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Mara Capone » 1.Principi fondamentali


Introduzione al corso

Proiezione e sezione sono le operazioni fondamentali della geometria che consentono di passare dallo spazio ad una rappresentazione piana, da un sistema continuo ad un sistema discreto, mediante la costruzione di un modello geometrico descrittivo.

Questa premessa, fondamento della scienza della rappresentazione, è facilmente dimostrabile osservando le ombre portate dal sole o da una fonte luminosa puntiforme.

La leggenda sulla nascita del disegno narra infatti che la giovane figlia dello scultore greco Butades tracciò su una parete il contorno dell’ombra del suo innamorato in partenza e ciò dimostra come il concetto proiettivo fosse noto sin dall’antichità.

Integrazione dei metodi di rappresentazione

La ricerca condotta in questi anni ha avuto come obiettivo quello di individuare una metodologia didattica in grado di integrare le tecniche di rappresentazione tradizionali con quelle informatiche.
Lo studio della Geometria Descrittiva rappresenta, infatti, un insostituibile esercizio che consente di analizzare le matrici geometriche-configurative dello spazio architettonico ed è indispensabile per la formazione e preparazione culturale dei futuri ingegneri ed architetti.Tuttavia il progresso tecnologico degli ultimi decenni e la diffusione di software estremamente potenti e versatili, ha progressivamente ridotto l’interesse degli studenti per la disciplina.La possibilità offerta dalla tecnologia informatica di risolvere un numero sempre maggiore di problemi in modo del tutto automatico ha determinato di fatto un allontanamento dai principi fondativi della Geometria Descrittiva e la progressiva rinuncia ad un approccio rigoroso per la risoluzione dei problemi.
L’obiettivo principale del corso è quello di tracciare un percorso formativo che tende ad integrare le nuove tecniche di rappresentazione con quelle tradizionalmente consolidate.

In particolare alcune lezioni sono state illustrate anche tramite la realizzazione di modelli collegati alle slide tramite link, visionabili scaricando on-line la versione demo del software di modellazione utilizzato.

Per scaricare il programma ThinkDesign basta recarsi nell’area download di www.think3.it e seguire la procedura di registrazione, i docenti e gli studenti iscritti a corsi di scuole o Università aderenti al progetto educazional thinkstart potranno inoltre ricevere la licenza per utilizzare ThinkDesign.
Per rendere più agevole la consultazione dei modelli si suggerisce di avviare preventivamente il software.

Gli enti geometrici fondamentali

Enti geometrici fondamentali della geometria euclidea:

il punto: elemento adimensionale;

la retta: insieme infinito di punti allineati avente una dimensione;

il piano: elemento con due dimensioni;

Fig.1– Enti geometrici fondamentali: punto, retta e piano

Fig.1– Enti geometrici fondamentali: punto, retta e piano


Gli enti geometrici fondamentali

Enti geometrici della geometria proiettiva:

punto improprio: è il punto all’infinito di una retta che ne definisce la direzione. Rette parallele hanno lo stesso punto improprio;

retta impropria: è l’insieme di tutti i punti impropri di un piano che ne definisce la giacitura. Piani paralleli hanno la stessa giacitura.

Fig. 2 – Elementi della geometria proiettiva: punto improprio – direzione

Fig. 2 – Elementi della geometria proiettiva: punto improprio - direzione

Fig. 3 – Elementi della geometria proiettiva: retta impropria giacitura

Fig. 3 – Elementi della geometria proiettiva: retta impropria giacitura


Le operazioni fondamentali della G. D.

Il passaggio dallo spazio alla sua rappresentazione su un piano avviene mediante le due operazioni fondamentali della Geometria Descrittiva: proiezione e sezione.
Si può assumere come centro di proiezione un punto proprio, un punto improprio oppure si può proiettare da una retta.

Fig. 4 –Proiezione di un punto

Fig. 4 –Proiezione di un punto

Fig. 5 – Proiezione di una retta

Fig. 5 – Proiezione di una retta


Le operazioni fondamentali della G. D.

A seconda della natura del centro di proiezione si possono avere:

proiezioni parallele o cilindriche se il centro è un punto improprio;

proiezioni centrali o coniche se il centro è un punto proprio.

Fig. 6 – Proiezioni parallele o cilindriche

Fig. 6 – Proiezioni parallele o cilindriche

Fig. 7 – Proiezioni centrali o coniche

Fig. 7 – Proiezioni centrali o coniche


Invarianti proiettivi

Si definiscono invarianti proiettivi, le proprietà che le figure conservano dopo essere state sottoposte ad una serie di operazioni di proiezione e sezione.
Sono invarianti proiettivi l’appartenenza, la collinearità e l’incidenza.
In particolare due rette incidenti si definiscono parallele quando hanno in comune un punto improprio e quindi hanno la stessa giacitura.
Due rette che non hanno punti in comune si definiscono sghembe.

fig. 8 – Appartenenza di un punto ad una retta
fig. 9 – Incidenza
fig. 10 – Rette sghembe

Proposizioni fondamentali

proposizioni fondamentali:

  • due punti distinti individuano una retta alla quale appartengono;
  • due rette incidenti individuano un punto a cui appartengono;
  • due piani distinti individuano una retta a cui appartengono;
  • due rette incidenti individuano un piano a cui appartengono;
  • tre punti non allineati individuano un piano a cui essi appartengono;
  • tre piani non appartenenti ad una retta individuano un punto a cui appartengono;
  • una retta ed un punto che non si appartengono individuano un piano a cui appartengono;
  • una retta ed un piano che non si appartengono individuano un punto a cui appartengono.

