Sergio Beraldo » 6.Teoria del consumatore: i fondamenti

Relazioni di preferenza

Per costruire una teoria coerente del comportamento del consumatore, il punto di partenza é dato dalla specificazione di una relazione binaria di preferenza; di una relazione di preferenza definita su coppie alternative.

Formalmente é possibile rappresentare le preferenze di un consumatore mediante la relazione di preferenza R, definita su un insieme X di alternative. In ciò che segue supporremo che X sia l’insieme dei possibili panieri di consumo (consumption set).

Se x_h e x_j appartengono a X, scriveremo x_hR_ix_j per indicare il consumatore i, l’alternativa x_h é almeno tanto buona quanto l’alternativa x_j.

Per costruire una teoria coerente del comportamento del consumatore si deve presupporre che il consumatore sia in grado di effettuare comparazioni coerenti su coppie alternative.

Affinché tali comparazioni siano coerenti, é necessario che la relazione di preferenza (che cattura, descrive, le preferenze del consumatore) sia conforme ai criteri definiti nella voce “assiomi sulle preferenze“.

Relazioni di preferenza

Assioma 1 → Completezza

Per ogni coppia di alternative (x_h, h_j) in X, deve aversi x_hR_ix_j oppure x_jR_ix_h.

Assioma 2 → Riflessività

Per ogni alternativa x_h in X deve aversi x_hR_ix_h.

Assioma 3 → Transitività

Per ogni terna di elementi (x_h, x_k, x_j) in X, se x_hR_ix_k e x_kR_ix_j allora deve aversi x_hR_ix_j.

Relazioni di preferenza

Il primo assioma, quello di completezza, richiede che posto di fronte ad una qualsiasi coppia di alternative il consumatore sia sempre in grado di stabilire se è indifferente tra si esse o se preferisce strettamente un’alternativa ad un’altra. Si richiede, in altri termini, che il consumatore sia in grado di valutare le alternative disponibili e sia sempre in grado di scegliere.

Si richiede cioè al consumatore di saper fare qualcosa che non sempre gli individui sono in grado di fare. Non sempre infatti gli individui sono in grado di ordinare le alternative disponibili.

Il secondo assioma, quello di riflessività, richiede un minimo livello di coerenza da parte del consumatore. Egli deve ritenere ogni alternativa almeno tanto buona quanto se stessa!

Il terzo assioma, transitività, richiede un elevata coerenza da parte del consumatore. Se per il consumatore le mele sono almeno altrettanto buone delle pere, e queste ultime sono almeno altrettanto buone delle ciliegie, allora le mele devono essere almeno altrettanto buone delle ciliegie.

Relazioni di preferenza (esempi)

Gli assiomi 1-3 costituiscono una definizione formale di razionalità, in base al significato che ad essa conferisce la teoria economica.

Se la relazione binaria di preferenza R definita sull’insieme X delle alternative soddisfa gli assiomi 1-3, allora essa è detta una relazione di preferenza.

Si noti che dalla relazione di preferenza R possono logicamente ricavarsi sia la relazione di preferenza stretta P, sia quella d’indifferenza I. Infatti:

1. se x_hR_ix_j ma non x_jR_ix_h, allora x_hP_ix_j. Ad esempio, se una mela é per l’individuo i almeno tanto buona quanto una pera, ma quest’ultima non é almeno tanto buona come la prima, allora una mela deve essere strettamente preferita dall’individuo i a una pera
2. se x_hR_ix_i e x_jR_ix_h, allora xhIixj. Ad esempio, se una mela é per l’individuo i almeno tanto buona quanto un pera, é quest’ultima é almeno tanto buona quanto la prima, allora i de ve valutare nello stesso modo una mela e una pera, deve cioè essere indifferente tra i due beni.

Relazioni di preferenza

Vi sono altri due assiomi che gli economisti impongono alla relazione binaria di preferenza. il primo, piuttosto tecnico, é detto assioma di continuità.

Assioma 4 (Continuità): la relazione di preferenza é preservata al limite.

