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Antonio D'Ambrosio » 11.Analisi della volatilità - Parte quinta

In questa lezione

Analisi della volatilità;
Modelli GARCH(p,q);
Stima dei modelli GARCH;
Un esempio.

Modelli GARCH: introduzione

I modelli GARCH (Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity) rappresentano una generalizzazione del modello ARCH, esattamente come i modelli ARMA sono una generalizzazione dei modelli AR.

La varianza condizionata dipende, oltre che da valori passati del quadrato delle innovazioni, anche da valori passati della varianza condizionata stessa.

Lo scopo è quello di rendere la stima della varianza condizionata più parsimoniosa in termini di parametri da stimare. Nella maggior parte delle applicazioni infatti raramente si va oltre la stima di un GARCH(1,1).

Modello GARCH(p,q)

Il modello GARCH(p,q) è esprimibile nel modo seguente:
$r_t = \mu _t + \varepsilon _t ;{\rm }\varepsilon _t = \sqrt {h_t } \eta _t ;{\rm }\eta _t \bot \sqrt {h_t } ;$

$<br /> h_t = \omega + \alpha _1 \varepsilon _{t - 1}^2 + \alpha _2 \varepsilon _{t - 2}^2 + ... + \alpha _p \varepsilon _{t - p}^2 + \beta _1 h_{t - 1} + \beta _2 h_{t - 2} + ... + \beta _q h_{t - q} =$

$= \omega + \sum\limits_{i = 1}^p {\alpha _i \varepsilon _{t - i}^2 } + \sum\limits_{j = 1}^q {\beta _j h_{t - j} } = \omega + \alpha \left( B \right)\varepsilon _t^2 + \beta \left( B \right)h_t$
in cui B è l’operatore ritardo, quindi [α(B) {β(B)}=α₁B {β₁B}+ α₂B² { β₂B²}+...+ α_pB^p {β_q B^q} ].

Ci si riferisce a $\alpha _i \varepsilon _{t - i}^2<br />$ come ai termini ARCH, mentre a $\beta _j h_{t - j}$ come ai termini GARCH.

Modelli GARCH(p,q) e processi ARMA

In generale, un modello GARCH(p,q) sulla serie dei rendimenti è esprimibile come un modello ARMA sulla serie delle innovazioni al quadrato:

$\varepsilon _t^2 = \omega + \sum\limits_{i = 1}^{\max \left( {p,q} \right)} {\left( {\alpha _i + \beta _i } \right)} \varepsilon _{t - i}^2 - \sum\limits_{j = 1}^q {\beta _j } \xi _{t - j} + \xi _t$

che è in effetti un modello ARMA(max(p,q),q), ricordando che $\xi _t = \varepsilon _t^2 - h_t$ .

Modello GARCH(1,1)

Se la serie dei rendimenti è esprimibile attraverso un modello GARCH(1,1), allora i rendimenti al quadrato seguono un processo ARMA(1,1). Riprendendo quanto osservato nelle precedenti lezioni, sappiamo che

$\varepsilon _t^2 - E\left( {\varepsilon _t^2 |I_{t - 1} } \right) = \varepsilon _t^2 - h_t = \xi _t ;{\rm }E\left( {\xi _t |I_{t - 1} } \right) = 0$

Da cui $\varepsilon _t^2 = h_t + \xi _t ;{\rm }h_t = \varepsilon _t^2 - \xi _t ;{\rm }h_{t - 1} = \varepsilon _{t - 1}^2 - \xi _{t - 1}$ .

Allora abbiamo che:

$\begin{array}{l}\varepsilon _t^2 = h_t + \xi _t = \omega + \alpha _1 \varepsilon _{t - 1}^2 + \beta _1 h_{t - 1} + \xi _t = \\{\rm } = \omega + \alpha _1 \varepsilon _{t - 1}^2 + \beta _1 \left({\varepsilon _{t - 1}^2 - \xi _{t - 1} } \right) + \xi _t = \\{\rm } = \omega + \left( {\alpha _1 + \beta _1 } \right)\varepsilon _{t - 1}^2 - \beta _1 \xi _{t - 1} + \xi _t = \\{\rm } = \omega + \left( {\alpha _1 + \beta _1 } \right)\varepsilon _{t - 1}^2 - \beta _1 \left( {\varepsilon _{t - 1}^2 - h_{t - 1} } \right) + \xi _t \\\end{array}$

Modello GARCH(1,1)

La varianza non condizionata di un GARCH(1,1) è pari a

$\begin{array}{l}\sigma ^2 = Var\left( {\varepsilon _t } \right) = E\left( {h_t } \right) = \omega + \alpha _1 E\left( {\varepsilon _{t - 1}^2 } \right) + \beta _1 E\left( {h_{t - 1} } \right) = \\{\rm } = \omega + \alpha _1 \sigma ^2 + \beta _1 \sigma ^2 = \frac{\omega }{{1 - \alpha _1 - \beta _1 }} \\\end{array}$

Questo implica che:
ω > 0
0< α₁+β₁ < 1
Inoltre deve essere che _1 ≥ 0, _1 ≥ 0
Ancora, poiché (α₁+β₁) è la radice della parte autoregressiva della rappresentazione ARMA(1,1) del modello GARCH(1,1), la condizione 0< α₁+β₁ < 1 è necessaria anche per la stazionarietà del processo ARMA.

