Verifica di una sezione in cemento armato soggetta a flessione semplice
La verifica a flessione semplice di una sezione in c.a. allo SLU si effettua controllando che:
MRd≥MEd
dove :
MRd è la resistenza flessionale di progetto della sezione;
MEd è la sollecitazione flessionale agente.
Nota quindi la sollecitazione esterna (MEd), per poter effettuare la verifica occorre valutare la resistenza flessionale della sezione (MRd).
Calcolo di MRd
Il calcolo di MRd verrà condotto ipotizzando per il calcestruzzo e per l’acciaio i seguenti legami costitutivi:
In virtù di tali ipotesi, la crisi della sezione sarà sempre lato calcestruzzo (εc=εcu), mentre l’armatura tesa potrà essere in campo plastico (sezione a debole armatura) o in campo elastico (sezione a forte armatura).
La retta di deformazione che separa la regione 3 (debole armatura) dalla regione 4 (forte armatura) è detta retta della rottura bilanciata.
Duttilità di una sezione inflessa
L’inclinazione della retta di deformazione rappresenta, in generale, la misura della curvatura della sezione (χ).
La duttilità (μ) di una sezione in c.a. inflessa è direttamente proporzionale alla curvatura della sezione in condizione ultima (χu). In particolare, la duttilità è espressa dal rapporto:
μ = χu / χy
essendo:
χu = εcu /xc con xc asse neutro in condizioni ultime;
χy = εyd /(d-xe) con xe asse neutro in fase elastica.
Fissato il valore di deformazione ultima (εcu), è allora evidente che la duttilità in curvatura (χ) sarà tanto maggiore quanto minore è il valore di xc, ossia quanto più alta sarà la posizione dell’asse neutro.
Ne consegue che, le sezioni a debole armatura sono caratterizzate da una maggiore duttilità rispetto a quelle a forte armatura.
Sezione a debole armatura
Termini noti: B; h; d; As; fcd; fyd
Incognite: xc; MRd
Si impongono le equazioni di equilibrio alla:
in cui d*=(d–0,4·xc) è il braccio della coppia interna
Si calcolano le risultanti:
Dalla [1] si ricava xc, mentre dalla dalla [2] si ricava MRd.
Sezione a forte armatura
Termini noti: B; h; d; d’; As; fcd; fyd
Incognite: xc; MRd
Si impongono le equazioni di equilibrio alla:
Traslazione: C – F = 0 [1]
Rotazione: F · d* = C · d* = MRd[2]
dove il braccio d*=(d – 0,4·xc)
Le risultanti degli sforzi valgono:
La tensione nell’acciaio può esprimersi in funzione della corrispondente deformazione, sfruttando la linearità del legame costitutivo e quella del diagramma delle deformazioni:
σs = Es · 3,5‰ · (d – xc)/ xc
dalla [1] si ricava xc, mentre dalla [2] si ricava MRd.
Si osservi che, in questo caso, l’equazione di equilibrio alla traslazione è di 2°grado in xc, con un’unica soluzione positiva.
Rottura bilanciata e limite di armatura
Si definisce “rottura bilanciata” di una sezione inflessa quella per la quale la crisi avviene lato calcestruzzo (εc=εcu) con l’acciaio teso al limite elastico (εs=εyd).
Il quantitativo di armatura che determina la rottura bilanciata (Asb) è univocamente determinato, nota la geometria della sezione e le proprietà dei materiali.
Ne consegue che:
Per garantire, in fase di progetto, un comportamento duttile della sezione in condizioni ultime (sezione a debole armatura), si può imporre a livello normativo un limite superiore al quantitativo di armatura che è possibile disporre in zona tesa (Asmax) che dovrà essere ≤ Asb.
La sezione a doppia armatura
Si risolverà il problema ipotizzando che la crisi avvenga in Regione 3. Le tensioni valgono:
se ε’s ≥ εy → σ’s = fyd
se ε’s < εy→ σ’s < fyd
Nel secondo caso, si sfrutta la proporzionalità tra i triangoli EBF e NPF, esprimendo ε’s in funzione di xc e σ’f tramite la legge di Hooke. Generalmente, il contributo dell’acciaio compresso è trascurabile in termini di resistenza, ossia sul valore di MRd. Molto importante è invece il suo contributo in termini di duttilità.
La sezione a doppia armatura
Si impongono le equazioni di equilibrio:
Si calcolano le risultanti:
C = 0,8 · fcd · xc · B
F = As · fyd
F’ = A’s · fyd se ε’s ≥ εyd
F’ = A’s · σ’s se ε’s < εyd
con
σ’s= Es · 3,5‰ · (xc-d’)/xc
Dalla [1] si ricava xc, mentre dalla [2] si ricava MRd.
Calcolo approssimato di MRd
La normativa impone un limite superiore all’armatura tesa per garantire che la sezione risulti a debole armatura (xc<0,642·d).
In particolare, tale limite di armatura corrisponde una posizione dell’asse neutro posto a circa 0,3·d.
Imponendo quindi la condizione xc=0,3·d, è facile determinare la relazione che lega la resistenza flessionale della sezione MRd e l’armatura As.
Tale relazione può utilizzarsi sia per una valutazione approssimata di MRd, sia per il calcolo dell’armatura in funzione di MEd (cfr. problema di progetto).
Il progetto di una sezione a semplice armatura
A) Problema di progetto: ha come obiettivo la determinazione della geometria e dell’armatura della sezione in zona tesa.
Il problema presenta un numero di incognite (B, d, As, xc) superiore al numero di equazioni a disposizione.
Fissata una dimensione geometrica (B) e fissata una posizione dell’asse neutro (xc=k·d), l’altezza utile (d) e l’armatura (As) possono determinarsi in forma chiusa.
B) Problema di semiprogetto: ha come obiettivo, note le dimensioni della sezione, la determinazione della sola armatura da disporre in zona tesa.
Anche in questo caso, fissata una posizione dell’asse neutro (xc=k·d), si può determinare in forma chiusa As.
Il progetto di una sezione a semplice armatura
Termini noti: B; fcd; fyd; k
Incognite: d; As
Ponendo:
xc =k· d
l’equilibrio alla rotazione rispetto all’armatura tesa diventa:
B · 0,8 · k· d · fcd · (d-0,4·k·d) = Mmax
da cui si ricava:
d= r · √(Mmax/B), con r funzione di k e di fcd
Imponendo l’equilibrio alla rotazione rispetto alla posizione della risultante della zona compressa:
As · fyd · (d-0,4·k·d) = Mmax
si ricava:
As = Mmax/fyd(1-0,4·k)
In particolare, per k=0,3:
d*= d – 0,12·d = d·(1-0,12)=0,88·d, ovvero
d* ≅ 0,9·d
risulta:
As = Mmax/ (0,9·d· fyd)
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