Si definiscono rigate le superfici generate dal movimento di una retta nello spazio secondo una determinata legge di moto.
Le rette che definiscono la superficie si dicono generatrici mentre si definisce direttrice una qualsiasi curva appartenente alla superficie che abbia in comune con ciascuna generatrice un solo punto.
Le rigate possono essere distinte in:
Assegnate tre curve sghembe nello spazio, che si assumono come direttrici, si può definire rigata generica la superficie generata dal moto di una retta che si appoggia alle tre direttrici.
Se una delle tre direttrici è una retta impropria la rigata si dice a piano direttore, infatti tutte le generatrici per intersecare la retta impropria saranno parallele ad un piano detto appunto piano direttore.
Le rigate possono essere anche classificate in funzione dell’ordine, in particolare sono superfici del secondo ordine e quindi quadriche rigate: il cono quadrico; il cilindro quadrico; l’iperboloide ad una falda; il paraboloide iperbolico.
Assegnate nello spazio tre direttrici curve sghembe, ω1, ω2 e ω3, per costruire una generatrice della rigata generica avente come direttrici le tre curve assegnate, si scelga su ω1 un punto V1 e si costruisca la superficie conica avente come vertice V1 e come direttrice ω3.
La generatrice della rigata è la retta passante per V1 e per il punto P1, intersezione della direttrice ω2 con la superficie conica avente come vertice V1 e come direttrice ω3.
Per determinare altre generatrici si procede in modo analogo facendo variare su ω3 il vertice della superficie conica e determinando la generatrice di detta superficie che è anche generatrice della rigata.
Una superficie rigata è sviluppabile quando può essere distesa su un piano e ciò si verifica quando due generatrici consecutive sono incidenti.
Le superfici coniche sono quindi sviluppabili in quanto tutte le generatrici convergono in un punto V, il vertice, e pertanto due generatrici consecutive sono sempre complanari.
Anche le superfici cilindriche sono sviluppabili in quanto tutte le generatrici convergono nello stesso punto improprio e pertanto due generatrici consecutive sono sempre complanari.
Fig. 3 – superfici cilindriche
Si definiscono quadriche le superfici descritte da equazioni di secondo grado.
Da un punto di vista geometrico il grado di una superficie è definito dal numero di punti che la superficie ha in comune con una retta che l’attraversa.
A differenza della generica superficie conica ottenuta proiettando da un punto V i punti di una curva ω, il cono quadrico ha come direttrice una conica, quindi un’ellisse, una circonferenza, una parabola o un’iperbole.
In ogni caso sezionando un cono quadrico con un piano si può ottenere un’ellisse, una parabola o un’iperbole e naturalmente come casi particolari si può ottenere una conica degenere o una circonferenza.
Fig. 5 – sezioni di un cono quadrico
Il cilindro quadrico può invece essere:
Le sezioni piane di un cilindro con piani non paralleli alla direzione delle generatrici è una curva dello stesso tipo della direttrice. Un’ellisse se il cilindro è ellittico, una parabola se il cilindro è parabolico, una circonferenza se il cilindro è circolare o un’iperbole se il cilindro è iperbolico.
L’ipeboloide rotondo è una rigata avente come direttrici tre rette sghembe non parallele ad uno stesso piano.
Si può costruire anche come superficie di rotazione generata dalla rotazione di una retta g intorno ad un asse che non sia né parallelo né incidente con g.
Le sezioni piane di un iperboloide rotondo sono:
A sinistra: Fig. 10 – sezione piana dell'iperboloide rotondo - ellisse. A destra: Fig. 11 – sezione piana dell'iperboloide rotondo.
Il paraboloide iperbolico è una superficie rigata con tre direttrici rettilinee di cui una impropria: è quindi una rigata a piano direttore.
Per costruire un paraboloide iperbolico assegnate due direttrici rettilinee, a e c, e due generatrici, b e d, le cui intersezioni sono i vertici del quadrilatero sghembo ACBD è necessario definire la direttrice impropria e quindi il piano direttore β1 che si determina conducendo da un punto B della direttrice b la parallela a d.
Invertendo le direttrici con le generatrici si ottiene un parabolide identico al precedente, conducendo per un punto A di a la parallela a c si determina il piano direttore
β2.
L’intersezione di β1 e β2 consente di determinare la direzione dell’asse del paraboloide iperbolico.
Per determinare l’asse ed il vertice W del paraboloide si costruisca un piano ortogonale ad s e si proiettino ortogonalmente su tale piano le due generatrici b e d e le due direttrici a e c e si determini su tale piano il parallelogramma ACBD. L’asse sarà la parallela ad s passante per V.
Il vertice W del paraboloide è determinato dall’intersezione dell’asse v con la superficie.
Le sezioni del paraboloide con piani verticali passanti per l’asse e per le diagonali AB e DC sono parabole e sono dette parabole principali.
2. Omologia
3. Proiezioni centrali: prospettiva a quadro verticale
4. Prospettiva a quadro inclinato
5. Prospettiva a quadro orizzontale
8. Doppie proiezioni ortogonali
9. Proiezioni ortogonali: condizioni di appartenenza, parallelismo...
10. Proiezioni ortogonali: vera forma e grandezza
11. Proiezioni ortogonali: problemi fondamentali
13. Cilindri
14. Teoria delle ombre - parte prima
15. Teoria delle ombre – parte seconda
17. Superfici di traslazione e rototraslazione
Capone M., La genesi Geometrica della forma. Applicazioni di Geometria Descrittiva nell'era informatica, Fidericiana Editrice Universitaria, Napoli 2010.
Dell'Aquila M., Il luogo della geometria, Arte Tipografica, Napoli 1999.
Migliari R., Geometria dei modelli, Edizioni Kappa, Roma 2003.
Migliari R., Geometria Descrittiva, Voll. I e II, Città Studi edizioni, Novara 2009.
Sgrosso A., La rappresentazione geometrica dell'architettura, Utet, Torino 1996.
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17. Superfici di traslazione e rototraslazione
20. Superfici rigate - parte prima
21. Superfici rigate - parte seconda
22. Gli archi
23. Le volte
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