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Antonio D'Ambrosio » 3.Analisi dei prezzi


In questa lezione

  • Prezzi ed efficienza dei mercati
  • Exponential smoothing
  • Prezzi e rendimenti
  • Ancora sul processo Random Walk
  • Radici uniterie: primi cenni
  • Ipotesi RW

Prezzi ed efficienza dei mercati

Un mercato è efficiente se l’informazione viene istantaneamente e completamente inglobata nel prezzo corrente.

In un mercato efficiente i prezzi incorporano in tempo reale aspettative e informazioni disponibili agli operatori, per cui le variazioni di prezzo risultano imprevedibili.

L’efficienza del mercato si qualifica rispetto ad un certo information set.

Exponential Smoothing

La tecnica dell’exponential smoothing (o livellamento esponenziale, oppure ancora lisciamento esponenziale) fornisce un elemento di raccordo tra l’analisi tecnica e l’analisi statistica delle serie storiche dei prezzi avente lo scopo di prevedere gli andamenti futuri dei titoli.

Si tratta di un metodo di previsione basato su medie mobili asimmetriche aventi pesi esponenzialmente decrescenti nel passato: quanto più un’osservazione è lontana nel tempo, tanto più il peso a questa assegnato è basso.

Exponential Smoothing (segue)

L’exponential smoothing semplice è dato dalla seguente espressione

\hat P_{t + 1|t} = \left( {1 - \alpha } \right)\hat P_{t|t - 1} + \alpha P_t

In cui \alpha viene detto costante di lisciamento, \hat P_{t|t - 1} è la previsione del prezzo al tempo t+1 sulla base dell’insieme informativo al tempo t attraverso una media mobile esponenziale. L’espressione può essere posta anche in questi termini:

\hat P_{t + 1|t} = \hat P_{t|t - 1} + \alpha \left( {P_t - \hat P_{t|t - 1} } \right)

Cioè, il prezzo previsto al tempo t+1 è pari alla previsione del prezzo al tempo t corretta proporzionalmente all’errore di previsione.

Exponential Smoothing (segue)

Se \alpha = 1 allora \hat P_{t + 1|t} = P_t: se \alpha = 0, allora   \hat P_{t + 1|t}=\hat P_{t|t - 1}

Per un dato \alpha, qualunque previsione con l’exponential smoothing per un orizzonte temporale maggiore di 1 è uguale a \hat P_{t + 1|t}.
Infatti \hat P_{t + 2|t} = \left( {1 - \alpha } \right)\hat P_{t + 1|t} + \alpha P_{t + 1} , ma poiché <br />
P_{t + 1} è ignoto, bisogna sostituirlo con la sua stima. Si ha quindi:

\hat P_{t + 2|t} = \left( {1 - \alpha } \right)\hat P_{t + 1|t} + \alpha \hat P_{t + 1|t} = \hat P_{t + 1|t}

Problema: determinazione di \alpha

Exponential Smoothing (segue)

Per i dati disponibili si conosce sia P_t che \hat P_{t|t - 1}, quindi la determinazione di \alpha può essere posta come una soluzione al problema di minimizzazione degli scarti al quadrato tra valori osservati e previsti.

\mathop {\min }\limits_\alpha \sum\limits_{i = 1}^{t - 1} {\left( {P_{t + 1} - \alpha \hat P_{t + 1|t} } \right)^2 }

Empiricamente, su serie storiche dei prezzi a frequenza giornaliera, la stima del valore di \alpha è prossimo all’unità….

Stima del parametro α

Tiolo Autogrill, serie giornaliere 2003-2006 (in alto). Titolo Intesa-Sanpaolo, serie giornaliere  2003-2006 (in basso).

Tiolo Autogrill, serie giornaliere 2003-2006 (in alto). Titolo Intesa-Sanpaolo, serie giornaliere 2003-2006 (in basso).


Indice Dow Jones

Indice Dow Jones: serie giornaliere Dicembre 1995-Marzo 1998.

Indice Dow Jones: serie giornaliere Dicembre 1995-Marzo 1998.


Prezzi e rendimenti

L’exponential smoothing suggerisce che in genere \hat P_{t + 1|t} \approx P_t poiché empiricamente si che \hat \alpha \approx 1 . Ciò è in linea con la teoria dell’efficienza dei mercati.

Tale risultato corrisponde alla caratteristica empirica dei rendimenti al tempo t di avere valore atteso condizionato all’insieme informativo disponibile al tempo t-1 pari a zero.

Se E\left( {P_t |I_{t - 1} } \right) = P_{t - 1} , allora E\left( {r_t |I_{t - 1} } \right) = 0<br />
, dove r_t è il rendimento al tempo tI_{t-1} è l’insieme informativo disponibile al tempo t-1.

Prezzi e rendimenti (segue)

Il prezzo al tempo t è legato al prezzo al tempo t-1 attraverso il suo rendimento tra t-1 e t,

P_t = P_{t - 1} (1 + r_t ) .

Consideriamo i logaritmi naturali, \ln \left( {P_t } \right) = \ln \left( {P_{t - 1} } \right) + \ln \left( {1 + r_t } \right).

Se poniamo \ln \left( {P_t } \right) = p_t e \ln \left( {P_{t - 1} } \right) = p_{t - 1}, allora

P_t = P_{t - 1} + \ln \left( {1 + r_t } \right)<br />

Prezzi e rendimenti (segue)

Espandendo in serie di Taylor la funzione \ln \left( {1 + r_t } \right) intorno ad 1 si ha che

\ln \left( {1 + r_t } \right) \approx \ln \left( 1 \right) + \left. {\frac{1}{{1 + r_t }}} \right|_{rt = 0} \left( {1 + r_t - 1} \right) = r_t

quindi si può definire il rendimento come la differenza logaritmica del prezzo r_t = p_t - p_{t - 1} .

