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Massimo Aria » 11.Rapporti statistici e numeri indici


Rapporti statistici

I rapporti statistici sono misure statistiche elementari finalizzate al confronto tra i dati stessi.

In un rapporto statistico si mettono a confronto due termini, frequenze o quantità, di cui uno almeno è di natura statistica e tale che tra i due termini sussiste un qualche legame logico.

I rapporti così costruiti permettono di confrontare l’intensità di un fenomeno misurato su un collettivo, in tempi o luoghi diversi, e sono largamente impiegati nella descrizione di fenomeni di tipo socio-economico.

Assumono un valore sempre positivo e non dipendono dall’unità di misura consentendo così un confronto tra fenomeni diversi.

Un esempio esplicativo

Si immagini di voler confrontare l’ammontare di tasse versate (in milioni di euro) da due regioni di una certa nazione:

  • Regione A Tasse versate 125.673
  • Regione B Tasse versate 102.287

Ci sono molti modi effettuare un confronto, ad esempio come:

  • differenza 125.673-102.287=23386
    In questo caso il confronto, basandosi sulla semplice differenza tra i due valori, è legato all’unità di misura di riferimento e impedisce il raffronto con altri fenomeni di natura diversa.
  • differenza tra quote (125.673-102.287)/(125.673+102.287)=0,1025
    E’ un rapporto statistico che confronta per differenza la quota (in termini relativi) di tasse versate dalla regione A (pari a 0,5513) dalla quota della regione B (pari a 0,4487).
    Essa è ottenuta rapportando una parte del fenomeno (la differenza tra i versamenti) rispetto al totale (somma dei versamenti).
    La differenza tra quote è un numero puro che non dipende dall’unità originaria e consente i confronti più svariati.
    Le stesse quote possono essere intese con rapporti statistici.

Tipi di rapporti statistici

Esistono numerosi modi per costruire rapporti statistici.

Qui si presentano le quattro tipologie più comuni:

  • Rapporto di composizione
  • Rapporto di coesistenza
  • Rapporto di derivazione
  • Rapporto di densità

Rapporto di composizione

Il rapporto di composizione è una misura ottenuta rapportando il valore rilevato in una certa circostanza per l’analogo valore rilevato per l’intera popolazione

Rcomp = parte del fenomeno / totale fenomeno

Esempi:

  • la composizione percentuale della forza lavoro rispetto al sesso, alle fasce di età, al titolo di studio posseduto, etc.;
  • la distribuzione della popolazione residente rispetto alle fasce di età;
  • la tipologia dei clienti di una banca;
  • etc.

Alcuni rapporti di composizione noti

  • Tasso di attività
    Rapporto tra forza lavoro e popolazione di 15 anni e più
  • Tasso di occupazione
    Rapporto tra occupati e popolazione di 15 anni e più
  • Tasso di disoccupazione
    Rapporto tra persone in cerca di lavoro e forza lavoro
  • Tasso di scolarità nelle scuole superiori
    Rapporto tra iscritti e popolazione tra i 14 e 18 anni
Esempi di rapporti di composizione

Esempi di rapporti di composizione


Rapporto di coesistenza

Il rapporto di coesistenza è un rapporto tra la frequenza di una modalità rispetto alla frequenza corrispondente di un’altra modalità

Rcoes = frequenza modalità A / frequenza modalità B

Esempi:

  • Indici demografici quali:
  • Rapporto di Mascolinità: Maschi/Femmine;
  • Rapporto di Femminilità: Femmine/Maschi;
  • Indice di Vecchiaia: Anziani/Giovani;
  • Indice di Qualità: Pz difettosi/Pz non difettosi;
  • Etc.
Esempi rapporti di coesistenza nel mercato delle auto.

Esempi rapporti di coesistenza nel mercato delle auto.


Rapporto di derivazione

Un rapporto di derivazione è ottenuto dividendo la modalità di un fenomeno per quella corrispondente di un altro che, sul piano logico o temporale, ne costituisce l’antecedente o il presupposto.

