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Antonio D'Ambrosio » 9.Analisi della volatilità - Parte terza


In questa lezione

Analisi della volatilità;

  • Modelli ARCH;
  • Modello ARCH(1);
  • Modello ARCH(p);
  • Test per effetti ARCH.

Modelli ARCH

L’idea di base sottostante lo studio della volatilità è che la serie r_t dei rendimenti è (a seconda della frequenza) serialmente incorrelata o con correlazioni seriali di basso ordine, ma non indipendente. Consideriamo la media e la varianza condizionata di r_t:

E\left( {r_t |I_{t - 1} } \right) = \mu _t ;{\rm }Var\left( {r_t |I_{t - 1} } \right) = E\left( {\left[ {r_t - \mu _t } \right]^2 |I_{t - 1} } \right) = h_t

Per quanto riguarda la media condizionata, date le caratteristiche dei rendimenti, si assume che r_t segua un modello per serie storiche (ad esempio, un ARMA(p,q)).

r_t = \mu _t + \varepsilon _t ,{\rm~ con ~}\mu _t = \delta + \sum\limits_{i = 1}^p {\varphi _i r_{t - 1} } - \sum\limits_{i = 1}^q {\theta _i \varepsilon _{t - 1} } ,{\rm~~ da~~ cui}

Var\left( {r_t |I_{t - 1} } \right) = Var\left( {\varepsilon _t |I_{t - 1} } \right)

Modelli ARCH (segue)

E’ bene puntualizzare che la variabile dipendente per un modello ARCH per la volatilità è la serie dei rendimenti. Un modello ARCH è composto, quindi, da due equazioni:

r_t = \mu _t + \varepsilon _t {\rm , ~equazione~ per~ la ~media~ (}~mean~{\rm }equation{\rm );}

h_t  = Var\left( {r_t |I_{t - 1} } \right) = Var\left( {\varepsilon _t |I_{t - 1} } \right)

equazione per la volatilità (volatility equation)

Si assume che \varepsilon _t = \eta _t \sqrt {h_t }~~, in~~ cui~~ \eta _t |I_{t - 1} \~N\left( {0,1} \right), ~~\eta _t \bot \sqrt {h_t } .

Questo implica che \varepsilon _t |I_{t - 1} \~N\left( {0,h_t } \right);{\rm }E\left( {\varepsilon _t^2 |I_{t - 1} } \right) = h_t .

Modello ARCH (1)

Il modello ARCH(1) prevede

r_t = \mu _t + \varepsilon _t ;{\rm }\varepsilon _t = \sqrt {h_t } \eta _t ;{\rm }\eta _t \bot \sqrt {h_t } ;{\rm }h_t = \omega + \alpha _1 \varepsilon _{t - 1}^2.

1. La media non condizionata delle innovazioni è pari a
E\left( {r_t } \right) = E\left[ {E\left( {\varepsilon _t |I_{t - 1} } \right)} \right] = E\left( {\sqrt {h_t } E\left[ {\eta _t } \right]} \right) = 0

2. La varianza non condizionata delle innovazioni (considerando che) \epsilon_t~\text{\' e  un processo stazionario con valore atteso nullo e}~Var \left( {\varepsilon _t } \right) = Var\left( {\varepsilon _{t - 1} } \right) = E\left( {\varepsilon _{t - 1}^2 } \right) è pari a:
Var\left( {\varepsilon _t } \right) = E\left[ {E\left( {\varepsilon _t^2 |I_{t - 1} } \right)} \right] = E\left( {\omega + \alpha _1 \varepsilon _{t - 1}^2 } \right) =
= \omega + \alpha _1 E\left( {\varepsilon _{t - 1}^2 } \right) = \frac{\omega }{{1 - \alpha _1 }}

Poiché la varianza deve essere positiva, questo implica che 0 \le \alpha _1 \le 1;{\rm }\omega > 0;

Modello ARCH(1)

3. Si può dimostrare che la curtosi non condizionata è pari a
\frac{{E\left( {\varepsilon _t^4 } \right)}}{{\left[ {Var\left( {\varepsilon _t } \right)} \right]^2 }} = 3\frac{{1 - \alpha _1^2 }}{{1 - 3\alpha _1^2 }} > 3,

Per cui vi è coerenza con l’evidenza empirica di leptocurtosi;

