L’equazione (relativamente ad un ARCH(1)) implica che i quadrati dei residui della serie osservata (i quadrati delle innovazioni) seguono un processo AR(1). Infatti, indicando con la differenza tra i quadrati delle innovazioni e la propria media condizionata,
si può verificare come questa corrisponda ad una differenza di martingale:
, da cui
,
Affinchè il processo sia stazionario, è necessario quindi che Inoltre
In generale, un modello ARCH(p) sulle innovazioni implica un processo AR(p) sul quadrato delle innovazioni.
, ricordando che
In generale, le condizioni sono:
Un ulteriore test per effetti ARCH è, in questa ottica, il test di Ljung-Box sulla funzione di autocorrelazione di
ACF dei rendimenti del titolo INTEL (grafico in alto), ACF e PACF del quadrato dei rendimenti (grafico al centro e in basso).
ACF e PACF dei residui standardizzati (in alto a sinistra) e dei residui standardizzati al quadrato (in basso a destra).
Test di Ljung-Box per i residui standardizzati (a sinistra) e per i residui standardizzati al quadrato (a destra).
Il modello assume che shock positivi e negativi hanno il medesimo effetto sulla volatilità.
Spesso la struttura di persistenza della volatilità è tale per cui sarebbe necessario un ordine del modello piuttosto alto per replicarla.
Sorge quindi il problema dei numeri di ritardi da inserire: c’è la possibilità che l’ordine sia troppo alto per essere gestibile
Una classe di modelli più parsimoniosi per la modellizzazione della eteroschedasticità condizionata è costituita dai modelli GARCH.
1. Richiami ai processi stocastici
4. Analisi dei rendimenti – Parte prima
5. Analisi dei rendimenti – Parte seconda
6. Analisi dei rendimenti - Parte terza
7. Analisi della volatilità - Parte prima
8. Analisi della volatilità - Parte seconda
9. Analisi della volatilità - Parte terza
10. Analisi della volatilità - Parte quarta
11. Analisi della volatilità - Parte quinta
12. Analisi della volatilità - Parte sesta