Rderiv = modalità susseguente / modalità antecedente

Esempi:

  • Indici demografici quali:
    • Indice di natalità delle persone, delle imprese, etc.;
    • Indice di mortalità delle persone, delle imprese, etc.;
    • Tasso di mortalità infantile;
  • Indici di propensione quali:
    • Propensione a terminare gli studi;
    • Propensione all’emigrazione;
  • Indice di pericolosità stradale;
  • Etc.

Alcuni rapporti di derivazione noti

  • Indice di natalità
    È dato dal rapporto tra i nati e la popolazione in un certo anno moltiplicato per 1000
  • Tasso di fecondità
    Rapporto tra il numero di nati vivi nell’anno e la popolazione femminile residente di età compresa tra i 15 e i 44 anni
  • Quoziente di criminalità
    Rapporto tra i denunciati per tipo di delitto e la popolazione residente per 100.000
Esempi rapporti di derivazione

Esempi rapporti di derivazione


Rapporto di densità

Un rapporto di densità è definito mediante il confronto tra la dimensione globale di un fenomeno e la dimensione spaziale o temporale cui esso fa riferimento.

Rdens = dimens.globale / dimens. temporale o spaziale

Esempi:

  • Indice di densità territoriale della popolazione;
  • Numero di componenti per famiglia;
  • Numero di alunni per classe;
  • Numero di persone per vano;
  • Densità di una sostanza inquinante nell’aria;
  • Etc.

Alcuni rapporti di densità noti

Prodotto interno lordo pro capite
È dato dal rapporto tra il prodotto interno lordo e la popolazione

Numero medio componenti per famiglia
Rapporto tra popolazione e numero di famiglie residenti nello stesso territorio

Numero medio di alunni per insegnante
Rapporto tra il numero di alunni e di insegnati per livello di istruzione (medie, superiori, etc.)

Indice di dotazione di posti letto negli istituti di cura
Rapporto tra il numero di posti letto degli istituti di cura e la popolazione

Esempi rapporti di densità

Esempi rapporti di densità


Numero indice

I numeri indice (o indici) sono particolari rapporti statistici che misurano la variazione di un fenomeno rilevato in tempi ed circostanze diverse.

Assumono un valore sempre positivo e non dipendono dall’unità di misura.

Solitamente misurano le variazioni dei prezzi nel tempo e sul territorio (es. indice di inflazione).

Numero indice semplice

Un numero indice semplice è il rapporto tra due numeri riferiti alle intensità di un fenomeno in tempi o luoghi diversi.

It-1,t = xt / xt-1

Dove il pedice t può riferirsi a tempi o luoghi diversi

Vi sono infatti numeri indice temporali e territoriali.

Numeri indice temporali e territoriali

Esempio:

Indice temporale: la popolazione residente in Italia ammontava al 1° gennaio 2005 a 58.462.375 unità, diventate poi 58.751.711 al 1° gennaio 2006 e 59.131.287 al 1° gennaio 2007; il numero indice temporale che misura l’incremento dal 2005 al 2007 è:

I2005,2007 = 59.131.287 / 58.462.375 = 1,0114

ovvero la popolazione residente è aumentata dell’1,14%;

Indice territoriale: la popolazione residente in Lombardia e in Campania al 1° gennaio 2007 ammontava, rispettivamente, a 9.545.441 ed a 5.790.187; il numero indice territoriale:

IC,L = 9.545.441 / 5.790.187 = 1,6486

Ci dice che, al 1° gennaio 2007, la popolazione residente in Lombardia superava quella della Campania del 64,86%.
Si usa spesso moltiplicare il numero indice per 100; in tal modo si usano meno cifre decimali e basta sottrarre 100 per ottenere la variazione percentuale. A rigore, tuttavia, il numero indice è il semplice rapporto tra le due grandezze considerate.

La grandezza posta al denominatore viene detta base dell’indice.

