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Antonio D'Ambrosio » 14.Analisi della volatilità - Parte ottava


In questa lezione

  • Analisi della volatilità;
  • Previsione;
  • Diagnostica.

Introduzione

I modelli della classe GARCH possono essere utilizzati per la previsione della varianza condizionata sulla base dell’insieme informativo disponibile ad un dato istante.

In generale, la previsione della varianza condizionata di un passo in avanti per un generico modello sarà pari a

E\left( {\varepsilon _{T + 1|T}^2 |I_T } \right) = h_{T + 1|T}

ove con T si indica l’origine di previsione (forecast origin) e, al solito, I|T esprime l’insieme informativo disponibile fino a quel momento.

Nel seguito, la previsione verrà indicata per brevità con h_{t + 1|t} .

Previsione con modelli ARCH(p)

Le previsioni per un modello ARCH possono essere ottenute in maniera ricorsiva come quelle per un modello autoregressivo.

Considerando il tempo di origine della previsione t ed un modello ARCH(p), per la one-step ahead forecast si avrà che

h_{t + 1|t} = \omega + \alpha _1 \varepsilon _{t - 1}^2 + ... + \alpha _p \varepsilon _{t + 1 - p}^2.

La previsione per due periodi in avanti sarà pari a

h_{t + 2|t} = \omega + \alpha _1 h_{t + 1|t} + \alpha _2 \varepsilon _t^2 + ... + \alpha _p \varepsilon _{t + 2 - p}^2.

Previsione con modelli ARCH(p)

In generale, partendo dall’origine di previsione t e considerando un modello ARCH(p), per la previsione di m periodi in avanti si ha:

h_{t + m|t} = \omega + \sum\limits_{i = 1}^p {\beta _i h_t (m - i)}

dove

h_t (m - i) = \varepsilon _{t + m - i}^2 a patto che m - i \le 0.

Previsione con modelli GARCH

Le previsioni per un modello GARCH possono essere ottenute in maniera ricorsiva come quelle di un modello ARMA.

Considerando il tempo di origine della previsione t ed un modello GARCH(1,1), la one step ahead forecast è pari a

h_{t + 1|t} = \omega + \alpha _1 \varepsilon _t^2 + \beta _1 h_t.

Per un orizzonte diprevisione pari a due periodi, l’espressione può essere scritta come

\begin{array}{l}h_{t + 2|t} = \omega + \alpha _1 E\left( {\varepsilon _{t + 1}^2 |I_t } \right) + \beta _1 h_{t + 1|t} \\= \omega + \left( {\alpha _1 + \beta _1 } \right)h_{t + 1|t} \\\end{array}

Previsione con modelli GARCH

Per un orizzonte di previsione pari a 3 si avrà

\begin{array}{l}h_{t + 3|t} = \omega + \alpha _1 E\left( {\varepsilon _{t + 2}^2 |I_t } \right) + \beta _1 h_{t + 2|t} = ... \\ = \omega + \left( {1 + \left( {\alpha _1 + \beta _1 } \right)} \right) + \left( {\alpha _1 + \beta _1 } \right)^2 h_{t + 1|t} \\ \end{array}

In generale, per un orizzonte di previsione pari a m periodi in avanti, risulterà che

h_{t + m|t} = \frac{{\omega \left( {1 - \left( {\alpha _1 + \beta _1 } \right)^{m - 1} } \right)}}{{1 - \alpha _1 - \beta _1 }} + \left( {\alpha _1 + \beta _1 } \right)^{m - 1} h_{t + 1|t}

Si può notare, a patto che \alpha _1 + \beta _1 < 1, che

\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } h_{t + m|t} = \frac{\omega }{{1 - \alpha _1 - \beta _1 }}.

Ciò significa che la previsione della volatilità per m passi in avanti considerando un modello GARCH(1,1) converge alla varianza incondizionata al convergere dell’orizzonte di previsione all’infinito.