Per capire questo assioma, si considerano due successioni di alternative {x_n} e {y_n}; si supponga che per ogni n finito, x_nR_iy_n, allora x_nR_iy_n anche al tendere di n all’infinito.

L’assioma di continuità garantisce che non avvengano improvvisi rovesciamenti nelle preferenze.

Relazioni di preferenza

Assioma 5 (Monotonicità stretta): se un’alternativa x_h garantisce ad i non meno di un’alternativa x_j, lungo una qualsiasi dimensione rilevante per i, allora x_hR_ix_j. Se un’alternativa x_h garantisce ad i strettamente di più di xj lungo tutte le dimensioni rilevanti per i, allora x_hP_ix_j.

Per comprendere questo assioma (cui normalmente si riferisce con l’ipotesi di non sazietà del consumatore) si supponga che l’individuo i debba ordinare due  panieri. Il primo contiene 1 mela e 1 pera, x_h 0 (1 mela, 1 pera). Il secondo contiene 1 mela e 0 pere, x_j = (1 mela, 0 pere). in base alla prima parte dell’assioma 5, poiché il primo paniere garantisce ad i non meno del secondo lungo tutte le dimensioni rilevanti (nel caso: la disponibilità dei due beni), il primo paniere deve essere almeno tanto buono quanto il secondo, x_hR_ix_j.

Si considerano ora i due panieri x_h = (2 mele, 2 pere) e x_j = (1 mela, 0 pere). In base alla seconda parte dell’assioma 5, poiché il primo paniere garantisce ad i strettamente più del secondo lungo tutte le dimensioni rilevanti, il primo paniere deve essere strettamente preferito al secondo, x_hP_ix_j.

Esistenza di una funzione di utilità

Il seguente teorema stabilisce che se le preferenze dei consumatori rispettano gli assiomi 1-5, allora possono essere catturate da una funzione che associa ad alternative maggiormente preferite, numeri più elevati. In altri termini, le preferenze dei consumatori possono essere rappresentate  mediante una funzione d’utilità.

Teorema. Se la relazione binaria di preferenza R é completa, riflessiva, transitiva, continua e strettamente monotona, esiste una funzione continua e a valori reali u che la rappresenta. Pertanto per ogni coppia di alternative (x_h, x_j) in X, u(x_h) ≥ u(x_j) se  e solo se x_hRx_j.

(Per la dimostrazione di questo teorema si può utilmente consultare un qualsiasi manuale avanzato di microeconomia; es: A. Mas-Colell et al., Microeconomic Theory, Oxford University Press, 1995; G.A. Jehle and P.J. Reny, Advanced Microeconomic theory, Addison-Wesley, 1998).

Proprietà della funzione di utilità

E’ opportuno sottolineare che i numeri che la funzione di utilità associa alle alternative consentono di ordinare i panieri ma sono silenti sull’intensità delle preferenze.

In altri termini, supponiamo che le preferenze di i rispettino gli assiomi 1-5 e vengano catturate da una funzione di utilità del tipo:

U = (numero di mele) + 0 * (numero di pere)

L’utilità del paniere x_h = (1 mela, 1 pera) é pari a U = 1

L’utilità del paniere x_j = (2 mele, 1 pera) é pari a U = 2

Possiamo pertanto dire che i preferisce x_h a x_j, ma non che x_j fornisce ad i un’utilità doppia rispetto a x_h.

Convessità delle preferenze

Un assioma cui non si è fatto riferimento, perché inessenziale per dimostrare la possibilità di descrivere le preferenze con una funzione a valori reali, é quello di convessità delle preferenze.

Assioma 6 (convessità delle preferenze): se s_hR_ix_j, allora (tx_h + (1-t)x_j)R_ix_j.

L’assioma di convessità delle preferenze sostanzialmente impone la condizione che panieri bilanciati siano preferito a panieri sbilanciati.

Per meglio intendere questa ultima osservazione é opportuno introdurre il concetto di curva di indifferenza.