Un mercato è efficiente se l’informazione viene istantaneamente e completamente inglobata nel prezzo corrente.
In un mercato efficiente i prezzi incorporano in tempo reale aspettative e informazioni disponibili agli operatori, per cui le variazioni di prezzo risultano imprevedibili.
L’efficienza del mercato si qualifica rispetto ad un certo information set.
La tecnica dell’exponential smoothing (o livellamento esponenziale, oppure ancora lisciamento esponenziale) fornisce un elemento di raccordo tra l’analisi tecnica e l’analisi statistica delle serie storiche dei prezzi avente lo scopo di prevedere gli andamenti futuri dei titoli.
Si tratta di un metodo di previsione basato su medie mobili asimmetriche aventi pesi esponenzialmente decrescenti nel passato: quanto più un’osservazione è lontana nel tempo, tanto più il peso a questa assegnato è basso.
L’exponential smoothing semplice è dato dalla seguente espressione
In cui viene detto costante di lisciamento, è la previsione del prezzo al tempo t+1 sulla base dell’insieme informativo al tempo t attraverso una media mobile esponenziale. L’espressione può essere posta anche in questi termini:
Cioè, il prezzo previsto al tempo t+1 è pari alla previsione del prezzo al tempo t corretta proporzionalmente all’errore di previsione.
Se allora : se , allora
Per un dato , qualunque previsione con l’exponential smoothing per un orizzonte temporale maggiore di 1 è uguale a .
Infatti , ma poiché è ignoto, bisogna sostituirlo con la sua stima. Si ha quindi:
Problema: determinazione di …
Per i dati disponibili si conosce sia che , quindi la determinazione di può essere posta come una soluzione al problema di minimizzazione degli scarti al quadrato tra valori osservati e previsti.
Empiricamente, su serie storiche dei prezzi a frequenza giornaliera, la stima del valore di è prossimo all’unità….
Tiolo Autogrill, serie giornaliere 2003-2006 (in alto). Titolo Intesa-Sanpaolo, serie giornaliere 2003-2006 (in basso).
L’exponential smoothing suggerisce che in genere poiché empiricamente si che . Ciò è in linea con la teoria dell’efficienza dei mercati.
Tale risultato corrisponde alla caratteristica empirica dei rendimenti al tempo t di avere valore atteso condizionato all’insieme informativo disponibile al tempo t-1 pari a zero.
Se , allora , dove è il rendimento al tempo t e è l’insieme informativo disponibile al tempo t-1.
Il prezzo al tempo t è legato al prezzo al tempo t-1 attraverso il suo rendimento tra t-1 e t,
.
Consideriamo i logaritmi naturali,
Se poniamo e , allora
Espandendo in serie di Taylor la funzione intorno ad 1 si ha che
quindi si può definire il rendimento come la differenza logaritmica del prezzo .
La determinazione del prezzo al tempo t dipende dalla realizzazione di , la cui sequenza nel tempo è espressione di una traiettoria di un processo stocastico.
Si può ipotizzare che . Se il white noise è Gaussiano, allora vi è anche indipendenza.
Se questo è vero, si ha che è un processo random walk per il quale, posto che all’inizio della serie si sia misurato un prezzo , sappiamo che e, quindi, non è stazionario.
Per verificare che il processo generatore di dati sia un processo random walk, bisogna verificare che la radice dello stesso sia effettivamente unitaria.
In generale, si distingue il processo random walk con drift da quello “normale” a seconda della presenza o meno di un termine costante.
Si tratta pertanto di un processo AR(1) con coefficiente pari ad uno. Il sistema di ipotesi è il seguente:
Non si possono utilizzare gli strumenti usuali utilizzati in un modello di regressione poiché la statistica test t non ha una distribuzione limite t di Student, ma ha una distribuzione asimmetrica con skewness negativo.
Ci torneremo tra un paio di lezioni
L’assunzione di un processo random walk è coerente con l’ipotesi di efficienza dei mercati, ma è più restrittiva.
L’ipotesi si “limita” all’affermazione secondo cui l’informazione risulta riflessa nel prezzo dei titoli in modo pieno ed immediato.
Non vi è alcun accenno ad ipotesi di incorrelazione o indipendenza tra le variazioni di prezzo.
I rendimenti possono essere indipendenti ed identicamente distribuiti: ipotesi stringente poiché risulta difficile sostenere la identica distribuzione nel tempo.
I rendimenti possono essere indipendenti (ma non identicamente distribuiti): ipotesi più generale, in cui traspare la possibilità di una distribuzione condizionata affetta da eteroschedasticità.
I rendimenti possono essere incorrelati: specificazione più debole di processo random walk.
Test delle Sequenze: data una serie di T+1 rendimenti, si genera una variabile dummy
Si definisce una variabile in tal guisa:
In tal modo, vale 1 se due segni sono concordi, vale 0 se discordi.
Si definiscono le grandezze e .
Il rapporto (che in caso di rendimenti i.i.d. dovrebbe essere pari ad uno) costituisce la base per la costruzione di una procedura di un test di ipotesi (vale per rw senza drift).
Nel caso in cui si abbia un processo rw con drift, il rapporto sarà verosimilmente maggiore di uno in quanto diventano più probabili rendimenti consecutivi dello stesso segno della media. Si definisce la statistica test
ove c è la probabilità di sequenza concorde.
Sotto l’ipotesi nulla di rendimenti i.i.d., per T elevato la statistica test ha una distribuzione ben approssimata da una v.c. normale con media c/(1-c) e varianza pari a
indica la probabilità di ottenere un rendimento positivo.
Runs test: si contano il numero di sequenze con rendimenti consecutivi positivi o negativi. Se è il numero osservato delle sequenze e è la probabilità di ottenere un rendimento positivo, allora
1. Richiami ai processi stocastici
4. Analisi dei rendimenti – Parte prima
5. Analisi dei rendimenti – Parte seconda
6. Analisi dei rendimenti - Parte terza
7. Analisi della volatilità - Parte prima
8. Analisi della volatilità - Parte seconda
9. Analisi della volatilità - Parte terza
10. Analisi della volatilità - Parte quarta
11. Analisi della volatilità - Parte quinta
12. Analisi della volatilità - Parte sesta