La determinazione del prezzo al tempo t dipende dalla realizzazione di r_t, la cui sequenza nel tempo è espressione di una traiettoria di un processo stocastico.

Prezzi e rendimenti (segue)

Si può ipotizzare che r_t \sim WN\left( {0,\sigma ^2 } \right). Se il white noise è Gaussiano, allora vi è anche indipendenza.

Se questo è vero, si ha che p_t = p_{t - 1} + r_t è un processo random walk per il quale, posto che all’inizio della serie si sia misurato un prezzo p_0, sappiamo che  E\left( {p_t } \right) = p_0 ;{\rm }Var\left( {p_t } \right) = t\sigma ^2 e, quindi, non è stazionario.

Radici unitarie (anteprima)

Per verificare che il processo generatore di dati sia un processo random walk, bisogna verificare che la radice dello stesso sia effettivamente unitaria.

In generale, si distingue il processo random walk con drift da quello “normale” a seconda della presenza o meno di un termine costante.

Y_t = \left( \delta \right) + \varphi _1 Y_{t - 1} + \varepsilon _t

Radici unitarie (anteprima)

Si tratta pertanto di un processo AR(1) con coefficiente pari ad uno. Il sistema di ipotesi è il seguente:

\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {H_0 :\varphi _1 = 1} \\ {H_1 :\left| {\varphi _1 } \right| < 1} \\ \end{array}} \right

Non si possono utilizzare gli strumenti usuali utilizzati in un modello di regressione poiché la statistica test t non ha una distribuzione limite t di Student, ma ha una distribuzione asimmetrica con skewness negativo.
Ci torneremo tra un paio di lezioni

Ipotesi di random walk

L’assunzione di un processo random walk è coerente con l’ipotesi di efficienza dei mercati, ma è più restrittiva.

L’ipotesi si “limita” all’affermazione secondo cui l’informazione risulta riflessa nel prezzo dei titoli in modo pieno ed immediato.

Non vi è alcun accenno ad ipotesi di incorrelazione o indipendenza tra le variazioni di prezzo.

Ipotesi di random walk (segue)

I rendimenti possono essere indipendenti ed identicamente distribuiti: ipotesi stringente poiché risulta difficile sostenere la identica distribuzione nel tempo.

I rendimenti possono essere indipendenti (ma non identicamente distribuiti): ipotesi più generale, in cui traspare la possibilità di una distribuzione condizionata affetta da eteroschedasticità.

I rendimenti possono essere incorrelati: specificazione più debole di processo random walk.

Test per rendimenti i.i.d.

Test delle Sequenze: data una serie di T+1 rendimenti, si genera una variabile dummy

\delta _t = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1{\rm se }p_t - p_{t - 1} > 0} \\ {0{\rm se }p_t - p_{t - 1} \le 0} \\ \end{array}} \right.

Si definisce una variabile y_t in tal guisa:

y_t = \delta _t \delta _{t + 1} + \left( {1 - \delta _t } \right)\left( {1 - \delta _{t + 1} } \right)

In tal modo, y_t vale 1 se due segni sono concordi, vale 0 se discordi.

Si definiscono le grandezze  T_c = \sum\limits_{t = 1}^T {y_t {\rm }}T_d = T - T_c.

Il rapporto  {\raise0.7ex\hbox{${T_c }$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {{T_c } {T_d }}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{${T_d }$}} (che in caso di rendimenti i.i.d. dovrebbe essere pari ad uno) costituisce la base per la costruzione di una procedura di un test di ipotesi (vale per rw senza drift).

Test per rendimenti i.i.d. (segue)

Nel caso in cui si abbia un processo rw con drift, il rapporto {\raise0.7ex\hbox{${T_c }$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {{T_c } {T_d }}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{${T_d }$}} sarà verosimilmente maggiore di uno in quanto diventano più probabili rendimenti consecutivi dello stesso segno della media. Si definisce la statistica test

CJ = \frac{{T_c }}{{T_d }} = \frac{{\hat c}}{{1 - \hat c}} \ge 1

ove c è la probabilità di sequenza concorde.

Sotto l’ipotesi nulla di rendimenti i.i.d., per T elevato la statistica test ha una distribuzione ben approssimata da una v.c. normale con media c/(1-c) e varianza pari a

\frac{{c\left( {1 - c} \right) + 2\left( {\pi ^3 + \left( {1 - \pi ^3 } \right) - c^2 } \right)}}{{T\left( {1 - c} \right)^4 }}.

 

\pi indica la probabilità di ottenere un rendimento positivo.

Test per rendimenti i.i.d. (segue)

Runs test: si contano il numero di sequenze con rendimenti consecutivi positivi o negativi. Se  N_{runs} è il numero osservato delle sequenze e \pi è la probabilità di ottenere un rendimento positivo, allora

z = \frac{{N_{runs}  - 2T\pi \left( {1 - \pi } \right)}}{{2\sqrt {T\pi \left( {1 - \pi } \right)\left( {1 - 3\pi \left( {1 - \pi } \right)} \right)} }}\sim N\left( {0,1} \right)

Nella prossima lezione…

  • Analisi dei rendimenti (1)
  • Ergodicità: cenni
  • Distribuzione empirica dei rendimenti
  • Test di normalità
  • Stima dei parametri: richiami alla stima di massima verosimiglianza
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