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Mara Capone » 3.Proiezioni centrali: prospettiva a quadro verticale


Proiezioni centrali

Il passaggio dallo spazio tridimensionale alla costruzione di un’immagine piana avviene tramite le operazioni fondamentali della Geometria Descrittiva: proiezione e sezione.

Se il centro di proiezione è un punto proprio la proiezione si definisce conica o centrale.

Il riferimento nello spazio è costituito da un centro di proiezione V e da un piano π detto quadro.

Il riferimento sul quadro è costituito dalla proiezione ortogonale del centro di proiezione Vo, e dal cerchio di distanza ω di centro Vo e raggio pari a d, distanza del centro di proiezione dal quadro.

Fig.1– proiezioni centrali – il riferimento nello spazio e sul quadro

Fig.1– proiezioni centrali – il riferimento nello spazio e sul quadro


Rappresentazione degli enti fondamentali

L’immagine r’ di una generica retta r è data dall’intersezione del piano proiettante γ passante per r e per il centro di proiezione V con il quadro.

Tuttavia la sola immagine r’ della retta non è sufficiente a definire univocamente la retta in quanto rappresenta tutte le rette appartenenti al piano proiettante γ.

Per rappresentare univocamente una retta r oltre alla sua immagine r’ è necessario rappresentare due punti caratteristici della retta per i quali r’ passa: Tr ed Fr’, traccia e fuga della retta.

La traccia Tr è l’intersezione della retta con il quadro.
La fuga Fr’ è la proiezione del punto improprio della retta e quindi è l’immagine della direzione della retta.

Ne deriva che poiché rette parallele hanno la stessa direzione esse avranno anche lo stesso punto di fuga.

Fig.2– proiezioni centrali – retta

Fig.2– proiezioni centrali - retta

Fig. 3 –proiezioni centrali – retta

Fig. 3 –proiezioni centrali - retta


Rappresentazione degli enti fondamentali

Un piano α è rappresentato mediante due rette: ed fα’, traccia e fuga del piano.

La traccia è la retta di intersezione del piano con il quadro.

La fuga è l’immagine della retta impropria del piano e ne definisce la giacitura.

Poiché piani paralleli hanno la stessa giacitura ne deriva che essi hanno la stessa retta di fuga.

Fig.4– proiezioni centrali – piano

Fig.4– proiezioni centrali - piano


Rappresentazione degli enti fondamentali

Un punto P è univocamente rappresentato mediante la sua immagine P’ e l’immagine di una retta r passante per P.

Infatti, la sola immagine P’ non è sufficiente ad individuare univocamente il punto in quanto rappresenta tutti i punti appartenenti al raggio proiettante PV.
Fig.5 – proiezioni centrali – punto

Fig.5 – proiezioni centrali – punto

Fig.5 – proiezioni centrali - punto


Prospettiva

Nella prospettiva il riferimento nello spazio è costituito da un piano orizzontale π1 assunto come riferimento detto geometrale, dal quadro π, dal centro di proiezione V e da un piano verticale γ passante per il centro di proiezione ed ortogonale al quadro detto piano visuale principale.
A seconda della posizione del quadro rispetto al geometrale si possono distinguere i seguenti casi:

  • La prospettiva si definisce a quadro verticale quando il quadro è ortogonale rispetto al geometrale.
  • La prospettiva si definisce a quadro inclinato quando il quadro è genericamente inclinato rispetto al geometrale.
  • La prospettiva si definisce a quadro orizzontale quando il quadro è parallelo o coincidente con il geometrale.
Fig.6– prospettiva a quadro verticale
Fig. 7 – prospettiva a quadro inclinato
Fig. 8 – prospettiva a quadro orizzontale

Prospettiva a quadro verticale: il riferimento

Il riferimento nello spazio è costituito da:
π1: geometrale, piano orizzontale di riferimento;
π: quadro;
V: centro di proiezione;
γ: piano visuale principale

Il riferimento sul quadro è costituito da:
f : retta fondamentale, intersezione del geometrale con il quadro, traccia del geometrale;
Vo: Punto principale, proiezione ortogonale del centro di proiezione sul quadro;
o: retta di orizzonte, proiezione della retta impropria del geometrale e quindi fuga del geometrale;
tγ: Traccia del piano visuale principale;
VVo =d: distanza principale;
(V): ribaltato di V.

