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Mara Capone » 11.Proiezioni ortogonali: problemi fondamentali


Intersezioni

Utilizzando le condizioni di appartenenza si possono risolvere alcuni problemi fondamentali di geometria come ad esempio quello delle intersezioni.
Molti di questi problemi si risolvono in modo del tutto automatico in ambito digitale
Per determinare l’intersezione di una retta r con un piano α, nel metodo delle proiezioni ortogonali, si costruisce un piano β passante per r e si determina la retta x, intersezione di a e b.
Il punto P sarà determinato come intersezione di r ed x.

Fig. 1 – intersezione di una retta con un piano

Fig. 1 - intersezione di una retta con un piano

Fig. 2 – intersezione di una retta con un piano

Fig. 2 - intersezione di una retta con un piano


Fig. 3 – intersezione di una retta con un piano

Fig. 3 - intersezione di una retta con un piano


Intersezioni

L’intersezione di tre piani è un punto P.

Se si considerano ad esempio tre piani, α, β, γ il punto P si determina come intersezione delle rette a ed r rispettivamente intersezione di β e γ e di α e β.

Fig. 4 – intersezione di tre piani

Fig. 4 – intersezione di tre piani

Fig. 4 - intersezione di tre piani

Fig. 5 – intersezione di tre piani

Fig. 5 - intersezione di tre piani


Condizioni di parallelismo

Per costruire sul piano una retta parallela ad una retta data passante per un punto, nel metodo delle doppie proiezioni ortogonali, si utilizzano le condizioni di appartenenza e parallelismo.
Poiché due rette sono parallele quando le immagini omonime sono parallele per costruire una retta s parallela ad r passante per P si costruiscano le immagini s’ ed s” parallele rispettivamente ad r’ ed r” e passanti per O’ e P”.

Per costruire un piano β parallelo ad α passante per P si costruisca una retta o appartenente a β passante per P, le tracce di β passeranno per le tracce di o e saranno parallele alle tracce omonime di α.

In ambito digitale il problema si può risolvere in modo banale copiando la retta o il piano e considerando come punto di inserimento il punto P.

Fig. 6 – retta passante per un punto parallela ad una retta data

Fig. 6 - retta passante per un punto parallela ad una retta data

Fig.7	- piano passante per un punto parallelo ad un piano

Fig.7 - piano passante per un punto parallelo ad un piano


Condizioni di ortogonalità

Per costruire una retta passante per un punto ortogonale ad un piano nel metodo delle doppie proiezioni ortogonali, poiché una retta ed un piano sono ortogonali quando le immagini della retta sono ortogonali alle tracce omonime del piano basta costruire per P’ l’ortogonale a sα e per P” l’ortogonale a tα.

L’intersezione di n con α si determina considerando un piano β passante per n, il punto X è dato dall’intersezione della retta x, intersezione di α e β, con la retta n.

Per risolvere il problema in ambito digitale si consideri una qualsiasi retta r appartenente ad α e si costruisca il piano β passante per P e ortogonale ad r e quindi ad α.
Si determini la retta x, intersezione di α e β e si conduca per P l’ortogonale ad x. La retta n, ortogonale a x passante per P, è l’ortogonale ad α passante per P.
Fig. 8 – retta passante per un punto ortogonale ad un piano

Fig. 8 – retta passante per un punto ortogonale ad un piano

Fig. 8 - retta passante per un punto ortogonale ad un piano

Fig.9	- retta passante per un punto ortogonale ad un piano

Fig.9 - retta passante per un punto ortogonale ad un piano


Condizioni di ortogonalità

Per determinare la distanza di un punto P da un piano α si costruisca l’ortogonale ad α passante per P e si determini il punto di intersezione X come precedentemente illustrato.

La distanza di P dal piano è proprio pari al segmento PX. Per ottenere sul piano graficamente la vera forma del segmento si può costruire un piano proiettante in prima proiezione passante per PX e ribaltare tale piano su π1.

In ambito digitale si può misurare direttamente la lunghezza del segmento PX.

Fig. 10 – distanza di un punto da un piano

Fig. 10 - distanza di un punto da un piano


Condizioni di ortogonalità

Fig. 11 – piano passante per un punto perpendicolare ad una retta

Fig. 11 - piano passante per un punto perpendicolare ad una retta


Condizioni di ortogonalità

Per costruire graficamente un piano α passante per P ed ortogonale ad una retta r si utilizzano le condizioni di appartenenza e di ortogonalità.
Poiché una retta ed un piano sono ortogonali quando le immagini della retta sono ortogonali alle tracce omonime del piano si costruisca per P una retta di fronte f la cui seconda immagine sia ortogonale ad r”, mentre f’, essendo la retta parallela a π2, sarà parallela alla linea di terra.
La prima traccia del piano α passante per P ortogonale ad r si determina quindi conducendo per Sf l’ortogonale ad r’ mentre la seconda traccia tα si ottiene conducendo la parallela ad f”, quindi l’ortogonale ad r”, per il punto di intersezione di sα con la linea di terra.

Fig. 12 – piano passante per un punto perpendicolare ad una retta

Fig. 12 - piano passante per un punto perpendicolare ad una retta


Condizioni di ortogonalità

Poiché due piani sono ortogonali se uno di essi contiene una retta ortogonale all’altro, e poiché una retta appartiene ad un piano quando le tracce della retta appartengono alle tracce del piano, per determinare sul piano le tracce del piano β passante per una retta r ed ortogonale ad α, si determinino innanzitutto le tracce della retta r.
Per le condizioni di appartenenza tβ dovrà passare per Tr ed sβ per Sr.
Si costruisca poi per un punto P di r una retta n ortogonale ad α. Poiché due rette incidenti individuano un piano si ha che le rette n ed r individuano il piano β ortogonale ad α e passante per r.

Fig. 13 – piano passante per una retta perpendicolare ad un piano assegnato

Fig. 13 - piano passante per una retta perpendicolare ad un piano assegnato


Condizioni di ortogonalità

Fig. 14 – piano passante per una retta perpendicolare ad un piano assegnato

Fig. 14 - piano passante per una retta perpendicolare ad un piano assegnato


I materiali di supporto della lezione

Capone M., La genesi Geometrica della forma. Applicazioni di Geometria Descrittiva nell'era informatica, Fidericiana Editrice Universitaria, Napoli 2010.

Dell'Aquila M., Il luogo della geometria, Arte Tipografica, Napoli 1999.

Migliari R., Geometria dei modelli, Edizioni Kappa, Roma 2003.

Migliari R., Geometria Descrittiva, Voll. I e II, Città Studi edizioni, Novara 2009.

Sgrosso A., La rappresentazione geometrica dell'architettura, Utet, Torino 1996.

Intersezioni

Modelli

Retta ortogonale

Tre piani

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