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Raffaele Landolfo » 14.SLU per tensioni normali: la flessione semplice


Indice

  • La flessione semplice
    • Verifica di una sezione in cemento armato soggetta a flessione semplice
    • Calcolo di MRd
  • Semplice armatura
    • Sezione a debole armatura
    • Sezione a forte armatura
  • Rottura bilanciata e limite di armatura
  • La sezione a doppia armatura
  • Calcolo approssimato di MRd
  • Il progetto

La flessione semplice

Verifica di una sezione in cemento armato soggetta a flessione semplice

La verifica a flessione semplice di una sezione in c.a. allo SLU si effettua controllando che:

MRd≥MEd

dove :
MRd è la resistenza flessionale di progetto della sezione;
MEd è la sollecitazione flessionale agente.

Nota quindi la sollecitazione esterna (MEd), per poter effettuare la verifica occorre valutare la resistenza flessionale della sezione (MRd).

Tipico diagramma delle deformazioni relativo alla sollecitazione di progetto

Tipico diagramma delle deformazioni relativo alla sollecitazione di progetto


La flessione semplice (segue)

Calcolo di MRd

Il calcolo di MRd verrà condotto ipotizzando per il calcestruzzo e per l’acciaio i seguenti legami costitutivi:

  • Stress block per il calcestruzzo;
  • Elasto-plastico a duttilità infinita per l’acciaio.

In virtù di tali ipotesi, la crisi della sezione sarà sempre lato calcestruzzo (εccu), mentre l’armatura tesa potrà essere in campo plastico (sezione a debole armatura) o in campo elastico (sezione a forte armatura).

La retta di deformazione che separa la regione 3 (debole armatura) dalla regione 4 (forte armatura) è detta retta della rottura bilanciata.

Rette di deformazione in condizione di crisi per sezioni a debole e a forte armatura

Rette di deformazione in condizione di crisi per sezioni a debole e a forte armatura


La flessione semplice (segue)

Duttilità di una sezione inflessa

L’inclinazione della retta di deformazione rappresenta, in generale, la misura della curvatura della sezione (χ).

La duttilità (μ) di una sezione in c.a. inflessa è direttamente proporzionale alla curvatura della sezione in condizione ultima (χu). In particolare, la duttilità è espressa dal rapporto:
μ = χu / χy
essendo:
χu = εcu /xc con xc asse neutro in condizioni ultime;
χy = εyd /(d-xe) con xe asse neutro in fase elastica.

Fissato il valore di deformazione ultima (εcu), è allora evidente che la duttilità in curvatura (χ) sarà tanto maggiore quanto minore è il valore di xc, ossia quanto più alta sarà la posizione dell’asse neutro.

Ne consegue che, le sezioni a debole armatura sono caratterizzate da una maggiore duttilità rispetto a quelle a forte armatura.

Curvatura (χ) di una sezione inflessa

Curvatura (χ) di una sezione inflessa

Diagramma momento (M) – Curvatura (χ)

Diagramma momento (M) - Curvatura (χ)


Semplice armatura

Sezione a debole armatura

Termini noti: B; h; d; As; fcd; fyd
Incognite: xc; MRd

Si impongono le equazioni di equilibrio alla:

  • Traslazione: C – F = 0 [1]
  • Rotazione: F · d* = C · d*= MRd [2]

in cui d*=(d–0,4·xc) è il braccio della coppia interna

Si calcolano le risultanti:

  • C = 0,8 · fcd · xc · B
  • F = As · fyd

Dalla [1] si ricava xc, mentre dalla dalla [2] si ricava MRd.

Flessione semplice in regione 3

Flessione semplice in regione 3

Sostituendo xc nella [2]

Sostituendo xc nella [2]


Semplice armatura (segue)

Sezione a forte armatura

Termini noti: B; h; d; d’; As; fcd; fyd
Incognite: xc; MRd

Si impongono le equazioni di equilibrio alla:

Traslazione: C – F = 0 [1]
Rotazione: F · d* = C · d* = MRd[2]
dove il braccio d*=(d – 0,4·xc)

Le risultanti degli sforzi valgono:

  • C = 0,8 · fcd · xc · B
  • F = As · σs
Flessione semplice in regione 4

Flessione semplice in regione 4


Semplice armatura (segue)

La tensione nell’acciaio può esprimersi in funzione della corrispondente deformazione, sfruttando la linearità del legame costitutivo e quella del diagramma delle deformazioni:
σs = Es · 3,5‰ · (d – xc)/ xc
dalla [1] si ricava xc, mentre dalla [2] si ricava MRd.
Si osservi che, in questo caso, l’equazione di equilibrio alla traslazione è di 2°grado in xc, con un’unica soluzione positiva.

