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Mara Capone » 8.Doppie proiezioni ortogonali


Proiezioni ortogonali

Nel metodo delle proiezioni ortogonali il riferimento nello spazio è costituito da due piani uno orizzontale, π1, e l’altro verticale, π2, tra loro mutamente ortogonali e da due centri di proiezione entrambi impropri ed ortogonali ai due piani O1 ed O2.

Per passare dallo spazio al piano si opera convenzionalmente un ribaltamento in senso antiorario del piano π2 sul piano π1 .

Il riferimento sul piano è pertanto costituito dai due piani π1 e π2 sovrapposti ma non coincidenti e da l, linea di terra, intersezione dei due piani.

Fig.1– Il riferimento nello spazio

Fig.1– Il riferimento nello spazio

Fig.2– Il riferimento sul piano

Fig.2– Il riferimento sul piano


Rappresentazione degli enti fondamentali: il punto

Un punto P è biunivocamente rappresentato mediante le sue due immagini P’ e P”, rispettivamente proiezione di P sui due piani che costituiscono il riferimento dai due centri di proiezione ortogonali ai due piani.

Considerato un piano g ortogonale ai due piani π1 e π2 passante per P, detto piano di profilo, si ha che le immagini del punto P si troveranno sull’intersezione del piano γ con i due piani che costituiscono il riferimento, tale retta è ortogonale alla linea di terra ed è detta retta di richiamo.

La distanza del punto P dal piano orizzontale assunto come riferimento è detta quota, ed è uguale al segmento P”Po, mentre la distanza dal piano verticale assunto come riferimento, P’Po, è detta aggetto.

Fig.3 – rappresentazione del punto

Fig.3 – rappresentazione del punto

Fig.4 – rappresentazione del punto

Fig.4 – rappresentazione del punto


Rappresentazione degli enti fondamentali: il punto (segue)

I piani che costituiscono il riferimento dividono lo spazio in quattro angoli diedri a seconda della posizione del punto nello spazio il punto avrà quota e aggetto al di sopra o al di sotto della linea di terra.

Fig.5 – Posizioni particolari di un punto nello spazio
Fig.6 	Rappresentazione del punto in diverse posizioni rispetto al riferimento
Fig. 7 – punti appartenenti ai piani del riferimento

Rappresentazione degli enti fondamentali: la retta

Una retta r è biunivocamente rappresentata dalle sue immagini, r’ ed r”, rispettivamente proiezione della retta dai due centri di proiezione sui due piani π1 e π2 e quindi dall’intersezione dei piani proiettanti, rispettivamente perpendicolari a π1 e π2, passanti per r, con i piani del riferimento.

Le due immagini della retta si possono comunque definire note le immagini di due punti qualsiasi della retta.
Per convenzione si utilizzano due punti particolari della retta, i punti Tr ed Sr, intersezioni della retta con i piani π1 e π2 , tali punti sono le tracce della retta.

Fig. 8 –rappresentazione della retta sul piano

Fig. 8 –rappresentazione della retta sul piano

Fig. 9 –rappresentazione della retta nello spazio

Fig. 9 –rappresentazione della retta nello spazio


Rappresentazione degli enti fondamentali: la retta (segue)

Le rette possono trovarsi in posizione particolare rispetto al riferimento.

Una retta è orizzontale quando è parallela al piano π1 quindi la prima traccia è impropria.
La seconda immagine di una retta orizzontale o” è parallela alla linea di terra, mentre la prima immagine è parallela alla retta obiettiva.

Fig. 10 – retta orizzontale

Fig. 10 – retta orizzontale

Fig. 11 – retta orizzontale

Fig. 11 – retta orizzontale


Rappresentazione degli enti fondamentali: la retta (segue)

Una retta parallela al piano verticale assunto come riferimento si definisce retta di fronte.

La retta di fronte essendo parallela al piano π2 ha la seconda traccia impropria e la prima immagine parallela alla linea di terra, mente la seconda immagine è parallela alla retta obiettiva.

Fig. 12 – retta di fronte

Fig. 12 – retta di fronte

Fig. 13 – retta di fronte

Fig. 13 – retta di fronte


Rappresentazione degli enti fondamentali: il piano

Un piano è univocamente individuato da due rette incidenti.

Nel metodo delle proiezioni ortogonali un piano α è biunivocamente determinato mediante le due rette di intersezione del piano con π1 e π2 , dette tracce, rispettivamente sα e tα.

Fig. 14 – rappresentazione del piano

Fig. 14 – rappresentazione del piano

Fig. 15 – rappresentazione del piano

Fig. 15 – rappresentazione del piano


Rappresentazione degli enti fondamentali: il piano (segue)

A sinistra: Fig. 16 – piano orizzontale. A destra Fig. 17 – piano di fronte

A sinistra: Fig. 16 – piano orizzontale. A destra Fig. 17 – piano di fronte


Rappresentazione degli enti fondamentali: il piano (segue)

A sinistra: Fig. 18 – piano proiettante in prima proiezione  ortogonale a π1. A destra: Fig. 19 – piano proiettante in  seconda proiezione ortogonale a π2

A sinistra: Fig. 18 - piano proiettante in prima proiezione ortogonale a π1. A destra: Fig. 19 - piano proiettante in seconda proiezione ortogonale a π2


I materiali di supporto della lezione

Capone M., La genesi Geometrica della forma. Applicazioni di Geometria Descrittiva nell'era informatica, Fidericiana Editrice Universitaria, Napoli 2010.

Dell'Aquila M., Il luogo della geometria, Arte Tipografica, Napoli 1999.

Migliari R., Geometria dei modelli, Edizioni Kappa, Roma 2003.

Migliari R., Geometria Descrittiva, Voll. I e II, Città Studi edizioni, Novara 2009.

Sgrosso A., La rappresentazione geometrica dell'architettura, Utet, Torino 1996.

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