La verifica allo stato limite ultimo per tensioni normali viene condotta partendo dalle seguenti ipotesi di base:
La prima ipotesi assicura che i diagrammi delle deformazioni che subiscono le diverse fibre della sezione saranno lineari fino alla condizione di rottura (rette di deformazione).
La seconda ipotesi esclude la possibilità di scorrimenti tra acciaio e cls fino al collasso.
I legami costitutivi del calcestruzzo
I modelli meccanici di calcolo per il calcestruzzo, in questa fase comportamentale, possono essere di tre tipi:
L’inizio del tratto a tensione costante è caratterizzato da un valore di deformazione che differisce a seconda del modello considerato (εc2; εc3; εc4). Viceversa, la deformazione ultima εcu è la stessa per tutti i modelli.
La resistenza di calcolo fcd è pari a:
fcd = αcc · 0,83 · Rck / γc
dove:
αcc =0,85 è il coefficiente riduttivo per effetti di lunga durata;
γc =1,5 è il coefficiente parziale di sicurezza del materiale;
0,83 · Rck è la resistenza caratteristica cilindrica.
I legami costitutivi dell’acciaio
I modelli meccanici di calcolo per l’acciaio, in questa fase comportamentale, sono di tipo elasto-plastico e presentano le seguenti peculiarità:
Il valore di calcolo della tensione di snervamento è pari a:
fyd = fyk / γM
in cui fyk è la tensione di snervamento caratteristica e γM = 1,15
Il valore di calcolo della tensione ultima è pari a:
fud = fuk / γM
fuk è la tensione ultima caratteristica e γM= 1,15
Condizioni di crisi per una sezione in cemento armato
Le condizioni di crisi di una sezione in c.a. sono sempre governate dal raggiungimento della deformazione ultima in uno dei due materiali.
In particolare, si può avere:
1. Crisi lato calcestruzzo,
quando si attinge in una fibra di calcestruzzo compresso la deformazione ultima εcu. Questa condizione di crisi è l’unica possibile se si considera un acciaio con legame costitutivo del tipo elastico-perfettamente plastico a duttilità infinita (tipo B).
2. Crisi lato acciaio,
quando si attinge nelle armature tese la deformazione ultima εud. Questa condizione di crisi è possibile solo se si considera per l’acciaio un legame costitutivo del tipo elastico-plastico incrudente a duttilità finita (tipo A).
Regioni di crisi nel caso di legame costitutivo dell’acciaio a duttilità limitata
Data una sezione in c.a. a doppia armatura soggetta a tensioni normali (σ), nell’ipotesi di assumere per l’acciaio un legame costitutivo a duttilità limitata, è possibile dimostrare che la retta di deformazione in condizioni ultime deve necessariamente appartenere ad una delle 6 regioni di rottura, individuate a partire dai valori limiti delle deformazioni e precisamente:
In corrispondenza del lembo compresso, i valori limite della deformazione del calcestruzzo (εci e εcu).
In corrispondenza dell’armatura tesa, il valore limite della deformazione dell’acciaio (εcu).
I fasci di rette che definiscono le regioni hanno, pertanto, come centro i seguenti punti:
Regioni di crisi nel caso di legame costitutivo dell’acciaio a duttilità infinita
Data una sezione in c.a. a doppia armatura soggetta a tensioni normali (σ), nell’ipotesi di assumere per l’acciaio un legame costitutivo a duttilità infinita, è possibile dimostrare che la retta di deformazione in condizioni ultime deve necessariamente appartenere ad una delle 4 regioni di rottura riportate in figura. Rispetto al caso precedente, risulta infatti che:
Data una sezione rettangolare in c.a. a doppia armatura soggetta a tensioni normali per effetto della presenza di momento flettente (M) e/o sforzo normale (N), le equazioni risolutrici sono
C+F’-F=N
dove
C è la risultante degli sforzi di compressione nel cls; F’ è la risultante degli sforzi di compressione nell’acciaio; F è la risultante degli sforzi di trazione nell’acciaio
C·dCg+F’·dF’g + F·dFg=M
dove
dCg , dF’g, dFg sono le distanze rispettivamente di C, F’ e F rispetto alla retta baricentrica della sola sezione di calcestruzzo.
Risultanti delle tensioni nell’acciaio
Le risultanti delle tensioni nelle armature di acciaio (tese e compresse) sono pari al prodotto delle aree per le rispettive tensioni:
dove
As è l’area dell’armatura tesa;
A’s è l’area dell’armatura compressa;
σs e σ’s sono le tensioni nell’acciaio.
Tali risultanti sono applicate nel baricentro delle aree delle armature.
Risultante delle tensioni di compressione nel cls e sua posizione in una sezione rettanolare considerando la semplificazione del diagramma parabola-rettangolo (a) con un diagramma di tensioni costante (b)
Risultante delle tensioni nel calcestruzzo
La risultante delle tensioni di compressione nel calcestruzzo, nonché la sua posizione, dipendono ovviamente dal legame costitutivo considerato. Nel caso di legame del tipo parabola-rettangolo per calcolare valore e posizione di tale risultante occorrerebbe, a rigore, risolvere degli integrali.
Per semplificare il calcolo, si introducono:
Risultante delle tensioni nel calcestruzzo
Se si assume per il calcestruzzo il legame costitutivo del tipo stress-block, il calcolo della risultante delle compressioni nonché la sua posizione sono facilmente determinabili. La distribuzione delle tensioni di compressione nella sezione è infatti costante, con valore fcd, e si estende per un’altezza pari a 0,8 xc.
La risultante C è pari:
C = B · 0,8 xc · fcd
e risulta posizionata ad una distanza 0.4 xc dal lembo superiore compresso.
Verifica di una sezione in cemento armato soggetta a compressione semplice
La verifica a compressione semplice di una sezione in c.a. allo SLU si effettua controllando che:
NRd≥NEd
dove :
Nota quindi la sollecitazione esterna (NEd), per poter effettuare la verifica occorre valutare la resistenza a compressione della sezione (NRd).
Impostazione del problema
La condizione di crisi per una sezione in c.a compressa avviene sempre per attingimento della deformazione ultima nel calcestruzzo (εcu).
Dal confronto tra i legami costitutivi dei due materiali si evince che, per qualunque valore della deformazione ultima del calcestruzzo compreso tra il 2%0 e il 3,5%0, l’acciaio risulta sempre in campo plastico (εs>1,86%0).
L’equazione di equilibrio alla traslazione è pari a:
C + F + F’= NRd
ovvero
A· fcd + As · fyd+A’s · fyd = NRd
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