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Raffaele Landolfo » 8.Aste tese e compresse


Resistenza e stabilità: la classificazione delle sezioni

Indice

  • Aste tese: verifica SLU.
  • Aste tese: dimensionamento.
  • Aste compresse: verifica SLU:
    • generalità;
    • caso 1: assenza di fenomeni di instabilità;
    • caso 2: presenza di instabilità locale;
    • caso 3: presenza di instabilità globale di tipo flessionale;
    • caso 4: presenza di instabilità globale e locale.
  • Aste compresse: dimensionamento.
  • Aste composte: verifica SLU.

Aste tese: verifica SLU

Le aste tese

La verifica allo SLU risulta soddisfatta se:  NEd ≤ Nt,Rd

dove:
NEd è lo sforzo normale di trazione di progetto;
Nt,Rd è lo sforzo normale ultimo della membratura.

Nel caso di membrature forate, la resistenza plastica dell’asta tesa va calcolata sia nella sezione senza fori (sezione lorda) che in quella con i fori (sezione netta).

La resistenza ultima da prendere in considerazione sarà la minore tra le due:

Nt,Rd = min (NPL,Rd, NU,Rd)

Asta tesa, sezione lorda e sezione netta

Asta tesa, sezione lorda e sezione netta

Capacità portante dell’asta tesa nel caso di sezione lorda e sezione netta

Capacità portante dell'asta tesa nel caso di sezione lorda e sezione netta


Aste tese: dimensionamento

Criteri di dimensionamento di un’asta tesa

Criteri di dimensionamento di un'asta tesa


Aste compresse: verifica SLU

Verifica delle aste compresse

La verifica allo SLU risulta soddisfatta se: NEd ≤ Nc,Rd

dove:
Ned = è lo sforzo di compressione di progetto;
Nc,Rd = è la resistenza ultima dell’asta a compressione.

La resistenza ultima a compressione sarà calcolata considerando quattro possibili casi:

  1. assenza di fenomeni di instabilità;
  2. presenza di instabilità locale;
  3. presenza di instabilità globale di tipo flessionale;
  4. presenza di instabilità sia locale che globale.
Asta compressa

Asta compressa


Aste compresse: verifica SLU (segue)

Caso 1: assenza di fenomeni di instabilità
Il calcolo di Nc,Rd si basa sull’ipotesi di comportamento elastico-perfettamente plastico del materiale. La membratura, in questo caso, mostra un comportamento lineare fino all’attingimento della massima capacità portante pari a:

Nc,Rd = A· fykM0 = A · fyd (1)

Dato che tutte le fibre raggiungono nello stesso momento la tensione di snervamento, la condizione limite elastica della sezione coincide con quella di completa plasticizzazione.

La relazione (1) è valida per sezioni trasversali di Classe 1, 2 e 3.

Evoluzione dello stato tensionale nel caso di compressione pura

Evoluzione dello stato tensionale nel caso di compressione pura


Aste compresse: verifica SLU (segue)

Caso 2: presenza di instabilità locale
La capacità portante della sezione compressa è pari a:

Nc,Rd = Aeff ∙ fykM0 = Aeff ∙ fyd (classe 4)

Introducendo il coefficiente riduttivo β:

β = Aeff/A

è possibile esprimere la capacità portante come:

Nc,Rd = Aeff ∙ fyd = (Aeff/A) ∙ A ∙ fyd = β ∙ A ∙ fyd = β ∙ NPl

Imbozzamento delle pareti di un’asta tubolare compressa

Imbozzamento delle pareti di un'asta tubolare compressa

Area efficace della sezione Aeff

Area efficace della sezione Aeff


Aste compresse: verifica SLU (segue)

Caso 3: presenza di instabilità globale
L’instabilità globale di tipo flessionale, ossia lo sbandamento laterale di una membratura compressa, può verificarsi in corrispondenza di livelli tensione anche molto minori della tensione limite elastica del materiale.

Questo fenomeno fu studiato da Eulero, che propose una formulazione teorica per il calcolo del carico critico.

Le ipotesi alla base di tale formulazione erano le seguenti:

  1. materiale elastico lineare, infinitamente resistente;
  2. assenza di imperfezioni;
  3. vincoli di estremità tipo cerniera.
Asta compressa soggetta al fenomeno di instabilità globale

Asta compressa soggetta al fenomeno di instabilità globale

Formulazione euleriana del carico critico

Formulazione euleriana del carico critico


Aste compresse: verifica SLU (segue)

Introducendo il concetto di snellezza geometria dell’asta λ, definita come:

λ = l/ρmin

è possibile diagrammare la tensione critica euleriana σEcr in funzione di λ, ottenendo un iperbole. Tale iperbole evidenzia come, per snellezze che tendono a zero, il valore della σEcr tende ad infinito, mentre per λ che tende a infinito la σEcr tende a zero.

