La prova che genera una v.c. Uniforme discreta si può assimilare all’estrazione di una pallina da un’urna che contiene k palline “identiche” e numerate da 1 a k.
L’aggettivo identico sta ad indicare la perfetta uguaglianza delle palline (in generale eventi) nella forma, peso, ecc.
Ciò fa si che ognuna di esse abbia la stessa probabilità di essere estratta.
Si pensi ad esempio alla prova “lancio di un dado”, oppure “estrazione di una carta da un mazzo”, ecc.
Si definisce quindi v.c. Uniforme discreta, la variabile X che assume valori x=1,2,…,k con probabilità costante pari a 1/k.
Essa si indica con
X~Ud(k)
con P(X=x)=1/k per ogni x=1,2,…,k.
La v.c. Ud è simmetrica, non presenta moda e possiede media e varianza pari a:
E(X)=(k+1)/2
Var(X)=(n2-1)/12
La v.c. di Bernoulli trae origine da una prova nella quale interessa verificare esclusivamente se un evento E si è verificato (successo) oppure no (insuccesso). Sono molteplici le situazioni reali in cui si incontra questo modello di probabilità. Una qualunque prova dicotomica o dicotomizzabile può essere rappresentata da una v.c. di Bernoulli:
Si definisce quindi v.c. di Bernoulli, la variabile X che assume valore 1 (il “successo”) con probabilità π (pi greco) e valore 0 (l’”insuccesso”) con probabilità 1- π.
Essa si indica con
X~Ber(π)
con P(X=x)= πx(1- π)1-x con x=0,1.
La v.c. di Bernoulli possiede media e varianza pari a:
E(X)= π (la media coincide con la probabilità di successo)
Var(X)= π(1- π) (può assumere valori compresi tra 0 e 0,25, questo ultimo nel caso di massima incertezza)
Se si ripete, per n volte e nelle medesime condizioni, lo schema successo-insuccesso della v.c. di Bernoulli, si genera una sequenza di n sottoprove indipendenti a ciascuna delle quali si può associare una v.c. di Bernoulli.
Tale modello prende il nome di v.c. Binomiale e può essere intesa come una somma di v.c. bernoulliane.
Nella realtà lo schema binomiale si può ritrovare ad esempio: nel lancio di n monete e si è interessati al numero di testa che si presenta complessivamente; in un’indagine in cui si intervistano n persone e si è interessati al numero di favorevoli ad una certa proposta di legge; ecc.
Si definisce quindi v.c. Binomiale, la variabile X che rappresenta il numero di successi che si verificano in una sequenza di n sottoprove indipendenti nelle quali è costante la probabilità π di un successo.
La v.c. binomiale dipende da due parametri, il numero n delle sottoprove e la probabilità π.
Essa si indica con
X~B (n,π)
con P(X=x)= [coefficiente binomiale] * πx(1- π)n-x con x=0,1,2,…,n.
La v.c. Binomiale possiede media e varianza pari a:
E(X)= n*π (n volte la media della bernoulliana)
Var(X)= n*π(1- π) (n volte la varianza della bernoulliana)
Un’urna contiene 15 palline di cui 5 rosse e 10 verdi. Calcolare la probabilità che estraendo 6 palline, reimmettendo ogni volta la pallina estratta nell’urna, 5 siano rosse. Calcolare inoltre, il valore medio e la varianza.
L’evento E, ossia l’evento che estraendo una pallina dall’urna sia rossa, ha probabilità di verificarsi ad ogni estrazione uguale a:
mentre la probabilità dell’evento contrario , ossia dell’evento che ad ogni estrazione la pallina sia verde, è:
Pertanto, la probabilità che su 6 estrazioni 5 volte venga estratta una pallina rossa, è:
Il valore medio e la varianza sono:
La v.c. binomiale trova applicazione in prove dove sono verificate le seguenti condizioni:
Si consideri una prova che può avere solo due possibili esiti chiamati, generalmente, Successo (S) e Insuccesso (I). Si è interessati all’evento S.
In particolare si è interessati a contare quante volte si verifica l’evento S in un certo arco temporale prefissato (oppure anche in un certo ambito spaziale: ad esempio un’area prefissata).
Esempi possono essere:
Sia X la variabile aleatoria che conta il numero di successi in un intervallo temporale prefissato (o in un’area prefissata).
Essa segue un modello di Poisson se è possibile suddividere tale intervallo in tanti sottointervalli (oppure suddividere un’area in tante sottoaree) in modo tale che:
Essa si indica con
X~Po (λ)
con λ pari al numero medio di successi in un sottointervallo temporale o spaziale
e P(X=x)= exp(- λ)*(λx/x!) con x=0,1,2,…
La v.c. Poisson possiede media e varianza pari a λ:
E(X)= λ Var(X)= λ (la media e la varianza sono pari al numero medio di occorrenze in un sottointervallo)
Ad uno sportello bancario si presentano in media 30 clienti ogni ora.
1. La probabilità è pari a:
2. La media è pari a:
V.c. di Bernoulli X ∼ Ber(π)
V.c. Binomiale X ∼ B(n, π)
V.c. di Poisson X ∼Po(λ)
Nella prossima lezione si affronteranno i seguenti argomenti:
2. Caratteri statistici e scale di misura
3. Sintesi tabellare e grafica di una distribuzione statistica
6. Forma di una distribuzione statistica
7. Distribuzioni doppie di frequenza
8. Relazioni tra variabili: associazione e dipendenza in media
9. Relazioni tra variabili: Correlazione lineare
10. Interpolazione statistica e Retta di regressione
11. Elementi di calcolo delle probabilità
12. Introduzione alle variabili casuali
13. Modelli per variabili casuali discrete di uso comune
14. Modelli per variabili casuali continue di uso comune
15. Introduzione alle serie storiche
16. Approccio classico: Modello di decomposizione di una serie storica