Il passaggio dallo spazio tridimensionale alla costruzione di un’immagine piana avviene tramite le operazioni fondamentali della Geometria Descrittiva: proiezione e sezione.
Se il centro di proiezione è un punto proprio la proiezione si definisce conica o centrale.
Il riferimento nello spazio è costituito da un centro di proiezione V e da un piano π detto quadro.
Il riferimento sul quadro è costituito dalla proiezione ortogonale del centro di proiezione Vo, e dal cerchio di distanza ω di centro Vo e raggio pari a d, distanza del centro di proiezione dal quadro.
L’immagine r’ di una generica retta r è data dall’intersezione del piano proiettante γ passante per r e per il centro di proiezione V con il quadro.
Tuttavia la sola immagine r’ della retta non è sufficiente a definire univocamente la retta in quanto rappresenta tutte le rette appartenenti al piano proiettante γ.
Per rappresentare univocamente una retta r oltre alla sua immagine r’ è necessario rappresentare due punti caratteristici della retta per i quali r’ passa: Tr ed Fr’, traccia e fuga della retta.
La traccia Tr è l’intersezione della retta con il quadro.
La fuga Fr’ è la proiezione del punto improprio della retta e quindi è l’immagine della direzione della retta.
Ne deriva che poiché rette parallele hanno la stessa direzione esse avranno anche lo stesso punto di fuga.
Un piano α è rappresentato mediante due rette: tα ed fα’, traccia e fuga del piano.
La traccia è la retta di intersezione del piano con il quadro.
La fuga è l’immagine della retta impropria del piano e ne definisce la giacitura.
Poiché piani paralleli hanno la stessa giacitura ne deriva che essi hanno la stessa retta di fuga.
Un punto P è univocamente rappresentato mediante la sua immagine P’ e l’immagine di una retta r passante per P.
Infatti, la sola immagine P’ non è sufficiente ad individuare univocamente il punto in quanto rappresenta tutti i punti appartenenti al raggio proiettante PV.
Fig.5 – proiezioni centrali – punto
Nella prospettiva il riferimento nello spazio è costituito da un piano orizzontale π1 assunto come riferimento detto geometrale, dal quadro π, dal centro di proiezione V e da un piano verticale γ passante per il centro di proiezione ed ortogonale al quadro detto piano visuale principale.
A seconda della posizione del quadro rispetto al geometrale si possono distinguere i seguenti casi:
Il riferimento nello spazio è costituito da:
π1: geometrale, piano orizzontale di riferimento;
π: quadro;
V: centro di proiezione;
γ: piano visuale principale
Il riferimento sul quadro è costituito da:
f : retta fondamentale, intersezione del geometrale con il quadro, traccia del geometrale;
Vo: Punto principale, proiezione ortogonale del centro di proiezione sul quadro;
o: retta di orizzonte, proiezione della retta impropria del geometrale e quindi fuga del geometrale;
tγ: Traccia del piano visuale principale;
VVo =d: distanza principale;
(V): ribaltato di V.
Nella prospettiva a quadro verticale la distanza tra la fondamentale e l’orizzonte è uguale all’altezza dell’osservatore (quota del centro di proiezione).
Una retta r è univocamente rappresenta mediante l’immagine r’ passante per due punti caratteristici della retta: Tr la traccia ed Fr’ la fuga, rispettivamente intersezione della retta con il quadro ed immagine del punto improprio della retta e quindi immagine della direzione della retta.
Un piano α si rappresenta mediante tre rette, tα, la traccia, intersezione del piano con il quadro, fα‘, la fuga, immagine della retta impropria del piano che ne definisce la giacitura, e Sα‘, l’immagine della traccia geometrale, intersezione del piano con il geometrale.
Un punto P è univocamente rappresentato mediante l’immagine P’ e l’immagine di una retta passante per P.
Ribaltando il geometrale sul quadro si stabilisce una relazione di omologia tra gli elementi del geometrale ribaltati sul quadro e la loro proiezione prospettica.
Considerando una figura T appartenente al geometrale si ha infatti che (T) e T’ sono omologhe in quanto proiezione di T appartenente al geometrale da due centri di prospettività distinti, rispettivamente R improprio ortogonale al piano bisettore il diedro formato dal geometrale e dal quadro, e V.
Si ha quindi che l’omologia ha per centro il punto (V), per asse la retta f e come retta limite la retta o.
Nella prospettiva a quadro verticale le rette verticali sono parallele al quadro, hanno traccia e fuga impropria e quindi sono parallele tra loro.
2. Omologia
3. Proiezioni centrali: prospettiva a quadro verticale
4. Prospettiva a quadro inclinato
5. Prospettiva a quadro orizzontale
8. Doppie proiezioni ortogonali
9. Proiezioni ortogonali: condizioni di appartenenza, parallelismo...
10. Proiezioni ortogonali: vera forma e grandezza
11. Proiezioni ortogonali: problemi fondamentali
13. Cilindri
14. Teoria delle ombre - parte prima
15. Teoria delle ombre – parte seconda
17. Superfici di traslazione e rototraslazione
Capone M., La genesi Geometrica della forma. Applicazioni di Geometria Descrittiva nell'era informatica, Fidericiana Editrice Universitaria, Napoli 2010.
Dell'Aquila M., Il luogo della geometria, Arte Tipografica, Napoli 1999.
Migliari R., Geometria dei modelli, Edizioni Kappa, Roma 2003.
Migliari R., Geometria Descrittiva, Voll. I e II, Città Studi edizioni, Novara 2009.
Sgrosso A., La rappresentazione geometrica dell'architettura, Utet, Torino 1996.
2. Omologia
3. Proiezioni centrali: prospettiva a quadro verticale
4. Prospettiva a quadro inclinato
5. Prospettiva a quadro orizzontale
8. Doppie proiezioni ortogonali
9. Proiezioni ortogonali: condizioni di appartenenza, parallelismo...
10. Proiezioni ortogonali: vera forma e grandezza
11. Proiezioni ortogonali: problemi fondamentali
13. Cilindri
14. Teoria delle ombre - parte prima
17. Superfici di traslazione e rototraslazione
20. Superfici rigate - parte prima
21. Superfici rigate - parte seconda
22. Gli archi
23. Le volte
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