Condizioni di parallelismo

Due rette sono parallele se hanno in comune la stessa direzione e quindi hanno lo stesso punto improprio.
Due rette parallele individuano un piano.

Due piani sono paralleli se hanno in comune la stessa giacitura.

Una retta è parallela ad un piano quando esiste una retta del piano parallela alla retta data.

Fig. 11 – Condizioni di parallelismo tra rette e piani

Fig. 11 – Condizioni di parallelismo tra rette e piani

Fig. 12 – Condizioni di parallelismo tra una retta ed un piano

Fig. 12 – Condizioni di parallelismo tra una retta ed un piano


Condizioni di ortogonalità

Due piani sono ortogonali quando dividono lo spazio in quattro diedri uguali.

Due rette sono ortogonali quando dividono il piano in quattro parti uguali e quindi formano quattro angoli di 90°.

Una retta a è ortogonale ad un piano α quando costruendo per r un piano β esso è sempre ortogonale ad α.

Un piano α è ortogonale ad una retta a quando per il punto di incidenza P si può costruire una retta r appartenente ad a ortogonale ad a.

Fig. 13 –  Ortogonalità tra piani e tra rette

Fig. 13 - Ortogonalità tra piani e tra rette

Fig. 14 –  Ortogonalità tra una retta ed un piano

Fig. 14 - Ortogonalità tra una retta ed un piano


Forme geometriche fondamentali di prima specie

  • Fascio di rette: è l’insieme delle rette di un piano a passanti per un punto O, si ottiene proiettando da O gli infiniti punti di una retta. Il punto O è il centro del fascio.
  • Fascio di piani: è l’insieme infinito di piani passanti per una retta, si ottiene proiettando da una retta r i punti di una retta a, che non sia né parallela né incidente. La retta r è il sostegno del fascio.
  • Retta punteggiata: è l’insieme infinito di punti che appartengono ad una retta, si ottiene sezionando un fascio di rette.
Fig. 15 – Fascio di piani
Fig. 16 – Fascio di rette
Fig. 17 – Retta punteggiata

Forme geometriche fondamentali di seconda specie

  • Stella di rette: è l’insieme di rette passanti per un punto, si ottiene proiettando i punti appartenenti ad un piano.
  • Stella di piani: è l’insieme di piani passanti per un punto, si ottiene proiettando da un punto O le rette appartenenti ad un piano.
  • Piano punteggiato: è l’insieme di punti appartenenti ad un piano, si ottiene sezionando una stella di rette.
  • Piano rigato: è l’insieme delle rette che appartengono ad un piano e si ottiene sezionando la stella di piani.
Fig. 18 – Stella di rette
Fig. 19 – Stella di piani
Fig. 20 – Piano punteggiato e piano rigato

Proiettività e prospettività

Due forme fondamentali sono proiettive quando si deducono l’una dall’altra mediante un numero finito di operazioni di proiezione e sezione.

Due forme fondamentali si dicono prospettive quando si deducono l’una dall’altra mediante due sole operazioni: una sezione ed una proiezione.

In particolare due fasci di rette sono prospettivi quando le rette corrispondenti si intersecano su una retta detta asse di prospettività.

Analogamente due punteggiate sono prospettive quando i punti corrispondenti sono allineati con un punto O detto centro della prospettività.

Fig. 21 – Proiettività

Fig. 21 - Proiettività

Fig. 22 – Prospettività

Fig. 22 - Prospettività


Prospettività tra piani e omologia

In una prospettività tra piani valgono le seguenti proporietà:

  • Punti corrispondenti sono allineati con il centro della prospettività.
  • Rette corrispondenti si intersecano sull’asse s di prospettività.

Si definisce omologia piana il prodotto di due prospettività: proiettando una figura T appartenente ad un piano α da due centri di prospettività distinti su due piani π e π1 sovrapposti, si ha che T e T1 sono omologhe.

In un’omologia valgono le seguenti proprietà:

  • rette corrispondenti si intersecano sull’asse s;
  • punti corrispondenti sono allineati con il centro S.

Fig. 24 – omologia

Fig. 23 – Prospettività tra piani

Fig. 23 – Prospettività tra piani

Fig. 24 – Omologia

Fig. 24 - Omologia


I materiali di supporto della lezione

Capone M., La genesi Geometrica della forma. Applicazioni di Geometria Descrittiva nell'era informatica, Fidericiana Editrice Universitaria, Napoli 2010.

Dell'Aquila M., Il luogo della geometria, Arte Tipografica, Napoli 1999.

Migliari R., Geometria dei modelli, Edizioni Kappa, Roma 2003.

Migliari R., Geometria Descrittiva, Voll. I e II, Città Studi edizioni, Novara 2009.

Sgrosso A., La rappresentazione geometrica dell'architettura, Utet, Torino 1996.

Prospettività e omologia

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