La base dei numeri indice

I numeri indice possono essere:

  • indici a base fissa: si sceglie un momento o luogo che funge da base per i restanti; ad esempio, considerando l’andamento nel tempo della popolazione residente in Italia e prendendo come base il 1° gennaio 2005, si ha:
    • I2005,2006 = 1,0049
    • I2005,2007 = 1,0114
  • indici a base mobile: ciascun indice viene calcolato rispetto ad una base diversa, ad esempio ciascun anno con il precedente, ciascun luogo con quello immediatamente adiacente; nel caso della popolazione residente in Italia si ha:
    • I2005,2006 = 1,0049
    • I2006,2007 = 1,0065

La scelta della base dipende dalla tipologia di confronto che si intende effettuare e conseguentemente dalle variazioni che si vogliono evidenziare.

Cambio di base nei numeri indice

Nel caso dei numeri indice semplici è sempre possibile passare da un indice a base fissa ad uno a base mobile e viceversa effettuando delle semplici trasformazioni.

  • Da base mobile a base fissa:
  • Indicando con 0 la base fissa e con T1 e T2 due luoghi o tempi diversi, per una qualsiasi grandezza X si ha:
    I0,T2 = I0,T1 * IT1,T2
    Impiegando i dati dell’esempio precedente abbiamo che
    I2005,2007 = I2005,2006 * I2006,2007 = 1,0049 * 1,0065 = 1,0114
  • Da base fissa a base mobile:
    IT1,T2 = I0,T2 / I0,T1
    Che nell’esempio è pari a
    I2006,2007 = I2005,2007 / I2005,2006 = 1,0114 / 1,0049 = 1,0065

Esempio numeri indice semplici

Numeri indice a base fissa e mobile di una serie temporale di prezzi.

Numeri indice a base fissa e mobile di una serie temporale di prezzi.


Numeri indice complessi

I numeri indice complessi sono quelli che misurano le variazioni sulla base di più intensità.

Si pensi ad esempio ai consumi delle famiglie.
I cambiamenti del volume di consumo nel tempo potrebbero essere dovuti alle variazioni dei prezzi dei prodotti o delle quantità acquistate o, più verosimilmente, all’effetto combinato di entrambi i fattori.

Tra i numeri complessi, in statistica, si segnalano due principali indici che riguardano la misurazione delle variazioni dei prezzi in considerazione delle quantità: l’indice di Laspeyres e l’indice di Paasche.

Indice dei prezzi di Laspeyres

L’indice di Laspeyres dei prezzi di un aggregato costituito da N beni, è una media ponderata di N indici semplici di prezzo, nella quale si usano come pesi le quote del valore di ciascun bene sul valore complessivo come risultavano al tempo 0.

In altre parole, nel calcolo della media (dei prezzi) i prezzi sono pesati sulla base delle quantità a tempo 0.

Il più famoso indice di Layspeyres utilizzato in Italia dal 1999 è il tasso di inflazione su base mensile.

Il tasso di inflazione viene calcolato mensilmente, ma si usano come quantità quelle rilevate al dicembre dell’anno precedente; l’aggiornamento delle quantità (cosiddetto «ribasamento») può quindi essere effettuato una sola volta l’anno.

Formulazione dell’indice dei prezzi di Layspeyres

Formulazione dell'indice dei prezzi di Layspeyres


Indice dei prezzi di Paasche

L’indice di Paasche è una media armonica ponderata degli indici semplici, nella quale si usano come pesi le quote di valore al tempo corrente (quello relativamente al quale l’indice viene calcolato)

In altre parole, nel calcolo della media (dei prezzi), i prezzi sono pesati sulla base delle quantità al tempo t (il tempo di riferimento).

Un importante esempio di indice di Paasche è il MIBtel.
Esso è calcolato ogni minuto sulla base dei prezzi di tutte le azioni quotate sul Mercato Telematico Azionario, ponderati secondo la capitalizzazione in quel momento;

Formulazione dell’indice dei prezzi di Paasche

Formulazione dell'indice dei prezzi di Paasche


Prossima lezione

Nella prossima lezione si affronteranno i seguenti argomenti:

  • il concetto di probabilità
  • definizione di probabilità
  • assiomi e teoremi della probabilità
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