente costituita da triangoli, detta mesh.
Questa superficie ha la caratteristica di poter essere visualizzata in ambito digitale come continua e quindi consente di esercitare un controllo formale nonostante l’oggetto sia rappresentato per approssimazione da un punto di vista metrico.

Fig. 1 – rappresentazione di una sfera utilizzando una superficie poliedrica.

Fig. 1 – rappresentazione di una sfera utilizzando una superficie poliedrica.

Fig. 2 – visualizzazione della superficie poliedrica come continua

Fig. 2 – visualizzazione della superficie poliedrica come continua


Poliedri regolari

Tra gli infiniti poliedri che si possono costruire nello spazio si definiscono poliedri regolari i poliedri composti da poligoni regolari uguali.
In un poliedro i lati di ciascuna faccia sono gli spigoli del poliedro e i vertici sono i vertici del poliedro.
Detti:
F= numero delle facce
V= numero di vertici
S= numero degli spigoli
Si ha che per i poliedri vale la seguente relazione nota come relazione di Eulero:
F+V=V+2
I poliedri regolari, detti anche solidi platonici, sono 5:

Tetraedro: costituito da 4 triangoli regolari
Esaedro: costituito da sei quadrati
Ottaedro: costituito da otto triangoli equilateri
Dodecaedro : costituito da dodici pentagoni regolari
Icosaedro: costituito da venti triangoli equilateri

Tutti i poliedri regolari sono iscrivibili in una sfera e per tutti vale il principio di dualità:
I piani tangenti alla sfera in ciascun vertice del poliedro iscritto generano un altro poliedro circoscritto alla stessa sfera e naturalmente viceversa.

Poliedri regolari: tetraedro

Il tetraedro è un poliedro regolare costituito da quattro triangoli equilateri.
L’utilizzo di modelli è particolarmente indicato per lo studio dei poliedri, la possibilità di sviluppare sul piano le facce che lo compongono rende infatti immediata la costruzione di modelli materiali ed agevola la costruzione dei modelli digitali.

Nel caso del tetraedro, considerando lo sviluppo sul piano la posizione di V si determina facendo ruotare due facce contigue.
Gli spigoli del tetraedro duale si ottiene congiungendo gli ortocentri dei triangoli che compongono il poliedro.

Fig. 3 – tetraedro

Fig. 3 – tetraedro

Fig. 4 – tetraedro duale

Fig. 4 – tetraedro duale


Poliedri regolari: esaedro

L’esaedro o cubo si costruisce automaticamente in ambito digitale in quanto è considerata una primitiva.
L’utilizzo del modello consente di verificare alcune proprietà dell’esaedro.
Congiungendo i vertici opposti di ogni lato, le diagonali, si ottengono gli spigoli di un tetraedro.
Unendo invece i centri delle facce si ottengono gli spigoli dell’ottaedro duale.

Fig. 5 – esaedro

Fig. 5 – esaedro


Poliedri regolari: ottaedro

L’ottaedro è il poliedro composto da otto triangoli equilatero.

Si può costruire considerando lo sviluppo di metà solido sul piano, costituito dai quattro triangoli costruiti sui lati di un quadrato avente per lato lo spigolo dell’ottaedro.
L’altra metà si può ottenere sfruttando la simmetria del solido rispetto al piano passante per il quadrato precedentemente considerato.

Si verifica che congiungendo gli ortocentri delle facce si ottengono gli spigoli dell’esaedro duale.

Fig. 6 – ottaedro

Fig. 6 – ottaedro

Fig. 7– ottaedro e esaedro duale

Fig. 7– ottaedro e esaedro duale


Poliedri regolari: dodecaedro

Il dodecaedro è il poliedro costituito da dodici pentagoni regolari.

Per costruire il modello si costruisce lo sviluppo di metà solido costituito da sei pentagoni e si determina la posizione delle singole facce facendo ruotare due facce contigue intorno ai lati contigui del pentagono centrale.

Per costruire la parte superiore del solido si può costruire il simmetrico rispetto al piano passante per i punti medi dei lati superiori dei pentagoni già determinati e ruotandolo di 36°.

Anche in questo caso si verifica che congiungendo i centri dei pentagoni si ottengono gli spigoli dell’icosaedro duale.

Fig. 8 – dodecaedro

Fig. 8 – dodecaedro

Fig. 9 – dodecaedro – icosaedro duale

Fig. 9 – dodecaedro – icosaedro duale


Poliedri regolari: icosaedro

L’icosaedro è il poliedro composto da venti triangoli equilateri.

Per costruire il modello dell’icosaedro si può considerare ad esempio lo sviluppo della parte superiore costituita dai 5 triangoli equilateri costruiti sui lati di un pentagono equilatero e determinare la posizione delle facce facendole ruotare intorno ai lati del pentagono.
Determinato il centro della sfera circoscritta costruendo le ortogonali a due facce passanti per i rispettivi centri, la parte inferiore del solido si può costruire considerando le facce simmetriche a quelle costruite rispetto al piano passante per C ed ortogonale alla congiungente CV, che dovranno essere ruotate di 36°.
Gli spigoli delle 10 facce intermedie si ottengono congiungendo i vertici di quelle determinate.

Fig. 10 – icosaedro

Fig. 10 – icosaedro

Fig. 11 – icosaedro e dodecaedro duale

Fig. 11 – icosaedro e dodecaedro duale


Rappresentazione di poliedri

Fig. 12 – rappresentazione nel metodo delle doppie proiezioni ortogonali

Fig. 12 – rappresentazione nel metodo delle doppie proiezioni ortogonali


Applicazioni

A sinistra: Fig. 13 – Superfici poliedriche: applicazioni. A destra: Fig. 14 – Superfici poliedriche: applicazioni.

A sinistra: Fig. 13 – Superfici poliedriche: applicazioni. A destra: Fig. 14 – Superfici poliedriche: applicazioni.


Applicazioni

Fig. 15 – Superfici poliedriche: applicazioni.

Fig. 15 – Superfici poliedriche: applicazioni.


I materiali di supporto della lezione

Capone M., La genesi Geometrica della forma. Applicazioni di Geometria Descrittiva nell'era informatica, Fidericiana Editrice Universitaria, Napoli 2010.

Dell'Aquila M., Il luogo della geometria, Arte Tipografica, Napoli 1999.

Migliari R., Geometria dei modelli, Edizioni Kappa, Roma 2003.

Migliari R., Geometria Descrittiva, Voll. I e II, Città Studi edizioni, Novara 2009.

Sgrosso A., La rappresentazione geometrica dell'architettura, Utet, Torino 1996.

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