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Antonio D'Ambrosio » 12.Analisi della volatilità - Parte sesta

In questa lezione

Analisi della volatilità;
Altre tipologie di modelli GARCH;
Simmetria e asimmetria;
Procedure per la verifica di effetti asimmetrici

IGARCH

Se (in un GARCH(1,1)) succede che α+β=1 (in generale, per un modello GARCH(p,q), $\sum\limits_{i = 1}^p {\alpha _i + } \sum\limits_{j = 1}^q {\beta _j = 1}$ ), il modello prende il nome di processo GARCH(1,1) Integrato, oppure IGARCH.

In questo caso, gli shock sulla volatilità hanno un effetto permanente.

Nel caso in cui ω=0, si può mostrare che le previsioni per la volatilità sono semplicemente pari a
$\alpha \varepsilon _{or}^2 + \beta h_{or}$ lungo tutto l’orizzonte di previsione, in cui or indica l’origine di previsione, ed in cui ε_or e h_or sono noti al tempo or.

Per chi volesse approfondire: vedi connessione tra IGARCH(1,1) senza drift, Riskmetrics e Value at Risk.

GARCH-M

Il termine GARCH-M indica GARCH in mean. Facendo riferimento ad un GARCH(1,1)-M, questo è esprimibile attraverso la relazione:
$r_t = \mu + ch_t + \varepsilon _t ;{\rm }\varepsilon _t = \sqrt {h_t } \eta _t ;{\rm }h_t = \omega + \alpha \varepsilon _{t - 1}^2 + \beta h_{t - 1}$

in cui μ e c sono costanti. Il parametro c è detto premio per il rischio, e un suo valore positivo indica che il rendimento è positivamente legato alla sua volatilità pregressa.

La formulazione del GARCH-M implica che ci sono correlazioni seriali nella serie dei rendimenti introdotte da quelle del processo della volatilità.

Simmetria e asimmetria

Il modello GARCH tratta in maniera simmetrica gli shock positivi e negativi.

E’ noto che esiste una certa correlazione (negativa) tra volatilità e innovazione (effetto leverage).

Si rendono necessarie procedure per la verifica di effetti asimmetrici.

Sign bias test;
Negative (positive) size bias test.

Sign Bias Test

E’ un test per la distorsione dovuta al segno del rendimento. Si specifica una regressione del tipo
$\frac{{\hat \varepsilon _t^2 }}{{h_t }} = \alpha + \beta \delta _{t - 1}^ - + u_t$
in cui $\delta _{t - 1}^ -$ è una variabile dummy che vale 1 se ${\hat \varepsilon _{t - 1} < 0}$ , e vale 0 altrimenti. In effetti si tratta di controllare la significatività del coefficiente β. Se risulta che β>0, allora la media dei residui standardizzati al quadrato è maggiore rispetto al caso di shock positivi nel periodo precedente, e quindi è sintomo di manifestazione dell’effetto leverage.

Sign Bias Test: esempio

Modello AR(2) GARCH(1,1) su rendimenti giornalieri titolo S&P.

Sign Bias Test: esempio

Sign bias test sul modello specificato in precedenza.

Negative Sign Bias Test

E’ un test per la distorsione dell’impatto di tipo negativo del segno del rendimento. Si specifica una regressione del tipo
$\frac{{\hat \varepsilon _t^2 }}{{h_t }} = \alpha + \beta \delta _{t - 1}^ - \hat \varepsilon _{t - 1} + u_t$
in cui $\delta _{t - 1}^ -$ è una variabile dummy che vale 1 se $\hat \varepsilon _{t - 1} < 0$ , e vale 0 altrimenti.
Si tratta di controllare la significatività del coefficiente β. Se risulta che β<0, allora vi è sintomo di manifestazione dell’effetto leverage. Rispetto al test precedente, si vuol controllare se uno shock negativo comporta un aumento della volatilità proporzionale al suo valore. Per controllare anche l’effetto sulla media, si può specificare un modello del tipo
$\frac{{\hat \varepsilon _t^2 }}{{h_t }} = \alpha + \gamma \delta _{t - 1}^ - + \beta \delta _{t - 1}^ - \hat \varepsilon _{t - 1} + u_t$

Negative Sign Bias Test: esempio

Negative sign bias test sul modello specificato in precedenza.

Negative Sign Bias Test: esempio

Negative sign bias test (seconda versione) sul modello specificato in precedenza.

Positive Sign Bias Test

E’ un test per la distorsione dell’impatto di tipo positivo del segno del rendimento. Si specifica una regressione del tipo
$\frac{{\hat \varepsilon _t^2 }}{{h_t }} = \alpha + \beta \delta _{t - 1}^ + \hat \varepsilon _{t - 1} + u_t$

in cui $\delta _{t - 1}^ +$ è una variabile dummy che vale 1 se $\hat \varepsilon _{t - 1} > 0$ , e vale 0 altrimenti.
E’ in pratica lo stesso test di prima. Se β<0, allora si può affermare che vi è una riduzione significativa della varianza condizionata a seguito di shock positivi. Volendo testare congiuntamente anche l’intercetta, si può stimare il modello

$\frac{{\hat \varepsilon _t^2 }}{{h_t }} = \alpha + \gamma \delta _{t - 1}^ + + \beta \delta _{t - 1}^ + \hat \varepsilon _{t - 1} + u_t$

Negative Sign Bias Test: esempio

Positive sign bias test sul modello specificato in precedenza.

Simmetria e asimmetria: considerazioni

Se si riscontrano effetti di asimmetria, la specificazione del modello GARCH dovrebbe essere modificata in modo da tenerne in considerazione gli effetti.

Se si evidenziano effetti asimmetrici, allora si deve prendere in considerazione l’effetto differenziato relativo all’impatto di rendimenti negativi.

Da quanto visto fino ad ora, la classe dei modelli ARCH consente di evidenziare il fenomeno della volatility clustering e di «catturare» la leptocurtosi.

Sono però modelli simmetrici, nel senso che non riescono a distinguere tra volatilità conseguente a shock negativi o positivi.