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Massimo Aria » 7.Distribuzioni doppie di frequenza

Relazione tra più fenomeni

Una delle finalità più comuni della statistica è la ricerca di relazioni di dipendenza tra fenomeni, con l’obiettivo di interpretare, prevedere e controllare.

Per fare ciò occorre rilevare e analizzare il contemporaneo presentarsi delle modalità di più variabili per studiarne la relazione.

Quando sulle unità statistiche di una data popolazione si osservano due, tre o più variabili (qualitative o quantitative) si parla di distribuzione multipla.

Variabile doppia

Si immagini di rilevare, sulle unità di una popolazione oggetto di studio, due variabili statistiche X e Y.

L’osservazione contemporanea di questi due fenomeni genera una variabile doppia (X, Y).

Una variabile doppia può essere:

qualitativa, se entrambe le componenti sono di natura qualitativa (es. genere e colore degli occhi)
mista, se una componente è qualitativa e l’altra quantitativa (es. genere e età)
quantitativa, se entrambe le componenti sono di natura quantitativa (es. altezza e peso)

Distribuzione seriale doppia

La rilevazione di una variabile doppia su una data popolazione di N unità, consiste nella collezione delle coppie di osservazioni

(x₁,y₁) , (x₂,y₂) ,…, (x_l,y_l) ,…, (x_N,y_N)

opportunamente misurate sulle unità del collettivo.

I dati raccolti in questo modo generano una distribuzione unitaria doppia (o distribuzione seriale doppia) dove per ogni generica unità “l” si riporta la coppia di modalità della variabile doppia (X, Y).

Distribuzione doppia di frequenza

Una prima sintesi in forma tabellare della variabile doppia si ottiene attraverso l’organizzazione di dati in una distribuzione doppia di frequenza.

Supponiamo che la variabile X assuma k modalità distinte e la variabile Y assuma invece h distinte modalità.

La tabella di frequenza avrà dimensione k x h (righe per colonne) considerando X e Y rispettivamente come variabili di riga e di colonna.

Con n_ij si indica la frequenza assoluta congiunta, cioè il numero di unità statistiche che contemporaneamente assumono la modalità i della X e la modalità j della Y.

Distribuzione doppia di frequenza

Notazione della distribuzione doppia

Distribuzione doppia (frequenze relative)

La distribuzione doppia può essere rappresentata anche con le frequenze relative.

Ciò si ottiene rapportando a tutte le frequenze congiunte N, il totale di unità che compongono la popolazione.

Per le frequenze di una distribuzione doppia (assolute o relative) valgono le stesse proprietà viste per le distribuzioni di frequenza semplici.

Distribuzione doppia (frequenze relative)

Proprietà delle frequenze assolute

Caratteristiche principali

n_ij = frequenza congiunta o doppia

n_i+ = totali di riga = $\sum_{j=1}^hn_{ij}$

n_+j = totali di colonna = $\sum_{i=1}^kn_{ij}$

$N=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^kn_{ij}=\sum_in_{i+}=\sum_jn_{+j}$

Distribuzione doppia (frequenze relative)

Proprietà delle frequenze assolute

fij = frequenza relativa congiunta

fi+ = totali di riga = $\sum_{j=1}^hf_{ij}$

f+j = totali di colonna = $\sum_{i=1}^kf_{ij}$

$1 = \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^hf_{ij}=\sum_if_{i+}=\sum_jf_{+j}$

Esempio di distribuzione doppia

Sulla popolazione di 75 clienti napoletani di una agenzia di viaggio sono stati rilevati la nazionalità (X) e la categoria dell’albergo dove hanno soggiornato (Y) nella loro vacanza. I dati sono riportati nella tabella.

Esempio con frequenze relative

Distribuzione condizionata

Data una distribuzione doppia (X,Y), se fissiamo il valore xi per la variabile X ed esaminiamo la distribuzione di Y limitatamente alle osservazioni che hanno assunto la modalità i-esima della X, allora si ottiene la distribuzione condizionata della Y dato x_i.

Formalmente indicheremo con (Y|X= x_i) la variabile condizionata Y.

Esempio

Nell’esempio della slide precedente, se fissiamo la modalità 1 della X (X=italiani) e analizziamo la Y, il risultato sarà la distribuzione delle strutture prescelte (Y) limitatamente ai turisti italiani.
Questa è una distribuzione condizionata.