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Mara Capone » 9.Proiezioni ortogonali: condizioni di appartenenza, parallelismo e ortogonalità


Condizioni di appartenenza

L’appartenenza è un invariante proiettivo quindi nel metodo delle doppie proiezioni ortogonali si ha che:

  • Un punto P appartiene ad una retta r se e solo se le proiezioni del punto appartengono alle proiezioni omonime della retta.
  • Una retta appartiene ad un piano se le tracce della retta appartengono alle tracce omonime del piano.
  • Un punto appartiene ad un piano se appartiene ad una retta del piano.

Fig. 1  appartenenza di un punto ad una retta

Fig. 1 – appartenenza di un punto ad una retta

Fig. 1 – appartenenza di un punto ad una retta


Appartenenza di una retta ad un piano

Poiché per due punti passa un’unica retta, condizione necessaria e sufficiente a stabilire l’appartenenza di una retta ad un piano è che essa passi per due punti del piano.

Considerando due punti particolari della retta le tracce Sr e Tr, intersezioni della retta con π1 e con π2, si ha che una retta appartiene ad un piano se le tracce della retta appartengono alle tracce omonime del piano.

Fig. 2 – appartenenza di una retta ad un piano

Fig. 2 – appartenenza di una retta ad un piano


Appartenenza di un punto ad un piano

A sinistra: Fig. 3  – appartenenza di un punto ad un piano retta orizzontale. A destra: Fig. 4 – appartenenza di un punto ad un piano retta di fronte.

A sinistra: Fig. 3 - appartenenza di un punto ad un piano retta orizzontale. A destra: Fig. 4 - appartenenza di un punto ad un piano retta di fronte.


Figura appartenente ad un piano generico

Fig. 5  figura appartenente ad un  piano generico

Fig. 5 figura appartenente ad un piano generico


Intersezione di due piani

Le tracce della retta di intersezione di due piani si trovano sulle intersezioni delle tracce omonime dei due piani.

Fig. 6 intersezione di due piani

Fig. 6 intersezione di due piani

Fig.  7 intersezione di due piani

Fig. 7 intersezione di due piani


Condizioni di parallelismo

Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano parallele è che le immagini omonime siano parallele.

Due piani sono paralleli se le tracce omonime sono parallele.

Una retta ed un piano sono paralleli se esiste sul piano una retta parallela alla retta data.

Fig. 8 – condizioni di parallelismo

Fig. 8 - condizioni di parallelismo

Fig. 9 – condizioni di parallelismo

Fig. 9 – condizioni di parallelismo


Condizioni di ortogonalità

Due piani sono ortogonali quando dividono lo spazio in quattro diedri uguali.

Due rette sono ortogonali quando dividono il piano in quattro parti uguali e quindi formano quattro angoli di 90°.

Una retta n è ortogonale ad un piano a quando costruendo per n un piano β esso è sempre ortogonale ad a.

Un piano α è ortogonale ad una retta n quando per il punto di incidenza P si può costruire una retta r appartenente ad α ortogonale ad n.

Fig. 10 – condizioni di ortogonalità retta ortogonale ad un piano

Fig. 10 – condizioni di ortogonalità retta ortogonale ad un piano

Fig. 11 – condizioni di ortogonalità retta ortogonale ad un piano

Fig. 11 – condizioni di ortogonalità retta ortogonale ad un piano


I materiali di supporto della lezione

Capone M., La genesi Geometrica della forma. Applicazioni di Geometria Descrittiva nell'era informatica, Fidericiana Editrice Universitaria, Napoli 2010.

Dell'Aquila M., Il luogo della geometria, Arte Tipografica, Napoli 1999.

Migliari R., Geometria dei modelli, Edizioni Kappa, Roma 2003.

Migliari R., Geometria Descrittiva, Voll. I e II, Città Studi edizioni, Novara 2009.

Sgrosso A., La rappresentazione geometrica dell'architettura, Utet, Torino 1996.

Modelli

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