Home

Federica EU

1/10

Antonio D'Ambrosio » 9.Analisi della volatilità - Parte terza

In questa lezione

Analisi della volatilità;

Modelli ARCH;
Modello ARCH(1);
Modello ARCH(p);
Test per effetti ARCH.

Modelli ARCH

L’idea di base sottostante lo studio della volatilità è che la serie $r_t$ dei rendimenti è (a seconda della frequenza) serialmente incorrelata o con correlazioni seriali di basso ordine, ma non indipendente. Consideriamo la media e la varianza condizionata di $r_t$ :

$E\left( {r_t |I_{t - 1} } \right) = \mu _t ;{\rm }Var\left( {r_t |I_{t - 1} } \right) = E\left( {\left[ {r_t - \mu _t } \right]^2 |I_{t - 1} } \right) = h_t$

Per quanto riguarda la media condizionata, date le caratteristiche dei rendimenti, si assume che $r_t$ segua un modello per serie storiche (ad esempio, un ARMA(p,q)).

$r_t = \mu _t + \varepsilon _t ,{\rm~ con ~}\mu _t = \delta + \sum\limits_{i = 1}^p {\varphi _i r_{t - 1} } - \sum\limits_{i = 1}^q {\theta _i \varepsilon _{t - 1} } ,{\rm~~ da~~ cui}$

$Var\left( {r_t |I_{t - 1} } \right) = Var\left( {\varepsilon _t |I_{t - 1} } \right)$

Modelli ARCH (segue)

E’ bene puntualizzare che la variabile dipendente per un modello ARCH per la volatilità è la serie dei rendimenti. Un modello ARCH è composto, quindi, da due equazioni:

$r_t = \mu _t + \varepsilon _t {\rm , ~equazione~ per~ la ~media~ (}~mean~{\rm }equation{\rm );}$

$h_t = Var\left( {r_t |I_{t - 1} } \right) = Var\left( {\varepsilon _t |I_{t - 1} } \right)$

equazione per la volatilità (volatility equation)

Si assume che $\varepsilon _t = \eta _t \sqrt {h_t }~~, in~~ cui~~ \eta _t |I_{t - 1} \~N\left( {0,1} \right), ~~\eta _t \bot \sqrt {h_t }$ .

Questo implica che $\varepsilon _t |I_{t - 1} \~N\left( {0,h_t } \right);{\rm }E\left( {\varepsilon _t^2 |I_{t - 1} } \right) = h_t$ .

Modello ARCH (1)

Il modello ARCH(1) prevede

$r_t = \mu _t + \varepsilon _t ;{\rm }\varepsilon _t = \sqrt {h_t } \eta _t ;{\rm }\eta _t \bot \sqrt {h_t } ;{\rm }h_t = \omega + \alpha _1 \varepsilon _{t - 1}^2.$

1. La media non condizionata delle innovazioni è pari a
$E\left( {r_t } \right) = E\left[ {E\left( {\varepsilon _t |I_{t - 1} } \right)} \right] = E\left( {\sqrt {h_t } E\left[ {\eta _t } \right]} \right) = 0$

2. La varianza non condizionata delle innovazioni (considerando che) $\epsilon_t~\text{\' e un processo stazionario con valore atteso nullo e}~Var \left( {\varepsilon _t } \right) = Var\left( {\varepsilon _{t - 1} } \right) = E\left( {\varepsilon _{t - 1}^2 } \right)$ è pari a:
$Var\left( {\varepsilon _t } \right) = E\left[ {E\left( {\varepsilon _t^2 |I_{t - 1} } \right)} \right] = E\left( {\omega + \alpha _1 \varepsilon _{t - 1}^2 } \right) =$
$= \omega + \alpha _1 E\left( {\varepsilon _{t - 1}^2 } \right) = \frac{\omega }{{1 - \alpha _1 }}$

Poiché la varianza deve essere positiva, questo implica che $0 \le \alpha _1 \le 1;{\rm }\omega > 0$ ;

Modello ARCH(1)

3. Si può dimostrare che la curtosi non condizionata è pari a
$\frac{{E\left( {\varepsilon _t^4 } \right)}}{{\left[ {Var\left( {\varepsilon _t } \right)} \right]^2 }} = 3\frac{{1 - \alpha _1^2 }}{{1 - 3\alpha _1^2 }} > 3$ ,