Modelli GARCH

In generale, per un GARCH(p,q), la varianza non condizionata vale

$\sigma ^2 = \frac{\omega }{{1 - \left( {\sum\limits_{i = 1}^p {\alpha _i } + \sum\limits_{j = 1}^q {\beta _j } } \right)}}$
Il che implica che le condizioni sono:
ω> 0

$\left( {\sum\limits_{i = 1}^p {\alpha _i } + \sum\limits_{j = 1}^q {\beta _j } } \right) < 1$

α_i ≥ 0

β_j ≥ 0

Modelli GARCH

Un modello GARCH è più parsimonioso rispetto ad un modello ARCH perché un modello GARCH(1,1) costituisce una approssimazione di un modello ARCH(p), con p elevato. Infatti un modello GARCH(1,1) può essere riscritto come un modello ARCH(∞).
Partendo infatti da $h_t = \omega + \alpha \varepsilon _{t - 1}^2 + \beta h_{t - 1}$ e procedendo per sostituzioni successive, si ha:

$h_t = \omega + \alpha \varepsilon _{t - 1}^2 + \beta \left( {\omega + \alpha \varepsilon _{t - 2}^2 + \beta h_{t - 2} } \right) = \omega \left( {1 + \beta } \right) + \alpha \left( {\varepsilon _{t - 1}^2 + \beta \varepsilon _{t - 2}^2 } \right) + \beta ^2 h_{t - 2}$
E poi ancora

$\begin{array}{l}h_t = \omega \left( {1 + \beta } \right) + \alpha \left( {\varepsilon _{t - 1}^2 + \beta \varepsilon _{t - 2}^2 } \right) + \beta ^2 \left( {\omega + \alpha \varepsilon _{t - 3}^2 + \beta h_{t - 3} } \right) = \\{\rm } = \omega \left( {1 + \beta + \beta ^2 } \right) + \alpha \left( {\varepsilon _{t - 1}^2 + \beta \varepsilon _{t - 2}^2 + \beta ^2 \varepsilon _{t - 3}^2 } \right) + \beta ^3 h_{t - 3} \\\end{array}$
Fino a

$\begin{array}{l}h_t = \omega \left( {1 + \beta + \beta ^2 + \beta ^3 + ...} \right) + \alpha \left( {\varepsilon _{{\rm t - 1}}^{\rm 2} + \beta \varepsilon _{{\rm t - 2}}^{\rm 2} + \beta ^2 \varepsilon _{{\rm t - 3}}^{\rm 2} + \beta ^3 \varepsilon _{{\rm t - 4}}^{\rm 2} + ...} \right){\rm } = \\{\rm } = \frac{\omega }{{1 - \beta }} + \alpha \sum\limits_{i = 1}^\infty {\beta ^{i - 1} \varepsilon _{t - i}^2 } \\\end{array}$

Cioè, un ARCH(∞) con coefficienti geometricamente decrescenti

Stima dei parametri

Poiché

$r_t = \mu _t + \varepsilon _t ;{\rm }\varepsilon _t = \sqrt {h_t } \eta _t ;{\rm }\eta _t \simN\left( {0,1} \right);{\rm }\eta _t \bot \sqrt {h_t }$

Allora $\varepsilon _t |I_{t - 1} \sim N\left( {0,h_t } \right$ e segue che $r_t |I_{t - 1} \sim N\left( {\mu _t ,h_t } \right)$ .

Per la stima dei parametri si può quindi utilizzare il metodo della massima verosimiglianza condizionata
$L\left( {\theta |r_2 ,r_3 ,...,r_T ;r_1 ,\sigma ^2 } \right) = \prod\limits_{t = 2}^T {L_t }$ ,
in cui

$L_t = \frac{1}{{\sqrt {2\pi h_t \left( \theta \right)} }}\exp \left( { - \frac{1}{2}\frac{{\left( {r_t - \mu _t \left( \theta \right)} \right)^2 }}{{h_t \left( \theta \right)}}} \right)$

è l’elemento della funzione di verosimiglianza condizionata al tempo t. Poiché al tempo t=1 bisogna utilizzare un valore r_t=r₀per l’inizializzazione del procedimento, la produttoria parte dal tempo t = 2. Poiché, ancora, al tempo t = 2 si ha dipendenza da h₁, anche tale grandezza va inizializzata e, di norma, si pone pari ad una stima della varianza non condizionata delle innovazioni. La funzione di verosimiglianza dipende, quindi, anche da σ².

Stima dei parametri

Si effettua la trasformazione logaritmica della funzione di verosimiglianza, e quindi la stima di massima verosimiglianza è quella per la quale

$\mathop {\max }\limits_\theta \ln (L) = \mathop {\max }\limits_\theta \left( { - \frac{1}{2}\sum\limits_{t = 2}^T {\ln \left( {h_t \left( \theta \right)} \right)} - \frac{1}{2}\sum\limits_{t = 2}^T {\frac{{\left( {r_t - \mu _t \left( \theta \right)} \right)^2 }}{{h_t \left( \theta \right)}}} } \right)$

in cui θ indica sinteticamente i parametri da stimare.
La massimizzazione della funzione avviene per via numerica attraverso metodi iterativi.

Rispetto alla stima dei parametri di un processo ARMA, la convergenza avviene in maniera più complicata poiché bisogna tener conto dei vincoli che si impongono sui parametri (ad esempio, α+β<1, ecc.).