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Mara Capone » 20.Superfici rigate - parte prima


Superfici rigate

Si definiscono rigate le superfici generate dal movimento di una retta nello spazio secondo una determinata legge di moto.
Le rette che definiscono la superficie si dicono generatrici mentre si definisce direttrice una qualsiasi curva appartenente alla superficie che abbia in comune con ciascuna generatrice un solo punto.

Le rigate possono essere distinte in:

  • sviluppabili: quando due generatrici consecutive sono sempre complanari e quindi incidenti, e la superficie può essere distesa su un piano;
  • non sviluppabili: quando due direttrici sono sghembe e la superficie non può essere distesa su un piano.

Assegnate tre curve sghembe nello spazio, che si assumono come direttrici, si può definire rigata generica la superficie generata dal moto di una retta che si appoggia alle tre direttrici.
Se una delle tre direttrici è una retta impropria la rigata si dice a piano direttore, infatti tutte le generatrici per intersecare la retta impropria saranno parallele ad un piano detto appunto piano direttore.

Le rigate possono essere anche classificate in funzione dell’ordine, in particolare sono superfici del secondo ordine e quindi quadriche rigate: il cono quadrico; il cilindro quadrico; l’iperboloide ad una falda; il paraboloide iperbolico.


Rigata generica

Assegnate nello spazio tre direttrici curve sghembe, ω1, ω2 e ω3, per costruire una generatrice della rigata generica avente come direttrici le tre curve assegnate, si scelga su ω1 un punto V1 e si costruisca la superficie conica avente come vertice V1 e come direttrice ω3.
La generatrice della rigata è la retta passante per V1 e per il punto P1, intersezione della direttrice ω2 con la superficie conica avente come vertice V1 e come direttrice ω3.
Per determinare altre generatrici si procede in modo analogo facendo variare su ω3 il vertice della superficie conica e determinando la generatrice di detta superficie che è anche generatrice della rigata.

Fig. 1 – rigata generica.

Fig. 1 – rigata generica.


Rigate sviluppabili

Una superficie rigata è sviluppabile quando può essere distesa su un piano e ciò si verifica quando due generatrici consecutive sono incidenti.

Le superfici coniche sono quindi sviluppabili in quanto tutte le generatrici convergono in un punto V, il vertice, e pertanto due generatrici consecutive sono sempre complanari.

Anche le superfici cilindriche sono sviluppabili in quanto tutte le generatrici convergono nello stesso punto improprio e pertanto due generatrici consecutive sono sempre complanari.

Fig. 3 – superfici cilindriche

Fig. 2 – superfici coniche.

Fig. 2 – superfici coniche.

Fig. 3 – superfici cilindriche.

Fig. 3 – superfici cilindriche.


Rigate sviluppabili (segue)

Fig. 4 – sviluppo di una superficie nei modelli informatici.

Fig. 4 – sviluppo di una superficie nei modelli informatici.


Quadriche rigate

Si definiscono quadriche le superfici descritte da equazioni di secondo grado.
Da un punto di vista geometrico il grado di una superficie è definito dal numero di punti che la superficie ha in comune con una retta che l’attraversa.
A differenza della generica superficie conica ottenuta proiettando da un punto V i punti di una curva ω, il cono quadrico ha come direttrice una conica, quindi un’ellisse, una circonferenza, una parabola o un’iperbole.
In ogni caso sezionando un cono quadrico con un piano si può ottenere un’ellisse, una parabola o un’iperbole e naturalmente come casi particolari si può ottenere una conica degenere o una circonferenza.

Fig. 5 – sezioni di un cono quadrico

Fig.  5 – sezioni di un cono quadrico.

Fig. 5 – sezioni di un cono quadrico.


Quadriche rigate (segue)

Il cilindro quadrico può invece essere:

  • ellittico: se la direttrice è un’ellisse;
  • circolare: se la direttrice è una circonferenza;
  • parabololico: se la direttrice è una parabola;
  • iperbolico: se la direttrice è un’iperbole.