Tensione critica euleriana e snellezza geometrica

Tensione critica euleriana e snellezza geometrica

Iperbole euleriana

Iperbole euleriana


Aste compresse: verifica SLU (segue)

Rimozione dell’ipotesi di vincoli di estremità di tipo cerniera

Nel 1700 Bernoulli (1700-1782) propose delle modifiche alla formulazione di Eulero introducendo la lunghezza libera d’inflessione delle aste generalmente vincolate agli estremi, che rappresenta la distanza tra i punti di flesso della relativa deformata instabile.

Sostituendo alla lunghezza geometrica dell’asta (L) la lunghezza libera d’inflessione (L0), si ottiene l’espressione generalizzata della formula di Eulero, che consente di valutare il carico critico di aste comunque vincolate alle estremità.

Lunghezza libera di inflessione

Lunghezza libera di inflessione

Valori notevoli dei coefficienti di vincolo

Valori notevoli dei coefficienti di vincolo


Aste compresse: verifica SLU (segue)

Rimozione dell’ipotesi di materiale infinitamente resistente

Limitando la validità della formulazione di Eulero alla tensione massima che il materiale può raggiungere (fy), si individua la cosiddetta snellezza limite λy, ossia quella snellezza che caratterizza le aste per le quali la crisi per schiacciamento (aste tozze) coincide con la crisi per instabilità (aste snelle).
Ne consegue che:

se λ > λy l’asta è snella;
se λ < λy l’asta è tozza.

Tensione massima (fy) e snellezza limite (λy) possono essere utilizzate per adimensionalizzare rispettivamente la tensione critica e la snellezza geometrica, ottenendo così la forma adimensionalizzata, dell’iperbole di Eulero. In termini adimensionali quindi:

se Χ > 1 l’asta è snella;
se Χ < 1 l’asta è tozza.

Intervallo di validità della formulazione euleriana

Intervallo di validità della formulazione euleriana

Curva di instabilità euleriana adimensionalizzata

Curva di instabilità euleriana adimensionalizzata


Aste compresse: verifica SLU (segue)

Rimozione dell’ipotesi di assenza di imperfezioni

Per effetto delle imperfezioni geometriche e meccaniche presenti nelle aste reali, il valore della tensione in corrispondenza della quale l’asta si instabilizza è più basso della tensione critica euleriana (σEcr).

La normativa, in base alla forma della sezione trasversale, fornisce 5 curve di stabilità (a0, a, b, c, d), capaci di stimare, in funzione della snellezza adimensionale dell’asta, l’effettivo valore della tensione di collasso per instabilità, espressa sempre in termini adimensionali (Χ).

Le espressioni analitiche di tali curve, ovviamente molto più complesse rispetto alla formulazione euleriana, si differenziano esclusivamente per il valore numerico che assume il parametro di imperfezione α, dipendente dalla forma della sezione.

Tali curve evidenziano inoltre come il valore della snellezza limite, ossia di quella snellezza che separa le aste tozze da quelle snella, è nella realtà molto più piccolo rispetto alla previsione euleriana (0.2 invece di 1).

Formulazione esatta della resistenza a compressione in caso di instabilità globale di tipo flessionale pura

Formulazione esatta della resistenza a compressione in caso di instabilità globale di tipo flessionale pura

Curve di stabilità

Curve di stabilità


Aste compresse: verifica SLU (segue)

Curve d’instabilità e fattori di imperfezione a per diverse sezioni e classi d’acciaio (elementi compressi)

Curve d'instabilità e fattori di imperfezione a per diverse sezioni e classi d'acciaio (elementi compressi)


Aste compresse: verifica SLU (segue)

Caso 4: presenza di instabilità globale e locale
La capacità portante ultima di una membratura compressa, soggetta sia ad instabilità locale (sezione di classe 4) che globale, dovrà tenere conto sia del fattore di riduzione Χ che dell’area efficace Aeff.

Capacità portante nel caso di instabilità globale e locale

Capacità portante nel caso di instabilità globale e locale

Tab. riepilogativa dei quattro casi

Tab. riepilogativa dei quattro casi


Aste compresse: dimensionamento

Criteri di dimensionamento di un’asta compressa

Criteri di dimensionamento di un'asta compressa


Aste compresse: verifica SLU (segue)


I materiali di supporto della lezione

Mazzolani Federico Massimo, Landolfo Raffaele, Le strutture metalliche (in Ingegneria delle Strutture, ed. E. Giangreco), Vol. 3, UTET, pp 151-233, 2002.

Landolfo Raffaele, Le costruzioni di acciaio (in La concezione strutturale nel progetto di architettura, eds A. Benedetti, E. Siviero); Editrice Compositiri S.r.l, Bologna, pp.176-205, 2002.

Schulitz, Sobek, Habermann, Atlante dell'acciaio, UTET, Torino, 1999.

Landolfo Raffaele, Strategie di progettazione antisismica ed orientamenti normativi (in Costruire con l'acciaio in zona sismica, Ed. Promozione Acciaio, Milano, pp.34-48, 2006).

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