Si introducono i Concetti Primitivi e la loro reciproca relazione:
“la Prova genera l’Evento con una certa Probabilità”
Prova: è un esperimento soggetto a incertezza e può suddividersi in sottoprove.
Evento: è uno dei possibili risultati della prova e costituisce un insieme di descrizioni circa i possibili risultati dell’esperimento.
L’insieme di tutti i risultati possibili di una prova prende il nome di Spazio Campionario e si indica con il simbolo Ω.
Tipologia di eventi:
Algebra degli eventi:
La Probabilità è un concetto che viene usato in molte discipline e che è ormai entrato a far parte del linguaggio corrente in quanto usualmente si devono prendere decisioni che, anche dopo aver esaminato le informazioni disponibili, vengono maturate in condizioni di incertezza.
Nonostante ciò è difficile dare un’interpretazione, e quindi una definizione, di probabilità che sia completamente soddisfacente ed esente da critiche.
Infatti la probabilità è un concetto primitivo, cioè originario per l’essere umano perché innato e sempre presente nelle sue regole di comportamento.
Nel seguito si illustreranno le definizioni di probabilità storicamente fornite dalle diverse scuole di pensiero: la scuola classica, la scuola frequentista e la scuola soggettivista.
Successivamente si tratterà poi la definizione assiomatica della probabilità.
Scuola Classica:
La probabilità è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi di un risultato e il numero totale dei possibili risultati, ammesso che questi siano egualmente possibili.
Questa definizione presuppone:
Alcune osservazioni critiche:
Scuola Frequentista:
la probabilità è il limite della frequenza relativa di un evento ripetibile quando cresce, oltre ogni limite, il numero delle prove.
In altre parole la probabilità è pari alla frequenza relativa dei successi quando si ripete la prova all’infinito.
Questa definizione presuppone:
Alcune osservazioni critiche:
Scuola Soggettivista:
la probabilità rappresenta il grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce al presentarsi di un evento, ovvero, per quantificare, come la somma p che è disposto a scommettere quando, verificandosi l’evento, vince 1.
Per individuo coerente (o razionale) si intende un individuo che, nell’ottica di poter vincere 1, è disposto a scommettere una somma p non superiore a 1.
Inoltre egli scommetterà una cifra maggiore quanto più alta sarà la fiducia che l’evento si verifichi.
Alcune osservazioni critiche:
Lo studioso Kolmogorov propone una teoria della probabilità basata sulla individuazione di alcuni assiomi (o postulati) dai quali si dimostrano una serie di teoremi.
Un assioma è un’affermazione che non si dimostra in quanto principio di base universalmente accettato.
La teoria assiomatica si fonda su tre momenti fondamentali:
I) Positività:
La Probabilità di un evento A è un numero unico maggiore o uguale di 0: P(A)≥0.
II) Certezza:
La Probabilità dell’evento certo e quindi dello Spazio Campionario Ω è sempre 1: P(I)=P(Ω)=1.
(dove con “I” si indica un evento certo)
III) Unione:
Siano A e B due eventi incompatibili,
allora la probabilità della loro unione è la somma delle singole probabilità di A e B.
NB.
Dal primo e secondo assioma si deduce che la probabilità di un evento A è sempre compresa tra 0 e 1.
Le relazioni dell’algebra degli eventi vengono illustrate su un piano mediante grafici caratteristici detti Diagrammi di Venn.
In questi diagrammi lo spazio campionario viene disegnato come un rettangolo all’interno del quale vengono posti insiemi chiusi che rappresentano gli eventi.
Non interessa l’esatto contorno, quanto piuttosto le mutue relazioni fra di essi e con lo spazio campionario.
I) Probabilità dell’evento impossibile
La probabilità dell’evento impossibile è pari a 0.
II) Probabilità dell’evento negazione
Dato un evento A, la probabilità dell’evento negazione di A è pari al complemento a 1 della probabilità di A.
III) Probabilità totali
Dati due eventi A e B, la probabilità dell’unione di A e B è pari alla somma delle singole probabilità dei due eventi meno la probabilità dell’intersezione.
Quest’ultimo teorema generalizza il concetto dell’unione per eventi compatibili.
Si definisce probabilità condizionata la probabilità di un evento B condizionata al verificarsi di un evento A.
P(B|A) “Probabilità dell’evento B dato che si è verificato l’evento A”
Teorema della probabilità condizionata
La probabilità condizionata dell’evento B dato A è pari al rapporto tra la probabilità dell’intersezione di A e B e la probabilità dell’evento A.
Due eventi A e B si dicono stocasticamente indipendenti quando il verificarsi dell’uno non modifica la probabilità del verificarsi dell’altro evento.
Formalmente si definiscono indipendenti due eventi per cui:
P(A intersezione B)=P(A)*P(B);
oppure
P(B|A)=P(B);
Il teorema di Bayes, proposto da Thomas Bayes nel 1763, deriva da due teoremi fondamentali quello delle probabilità condizionate e quello delle probabilità totali.
Il teorema, in presenza di una serie di eventi Hi ognuno caratterizzato da una probabilità (prob. a priori) e di evento E incluso nello spazio degli Hi (condizionato dagli eventi Hi con diverse probabilità, le verosimiglianze), consente di pervenire al calcolo delle probabilità a posteriori attraverso una particolare interpretazione del ruolo giocato dalle verosimiglianze e dalle prob. a priori.
In tempi recenti, grazie alla scuola soggettivista, si è sviluppato un importante filone della teoria delle decisioni che prende il nome di statistica bayesiana.
Per illustrare il teorema nel seguito si presenta un tipico esempio in cui trova applicazione la filosofia bayesiana.
Nella prossima lezione si affronteranno i seguenti argomenti:
1. Introduzione
3. Distribuzioni di frequenza e rappresentazioni grafiche
4. Indici statistici di posizione
5. Indici statistici di variabilità
6. Forma di una distribuzione statistica
7. Distribuzioni doppie di frequenza
8. Relazioni tra variabili: Associazione e dipendenza in media
9. Relazioni tra variabili: Correlazione lineare
11. Rapporti statistici e numeri indici
12. Introduzione al calcolo delle probabilità