Nella prospettiva a quadro verticale la distanza tra la fondamentale e l’orizzonte è uguale all’altezza dell’osservatore (quota del centro di proiezione).

Fig.9– il riferimento nello spazio

Fig.9– il riferimento nello spazio

fig. 10 –il riferimento sul piano

fig. 10 –il riferimento sul piano


Rappresentazione degli enti fondamentali

Una retta r è univocamente rappresenta mediante l’immagine r’ passante per due punti caratteristici della retta: Tr la traccia ed Fr’ la fuga, rispettivamente intersezione della retta con il quadro ed immagine del punto improprio della retta e quindi immagine della direzione della retta.

fig. 11- rappresentazione di una retta

fig. 11- rappresentazione di una retta


Rappresentazione degli enti fondamentali

Un piano α si rappresenta mediante tre rette, tα, la traccia, intersezione del piano con il quadro, fα, la fuga, immagine della retta impropria del piano che ne definisce la giacitura, e Sα, l’immagine della traccia geometrale, intersezione del piano con il geometrale.

Fig. 12 – rappresentazione di un piano

Fig. 12 – rappresentazione di un piano


Rappresentazione degli enti fondamentali

Un punto P è univocamente rappresentato mediante l’immagine P’ e l’immagine di una retta passante per P.

Fig. 13 – rappresentazione di un punto

Fig. 13 – rappresentazione di un punto


Figure appartenenti al geometrale

Ribaltando il geometrale sul quadro si stabilisce una relazione di omologia tra gli elementi del geometrale ribaltati sul quadro e la loro proiezione prospettica.

Considerando una figura T appartenente al geometrale si ha infatti che (T) e T’ sono omologhe in quanto proiezione di T appartenente al geometrale da due centri di prospettività distinti, rispettivamente R improprio ortogonale al piano bisettore il diedro formato dal geometrale e dal quadro, e V.

Si ha quindi che l’omologia ha per centro il punto (V), per asse la retta f e come retta limite la retta o.

Figure appartenenti al geometrale

Fig. 14 – rappresentazione di  una figura appartenente al geometrale tramite l’omologia

Fig. 14 – rappresentazione di una figura appartenente al geometrale tramite l'omologia


Figure appartenenti al geometrale

Fig. 15 – determinazione della prospettiva di una figura appartenente al geometrale

Fig. 15 – determinazione della prospettiva di una figura appartenente al geometrale


Determinazione delle altezze prospettiche

Nella prospettiva a quadro verticale le rette verticali sono parallele al quadro, hanno traccia e fuga impropria e quindi sono parallele tra loro.

Fig. 16 – determinazione delle altezze prospettiche.

Fig. 16 – determinazione delle altezze prospettiche

Fig. 16 – determinazione delle altezze prospettiche


Determinazione delle altezze prospettiche

Fig. 17 – determinazione delle altezze prospettiche

Fig. 17 – determinazione delle altezze prospettiche


I materiali di supporto della lezione

Capone M., La genesi Geometrica della forma. Applicazioni di Geometria Descrittiva nell'era informatica, Fidericiana Editrice Universitaria, Napoli 2010.

Dell'Aquila M., Il luogo della geometria, Arte Tipografica, Napoli 1999.

Migliari R., Geometria dei modelli, Edizioni Kappa, Roma 2003.

Migliari R., Geometria Descrittiva, Voll. I e II, Città Studi edizioni, Novara 2009.

Sgrosso A., La rappresentazione geometrica dell'architettura, Utet, Torino 1996.

Determinazione delle altezze prospettiche

Proiezioni centrali - punto

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