Riccardo Florio » 6.Metodi di proiezione e invarianti proiettive I

Proprietà degli enti geometrici fondamentali

La geometria elementare studia gli enti e le figure geometriche elementari i loro angoli, le loro grandezze.

La geometria descrittiva studia le operazioni fondamentali che consentono di costruire il modello bidimensionale di una figura dello spazio attraverso le operazioni di proiezione e di sezione.

La geometria proiettiva studia le proprietà delle figure che si mantengono inalterate nella immagine bidimensionale – proprietà proiettive.

Gli enti geometrici fondamentali definiti dalla geometria elementare sono il punto, la retta, il piano.

Alcuni concetti che si assumono come postulati esistenziali, non dimostrati, né dimostrabili, ne enunciano le proprietà intrinseche: il punto non ha dimensioni, la retta ha una sola dimensione, il piano ha due dimensioni ed è un insieme di infinite rette, perciò anche di infiniti punti.

Le relazioni immediate che intercorrono tra tali enti sono formulate in altri postulati principali che assumono valore fondante per la comprensione dei processi di proiezione:

tre punti non allineati individuano un piano
se due punti di una retta appartengono a un piano, la stessa retta apparterrà al piano dato
per un punto non appartenente alla retta data si può condurre una ed una sola retta ad essa parallela

Proiezione di un segmento

Applicando ad un segmento PQ dello spazio l’operazione geometrica fondamentale di proiezione e sezione da un centro proprio C, su un piano ϰ, se ne determina l’immagine P’Q’ o proiezione del segmento PQ, in analogia con il fenomeno fisico delle ombre.

Proiezione di un generico segmento da un centro proprio C

Proprietà proiettive o invarianti di Poncelet

Tre particolari proprietà proiettive chiariscono i processi di invarianza che si verificano per effetto di ogni operazione di proiezione.

Se un punto Q appartiene alla retta r di estremi PQ, anche la sua immagine Q’ apparterrà ad r’, retta immagine di r sul piano ϰ (proprietà di appartenenza).
Se tre punti P, R e Q sono allineati sulla retta r, le corrispondenti immagini P’, R’ e Q’ saranno allineate su r’ retta immagine di r sul piano ϰ (proprietà di allineamento o collinearità).
Se due rette complanari s ed r sono incidenti in un punto R, anche le loro immagini s’ ed r’ saranno rette incidenti nel punto immagine R’ (proprietà di incidenza).

Proiezione di due rette r ed s da un centro proprio C

Le proiezioni coniche, le proiezioni cilindriche

I metodi di rappresentazione si differenziano secondo due fondamentali classi: si distinguono i modelli geometrici basati sull’adozione di centri di proiezione al finito ovvero propri, che generano proiezioni definite centrali o coniche, da quelli fondati su operazioni proiettive da centri impropri, cioè posti a distanza infinita, che producono raggi proiettanti tra essi paralleli e che, secondo che siano ortogonali o non al piano della rappresentazione, si definiscono proiezioni parallele o cilindriche rispettivamente ortogonali o oblique.

I principali metodi di rappresentazione sono quattro: alla prima categoria delle proiezioni centrali o coniche si può ricondurre il metodo della prospettiva lineare conica; alla categoria delle proiezioni parallele o cilindriche si possono ricondurre il metodo della doppia proiezione ortogonale o metodo di Monge, il metodo dell’assonometria (ortogonale ed obliqua) e quello dei piani o delle proiezioni quotate.

Le implicazioni di tipo percettivo, geometrico e metrico, che derivano dall’utilizzo dei differenti metodi, sono diverse ed indirizzano la scelta verso il più opportuno procedimento grafico da adottare in funzione degli obiettivi che ci si prefigge di raggiungere.