Per cui vi è coerenza con l’evidenza empirica di leptocurtosi;

4. Poichè $Var\left( {\varepsilon _t } \right) = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {\left( {1 - \alpha _1 } \right)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\left( {1 - \alpha _1 } \right)}}$ , simboleggiando la varianza non condizionata con $\sigma ^2$ , si ha che $\omega = \sigma ^2 \left( {1 - \alpha _1 } \right)$ . Sostituendo tale espressione nella volatility equation si ha
$h_t = \omega + \alpha _1 \varepsilon _{t - 1}^2 = \sigma ^2 \left( {1 - \alpha _1 } \right) + \alpha _1 \varepsilon _{t - 1}^2 = \sigma ^2 + \alpha _1 \left( {\varepsilon _{t - 1}^2 - \sigma ^2 } \right)<br />$ , da cui

$\varepsilon _t = \eta _t \sqrt {\sigma ^2 + \alpha _1 \left( {\varepsilon _{t - 1}^2 - \sigma ^2 } \right)}$ .

Modello ARCH(1)

Riordiniamo le idee.

Il coefficiente ω deve essere strettamente positivo, inoltre $-1 <\alpha <1$ . Le due proprietà devono essere verificate per la positività della varianza;
Il modello cattura la leptocurtosi;
Il modello cattura il fenomeno della volatility clustering. Dalla struttura del modello si può vedere come grandi shock al quadrato nel passato implicano una grande varianza condizionata attuale per i rendimenti (centrati rispetto alla media), con la conseguenza che le innovazioni tendono ad avere un grande valore in valore assoluto;
La varianza condizionata è pari alla somma tra la varianza non condizionata e una frazione della differenza tra l’ultima innovazione al quadrato e la varianza non condizionata stessa.

Modello ARCH(p)

E’ riduttiva la limitazione della memoria al primo ritardo. Il modello più generale è infatti il modello ARCH(p).
$r_t = \mu _t + \varepsilon _t ;{\rm }\varepsilon _t = \sqrt {h_t } \eta _t ;{\rm }\eta _t \sim N\left( {0,1} \right);{\rm }\varepsilon _t |I_{t - 1} \sim N\left( {0,h_t } \right);$

$h_t = \omega + \alpha _1 \varepsilon _{t - 1}^2 + \alpha _2 \varepsilon _{t - 2}^2 + ... + \alpha _p \varepsilon _{t - p}^2$ .

La varianza non condizionata è pari a
$Var\left( {\varepsilon _t } \right) = E\left( {\varepsilon _t^2 } \right) = \sigma ^2 = \frac{\omega }{{1 - \sum\limits_{i = 1}^p {\alpha _i } }}$

Le condizioni per la non negatività della varianza sono

$\omega > 0;{\rm }\alpha _i \ge 0{\rm }\left( {i = 1,...,p} \right);{\rm }\sum\limits_{i = 1}^p {\alpha _i < 1}.$

Test per effetti ARCH

Un primo test per la verifica di effetti ARCH interviene sui residui del modello principale.

$\hat \varepsilon _t = r_t - \mu _t.$

Si regrediscono i quadrati di questi residui su una costante e su p valori passati:
$\hat \varepsilon _t^2 = \alpha _0 + \alpha _1 \hat \varepsilon _{t - 1}^2 + \alpha _2 \hat \varepsilon _{t - 2}^2 + ... + \alpha _p \hat \varepsilon _{t - p}^2 r_t + u_t .<br />$

L’ipotesi nulla di assenza di effetti ARCH è
$H_0 :\alpha _1 = \alpha _2 = ... = \alpha _p = 0$
La statistica test utilizzata è $TR^2 \underrightarrow{d} \chi _p^2$
in cui $R^2$ è l’indice di determinazione lineare della regressione prima specificata (test LM-ARCH).

Test per effetti ARCH (segue)

Un test alternativo per la verifica di effetti ARCH è il ricorso all’usuale test F per la significatività congiunta di tutti i p coefficienti stimati dalla regressione.
$\hat \varepsilon _t = r_t - \mu _t ;$

$\hat \varepsilon _t^2 = \alpha _0 + \alpha _1 \hat \varepsilon _{t - 1}^2 + \alpha _2 \hat \varepsilon _{t - 2}^2 + ... + \alpha _p \hat \varepsilon _{t - p}^2 r_t + u_t .$