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Antonio D'Ambrosio » 10.Analisi della volatilità - Parte quarta


In questa lezione

  • Analisi della volatilità;
  • Rappresentazione AR di un modello ARCH;
  • Un esempio;
  • Limiti dei modelli ARCH.

Rappresentazione AR di un modello ARCH

L’equazione h_t = \omega + \alpha _1 \varepsilon _{t - 1}^2 (relativamente ad un ARCH(1)) implica che i quadrati dei residui della serie osservata (i quadrati delle innovazioni) seguono un processo AR(1). Infatti, indicando con \xi _t la differenza tra i quadrati delle innovazioni e la propria media condizionata,
\varepsilon _t^2 - E\left( {\varepsilon _t^2 |I_{t - 1} } \right) = \varepsilon _t^2 - h_t = \xi _t

si può verificare come questa corrisponda ad una differenza di martingale:
E\left( {\xi _t |I_{t - 1} } \right) = E\left( {\varepsilon _t^2 |I_{t - 1} } \right) - E\left( {h_t |I_{t - 1} } \right) = h_t - h_t = 0, da cui

\varepsilon _t^2 = h_t + \xi _t = \omega + \alpha _1 \varepsilon _{t - 1}^2 + \xi _t,

\xi _t = \varepsilon _t^2 - h_t = \eta _t^2 h_t - h_t = h_t \left( {\eta _t^2 - 1} \right)

Rappresentazione AR di un modello ARCH (segue)

Affinchè il processo sia stazionario, è necessario quindi che\alpha _1 < 1. Inoltre \omega >1.

In generale, un modello ARCH(p) sulle innovazioni implica un processo AR(p) sul quadrato delle innovazioni.
\varepsilon _t^2 = \omega + \alpha _1 \varepsilon _{t - 1}^2 + \alpha _2 \varepsilon _{t - 2}^2 + ... + \alpha _p \varepsilon _{t - p}^2 + \xi _t, ricordando che
\xi _t = \varepsilon _t^2 - h_t = \eta _t^2 h_t - h_t = h_t \left( {\eta _t^2 - 1} \right).

In generale, le condizioni sono:
\omega > 0;{\rm }\alpha _i \ge 0{\rm }\left( {i = 1,...,p} \right);{\rm }\sum\limits_{i = 1}^p {\alpha _i < 1}.

Un ulteriore test per effetti ARCH è, in questa ottica, il test di Ljung-Box sulla funzione di autocorrelazione di \varepsilon_t^2.

Esempio

Rendimenti mensili del titolo Intel (in alto) e quadrato dei rendimenti (in basso).

Rendimenti mensili del titolo Intel (in alto) e quadrato dei rendimenti (in basso).


Esempio

ACF dei rendimenti del titolo INTEL (grafico in alto), ACF e PACF del quadrato dei rendimenti (grafico al centro e in basso).

ACF dei rendimenti del titolo INTEL (grafico in alto), ACF e PACF del quadrato dei rendimenti (grafico al centro e in basso).


Esempio

Test LM-ARCH sui residui al quadrato della mean equation.

Test LM-ARCH sui residui al quadrato della mean equation.


Esempio

Stima di un modello ARCH(3). I ritardi 2 e 3 non sono significativi. Stimiamo un modello ARCH(1).

Stima di un modello ARCH(3). I ritardi 2 e 3 non sono significativi. Stimiamo un modello ARCH(1).


Esempio

Stima di un ARCH(1).

Stima di un ARCH(1).


Esempio

ACF e PACF dei residui standardizzati (in alto a sinistra) e dei residui standardizzati al quadrato (in basso a destra).

ACF e PACF dei residui standardizzati (in alto a sinistra) e dei residui standardizzati al quadrato (in basso a destra).


Esempio

Test di Ljung-Box per i residui standardizzati (a sinistra) e per i residui standardizzati al quadrato (a destra).

Test di Ljung-Box per i residui standardizzati (a sinistra) e per i residui standardizzati al quadrato (a destra).


Esempio

Residui e stima della deviazione standard.

Residui e stima della deviazione standard.


Limiti dei modelli ARCH

Il modello assume che shock positivi e negativi hanno il medesimo effetto sulla volatilità.

Spesso la struttura di persistenza della volatilità è tale per cui sarebbe necessario un ordine del modello piuttosto alto per replicarla.

Sorge quindi il problema dei numeri di ritardi da inserire: c’è la possibilità che l’ordine sia troppo alto per essere gestibile

Una classe di modelli più parsimoniosi per la modellizzazione della eteroschedasticità condizionata è costituita dai modelli GARCH.

Nella prossima lezione

  • Analisi della volatilità;
  • Modelli GARCH(p,q);
  • Stima dei modelli GARCH;
  • Un esempio.
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