Semplice armatura (segue)

Rottura bilanciata e limite di armatura

Si definisce “rottura bilanciata” di una sezione inflessa quella per la quale la crisi avviene lato calcestruzzo (εccu) con l’acciaio teso al limite elastico (εsyd).

Il quantitativo di armatura che determina la rottura bilanciata (Asb) è univocamente determinato, nota la geometria della sezione e le proprietà dei materiali.

Ne consegue che:

  • As < Asb : sezione a debole armatura;
  • As > Asb : sezione a forte armatura.

Per garantire, in fase di progetto, un comportamento duttile della sezione in condizioni ultime (sezione a debole armatura), si può imporre a livello normativo un limite superiore al quantitativo di armatura che è possibile disporre in zona tesa (Asmax) che dovrà essere ≤ Asb.


Doppia armatura

La sezione a doppia armatura

  • Termini noti: B; h; d; d’; As; A’s; fcd; fyd
  • Incognite: xc; MRd

Si risolverà il problema ipotizzando che la crisi avvenga in Regione 3. Le tensioni valgono:

  • fyd nell’acciaio teso;
  • σ’s nell’acciaio compresso (non è possibile stabilire a priori se si trova in fase elastica o in fase plastica). In particolare:

se ε’s ≥ εy → σ’s = fyd
se ε’s < εy→ σ’s < fyd
Nel secondo caso, si sfrutta la proporzionalità tra i triangoli EBF e NPF, esprimendo ε’s in funzione di xc e σ’f tramite la legge di Hooke. Generalmente, il contributo dell’acciaio compresso è trascurabile in termini di resistenza, ossia sul valore di MRd. Molto importante è invece il suo contributo in termini di duttilità.

Similitudine tra i triangoli per ricavare ε’s

Similitudine tra i triangoli per ricavare ε's


Doppia armatura (segue)

La sezione a doppia armatura

Si impongono le equazioni di equilibrio:

  • Traslazione: C + F’ – F = 0 [1]
  • Rotazione: C ·(d-0,4·xc) + F’·(d–d’) = MRd [2]

Si calcolano le risultanti:

C = 0,8 · fcd · xc · B
F = As · fyd
F’ = A’s · fyd se ε’s ≥ εyd
F’ = A’s · σ’s se ε’s < εyd
con
σ’s= Es · 3,5‰ · (xc-d’)/xc

Dalla [1] si ricava xc, mentre dalla [2] si ricava MRd.

Flessione semplice in regione 3

Flessione semplice in regione 3


Doppia armatura

Calcolo approssimato di MRd

La normativa impone un limite superiore all’armatura tesa per garantire che la sezione risulti a debole armatura (xc<0,642·d).

In particolare, tale limite di armatura corrisponde una posizione dell’asse neutro posto a circa 0,3·d.

Imponendo quindi la condizione xc=0,3·d, è facile determinare la relazione che lega la resistenza flessionale della sezione MRd e l’armatura As.

Tale relazione può utilizzarsi sia per una valutazione approssimata di MRd, sia per il calcolo dell’armatura in funzione di MEd (cfr. problema di progetto).


Il progetto

Il progetto di una sezione a semplice armatura

A) Problema di progetto: ha come obiettivo la determinazione della geometria e dell’armatura della sezione in zona tesa.
Il problema presenta un numero di incognite (B, d, As, xc) superiore al numero di equazioni a disposizione.
Fissata una dimensione geometrica (B) e fissata una posizione dell’asse neutro (xc=k·d), l’altezza utile (d) e l’armatura (As) possono determinarsi in forma chiusa.
B) Problema di semiprogetto: ha come obiettivo, note le dimensioni della sezione, la determinazione della sola armatura da disporre in zona tesa.
Anche in questo caso, fissata una posizione dell’asse neutro (xc=k·d), si può determinare in forma chiusa As.


Il progetto (segue)

Il progetto di una sezione a semplice armatura

Termini noti: B; fcd; fyd; k
Incognite: d; As
Ponendo:
xc =k· d
l’equilibrio alla rotazione rispetto all’armatura tesa diventa:
B · 0,8 · k· d · fcd · (d-0,4·k·d) = Mmax
da cui si ricava:
d= r · √(Mmax/B), con r funzione di k e di fcd


Il progetto (segue)

Imponendo l’equilibrio alla rotazione rispetto alla posizione della risultante della zona compressa:
As · fyd · (d-0,4·k·d) = Mmax
si ricava:
As = Mmax/fyd(1-0,4·k)
In particolare, per k=0,3:
d*= d – 0,12·d = d·(1-0,12)=0,88·d, ovvero
d* ≅ 0,9·d
risulta:
As = Mmax/ (0,9·d· fyd)

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