Le sezioni piane di un cilindro con piani non paralleli alla direzione delle generatrici è una curva dello stesso tipo della direttrice. Un’ellisse se il cilindro è ellittico, una parabola se il cilindro è parabolico, una circonferenza se il cilindro è circolare o un’iperbole se il cilindro è iperbolico.

Fig. 7 – sezioni piane di un cilindro quadrico

Fig.  6 – cilindro quadrico.

Fig. 6 – cilindro quadrico.

Fig. 7 – sezioni piane di un cilindro quadrico.

Fig. 7 – sezioni piane di un cilindro quadrico.


Iperboloide rotondo

L’ipeboloide rotondo è una rigata avente come direttrici tre rette sghembe non parallele ad uno stesso piano.
Si può costruire anche come superficie di rotazione generata dalla rotazione di una retta g intorno ad un asse che non sia né parallelo né incidente con g.

Le sezioni piane di un iperboloide rotondo sono:

  • circonferenze se il piano è ortogonale all’asse;
  • ellissi se il piano non è parallelo a nessuna generatrice;
  • iperboli se il piano passa per l’asse oppure è parallelo a due generatrici;
  • parabole se il piano è parallelo ad una generatrice.
Fig. 8 – sezione piana dell’iperboloide rotondo – ellisse.

Fig. 8 – sezione piana dell'iperboloide rotondo - ellisse.

Fig. 9 – sezione piana dell’iperboloide rotondo – circonferenza.

Fig. 9 – sezione piana dell'iperboloide rotondo - circonferenza.


Iperboloide rotondo (segue)

A sinistra: Fig. 10 – sezione piana dell’iperboloide rotondo – ellisse. A destra: Fig. 11 – sezione piana dell’iperboloide rotondo.

A sinistra: Fig. 10 – sezione piana dell'iperboloide rotondo - ellisse. A destra: Fig. 11 – sezione piana dell'iperboloide rotondo.


Paraboloide iperbolico

Il paraboloide iperbolico è una superficie rigata con tre direttrici rettilinee di cui una impropria: è quindi una rigata a piano direttore.
Per costruire un paraboloide iperbolico assegnate due direttrici rettilinee, a e c, e due generatrici, b e d, le cui intersezioni sono i vertici del quadrilatero sghembo ACBD è necessario definire la direttrice impropria e quindi il piano direttore β1 che si determina conducendo da un punto B della direttrice b la parallela a d.
Invertendo le direttrici con le generatrici si ottiene un parabolide identico al precedente, conducendo per un punto A di a la parallela a c si determina il piano direttore
β2.
L’intersezione di β1 e β2 consente di determinare la direzione dell’asse del paraboloide iperbolico.

Fig. 12 – paraboloide iperbolico.

Fig. 12 – paraboloide iperbolico.


Paraboloide iperbolico (segue)

Per determinare l’asse ed il vertice W del paraboloide si costruisca un piano ortogonale ad s e si proiettino ortogonalmente su tale piano le due generatrici b e d e le due direttrici a e c e si determini su tale piano il parallelogramma ACBD. L’asse sarà la parallela ad s passante per V.
Il vertice W del paraboloide è determinato dall’intersezione dell’asse v con la superficie.
Le sezioni del paraboloide con piani verticali passanti per l’asse e per le diagonali AB e DC sono parabole e sono dette parabole principali.

Fig. 13 – paraboloide iperbolico.

Fig. 13 – paraboloide iperbolico.

Fig. 14 – paraboloide iperbolico – determinazione delle parabole principali.

Fig. 14 – paraboloide iperbolico – determinazione delle parabole principali.


I materiali di supporto della lezione

Capone M., La genesi Geometrica della forma. Applicazioni di Geometria Descrittiva nell'era informatica, Fidericiana Editrice Universitaria, Napoli 2010.

Dell'Aquila M., Il luogo della geometria, Arte Tipografica, Napoli 1999.

Migliari R., Geometria dei modelli, Edizioni Kappa, Roma 2003.

Migliari R., Geometria Descrittiva, Voll. I e II, Città Studi edizioni, Novara 2009.

Sgrosso A., La rappresentazione geometrica dell'architettura, Utet, Torino 1996.

Sezioni di un cono quadrico

Sezioni piane di un cilindro quadrico

Superfici cilindriche

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