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Mara Capone » 12.Sezioni piane del cono


Superfici coniche

Si definisce superficie conica la superficie generata proiettando da un punto V i punti di una curva ω appartenente ad un piano π non passante per V.

Se la curva è una circonferenza la superficie è un cono circolare, se la proiezione ortogonale di V sul piano π coincide con il centro della circonferenza il cono è circolare retto, altrimenti è circolare obliquo.

Il punto V è detto vertice del cono, la curva ω è detta direttrice, mentre le rette che da V proiettano i punti della curva direttrice sono dette generatrici.

Fig. 1 cono circolare

Fig. 1 cono circolare

Fig. 1 cono circolare


Sezioni coniche

Le sezioni piane di un cono circolare sono dette sezioni coniche.

A seconda della posizione del piano rispetto al cono si possono verificare i seguenti casi:

  • La sezione è un’ellisse se il piano interseca tutte le generatrici del cono in punti propri.
  • La sezione è una parabola se il piano seziona tutte le generatrici in punti propri tranne una ed è quindi parallelo ad una generatrice.
  • La sezione è un’iperbole se il piano seziona tutte le generatrici in punti propri tranne due e quindi è parallelo a due generatrici.

Si definisce conica degenere la sezione ottenuta con un piano passante per il vertice.

Si possono verificare i seguenti casi:

  • Il piano passante per il vertice ha in comune con il cono solo il vertice, la conica degenere è un punto.
  • Il piano passante per il vertice è tangente al cono, la conica degenere è una generatrice.
  • Il piano passante per il vertice è secante, la conica degenere è costituita da due generatrici.

Ellisse

La sezione di un cono circolare con un piano α è un’ellisse se il piano che seziona il cono seziona tutte le generatrici del cono in punti propri, ciò si verifica quando il piano β parallelo ad α passante per il vertice ha in comune con il cono solo il vertice.

Fig. 2 – ellisse

Fig. 2 ellisse

Fig. 2 ellisse


Rappresentazione di un cono circolare

Per rappresentare un cono nel metodo delle doppie proiezioni ortogonali si determina il contorno apparente della superficie relativo a ciascuna proiezione.
La seconda proiezione si ottiene considerando i piani proiettanti in seconda proiezione tangenti al cono, mentre la prima proiezione si ottiene considerando le tangenti alla direttrice ω condotte dalla prima proiezione del vertice V.
Nel caso del cono circolare retto la prima proiezione del cono coincide con ω e V’.

Fig. 3 – rappresentazione di un cono nel metodo delle doppie proiezioni ortogonali.

Fig. 3 - rappresentazione di un cono nel metodo delle doppie proiezioni ortogonali.

Fig. 4- rappresentazione di un cono nel metodo delle doppie proiezioni ortogonali.

Fig. 4- rappresentazione di un cono nel metodo delle doppie proiezioni ortogonali.


Rappresentazione di un cono circolare

Fig 5- rappresentazione di un cono nel metodo delle doppie proiezioni ortogonali.

Fig 5- rappresentazione di un cono nel metodo delle doppie proiezioni ortogonali.


Ellisse

Fig.6- ellisse

Fig.6- ellisse


Ellisse

Fig.7- ellisse

Fig.7- ellisse


Fig.8-  modello ellisse seconda proiezione

Fig.8- modello ellisse seconda proiezione


Fig.9- modello ellisse prima proiezione

Fig.9- modello ellisse prima proiezione


Fig.10- modello ellisse seconda proiezione

Fig.10- modello ellisse seconda proiezione


Parabola

Fig.11 - modello parabola

Fig.11-modello  parabola

Fig.11-modello parabola


Parabola

Fig.12- modello parabola

Fig.12- modello parabola


Iperbole

Fig.13 – iperbole

Fig.13- iperbole

Fig.13- iperbole


Iperbole

Fig.14- iperbole

Fig.14- iperbole


Iperbole

A sinistra: Fig.15- iperbole – determinazione degli asintoti. A destra: Fig.16- iperbole – determinazione degli asintoti.

A sinistra: Fig.15- iperbole – determinazione degli asintoti. A destra: Fig.16- iperbole – determinazione degli asintoti.


I materiali di supporto della lezione

Capone M., La genesi Geometrica della forma. Applicazioni di Geometria Descrittiva nell'era informatica, Fidericiana Editrice Universitaria, Napoli 2010.

Dell'Aquila M., Il luogo della geometria, Arte Tipografica, Napoli 1999.

Migliari R., Geometria dei modelli, Edizioni Kappa, Roma 2003.

Migliari R., Geometria Descrittiva, Voll. I e II, Città Studi edizioni, Novara 2009.

Sgrosso A., La rappresentazione geometrica dell'architettura, Utet, Torino 1996.

Cono

Cono circolare

Ellisse

iperbole

Modelli

Parabola

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