4. Poichè Var\left( {\varepsilon _t } \right) = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {\left( {1 - \alpha _1 } \right)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\left( {1 - \alpha _1 } \right)}}, simboleggiando la varianza non condizionata con \sigma ^2 , si ha che \omega = \sigma ^2 \left( {1 - \alpha _1 } \right). Sostituendo tale espressione nella volatility equation si ha
h_t = \omega + \alpha _1 \varepsilon _{t - 1}^2 = \sigma ^2 \left( {1 - \alpha _1 } \right) + \alpha _1 \varepsilon _{t - 1}^2 = \sigma ^2 + \alpha _1 \left( {\varepsilon _{t - 1}^2 - \sigma ^2 } \right)<br />
, da cui

\varepsilon _t = \eta _t \sqrt {\sigma ^2 + \alpha _1 \left( {\varepsilon _{t - 1}^2 - \sigma ^2 } \right)}.

Modello ARCH(1)

Riordiniamo le idee.

  • Il coefficiente ω deve essere strettamente positivo, inoltre -1 <\alpha <1. Le due proprietà devono essere verificate per la positività della varianza;
  • Il modello cattura la leptocurtosi;
  • Il modello cattura il fenomeno della volatility clustering. Dalla struttura del modello si può vedere come grandi shock al quadrato nel passato implicano una grande varianza condizionata attuale per i rendimenti (centrati rispetto alla media), con la conseguenza che le innovazioni tendono ad avere un grande valore in valore assoluto;
  • La varianza condizionata è pari alla somma tra la varianza non condizionata e una frazione della differenza tra l’ultima innovazione al quadrato e la varianza non condizionata stessa.

Modello ARCH(p)

E’ riduttiva la limitazione della memoria al primo ritardo. Il modello più generale è infatti il modello ARCH(p).
r_t  = \mu _t  + \varepsilon _t ;{\rm  }\varepsilon _t  = \sqrt {h_t } \eta _t ;{\rm  }\eta _t \sim N\left( {0,1} \right);{\rm  }\varepsilon _t |I_{t - 1} \sim N\left( {0,h_t } \right);

h_t = \omega + \alpha _1 \varepsilon _{t - 1}^2 + \alpha _2 \varepsilon _{t - 2}^2 + ... + \alpha _p \varepsilon _{t - p}^2 .

La varianza non condizionata è pari a
Var\left( {\varepsilon _t } \right) = E\left( {\varepsilon _t^2 } \right) = \sigma ^2 = \frac{\omega }{{1 - \sum\limits_{i = 1}^p {\alpha _i } }}

Le condizioni per la non negatività della varianza sono

\omega > 0;{\rm }\alpha _i \ge 0{\rm }\left( {i = 1,...,p} \right);{\rm }\sum\limits_{i = 1}^p {\alpha _i < 1}.

Test per effetti ARCH

Un primo test per la verifica di effetti ARCH interviene sui residui del modello principale.

\hat \varepsilon _t = r_t - \mu _t.

Si regrediscono i quadrati di questi residui su una costante e su p valori passati:
\hat \varepsilon _t^2 = \alpha _0 + \alpha _1 \hat \varepsilon _{t - 1}^2 + \alpha _2 \hat \varepsilon _{t - 2}^2 + ... + \alpha _p \hat \varepsilon _{t - p}^2 r_t + u_t .<br />

L’ipotesi nulla di assenza di effetti ARCH è
H_0 :\alpha _1 = \alpha _2 = ... = \alpha _p = 0
La statistica test utilizzata è TR^2 \underrightarrow{d} \chi _p^2
in cui R^2 è l’indice di determinazione lineare della regressione prima specificata (test LM-ARCH).

Test per effetti ARCH (segue)

Un test alternativo per la verifica di effetti ARCH è il ricorso all’usuale test F per la significatività congiunta di tutti i p coefficienti stimati dalla regressione.
\hat \varepsilon _t = r_t - \mu _t ;

\hat \varepsilon _t^2 = \alpha _0 + \alpha _1 \hat \varepsilon _{t - 1}^2 + \alpha _2 \hat \varepsilon _{t - 2}^2 + ... + \alpha _p \hat \varepsilon _{t - p}^2 r_t + u_t .

L’ipotesi nulla di assenza di effetti ARCH è:

H_0 :\alpha _1 = \alpha _2 = ... = \alpha _p = 0.

La statistica test utilizzata è :
F = \frac{{T - p}}{p}\frac{{R^2 }}{{1 - R^2 }}.

Nella prossima lezione

  • Analisi della volatilità;
  • Rappresentazione AR di un modello ARCH;
  • Un esempio;
  • Limiti dei modelli ARCH.
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