Previsione con modelli TGARCH

Per quanto riguarda la previsione con modelli TGARCH, la componente asimmetrica modifica il profilo delle previsioni per la one step ahead forecast. Si avrà (per un TGARCH(1,1)) che se \varepsilon _t > 1, allora

h_{t + 1|t} = \omega + \alpha _1 \varepsilon _t^2 + \beta _1 h_t

mentre se \varepsilon _t < 1, allora h_{t + 1|t} = \omega + \left( {\alpha _1 + \gamma } \right)\varepsilon _t^2 + \beta _1 h_t. Per orizzonti di previsione maggiori di un periodo in avanti, il segno dell’innovazione non è noto. Si può assumere, però, che E\left( {\delta _{t + m}^ - } \right) = \frac{1}{2}. Allora, per ogni m>1,

h_{t + m|t} = \omega + \left( {\alpha _1 + \beta _1 + {\raise0.7ex\hbox{$\gamma $} \!\mathord{\left/{\vphantom {\gamma 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$2$}}} \right)h_{t + 1|t}

Per m tendente all’infinito si avrà che la previsione converge a

\frac{\omega }{{1 - \alpha _1 - \beta _1 - \left( {{\gamma \mathord{\left/{\vphantom {\gamma 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} \right)}}

Previsione con modelli EGARCH

La varianza stimata attraverso un EGARCH(1,1) è (considerando che l’equazione dell’EGARCH restituisce il suo logaritmo naturale)
h_t = \omega ^* h_{t - 1}^\beta \exp \left( {\frac{{\alpha \left| {r_{t - 1} } \right| + \gamma r_{t - 1} }}{{\sqrt {h_{t - 1} } }}} \right),
con \omega ^* = \exp \left( {\omega - \alpha \sqrt {\frac{2}{\pi }} } \right).

La one step ahead forecast segue, pertanto, immediatamente.

Considerando un orizzonte temporale di m periodi in avanti si ha che

h_{t + m|t} = K^{\left( {1 + \beta + ... + \beta ^{m - 2} } \right)} h_{t + 1|t}^{\beta ^{m - 1} },

ove con K si indica una costante indicante il valore atteso condizionato dell’esponenziale indicato nella formulazione della varianza stimata.

Poiché \beta < 1, per il convergere di m all’infinito si ha che la previsione converge a

K^{\left( {\frac{1}{{1 - \beta }}} \right)}.

Diagnostica

La diagnostica per i modelli a varianza eteroschedastica condizionata si esegue sulle innovazioni standardizzate.

r_t  = \mu _t  + \varepsilon _t ;{\rm   }\varepsilon _t  = \sqrt {h_t } \eta _t ;{\rm   }\eta _t  \bot \sqrt {h_t } ;{\rm   }\eta _t \sim N\left( {0,1} \right).

Standardizzando le innovazioni in tal guisa

\frac{{\varepsilon _t }}{{\sqrt {h_t } }}

bisogna verificare che siano non autocorrelate nei livelli (e nei quadrati).

La bontà di adattamento viene valutata in base alla capacità della varianza condizionata di rendere i residui standardizzati normalmente distribuiti.

Diagnostica

Le fasi salienti della specificazione di un modello della classe ARCH possono essere brevemente riassunte nei seguenti passaggi (notare la affinità stretta con lo schema riportato nella lezione 5):

  • Si stima il modello per la media dei rendimenti;
  • Si effettua un test ARCH sui residui della mean equation;
  • Si ricerca la appropriata specificazione GARCH;
  • Si effettuano test sui residui standardizzati.

Diagnostica

  • Spesso può capitare di rifiutare l’ipotesi nulla sui test di normalità dei residui standardizzati.
    • Spesso capita che vi siano poche osservazioni per le quali si registrano valori anomali dovute a svariate cause. Se gli outlier sono «pochi», converrebbe verificare empiricamente a quale data corrispondono per una possibile interpretazione del fenomeno
  • Identificazione di outlier. Si comparano sia i residui originari che quelli standardizzati al medesimo tempo.
    • Quando accade che sia il residuo standardizzato che quello «normale» siano contemporaneamente molto grandi, allora quella data contiene effettivamente uno shock molto grande
    • Se, invece, il problema si riscontra sui soli residui standardizzati, allora la stima della varianza è inadeguata per quel punto.
  • Osservazione diagrammi di dispersione (residui standardizzati vs. residui originari)
    • Uno scatter plot riguardante i residui originari e i residui standardizzati dovrebbe mostrare i punti formare una retta che passa per l’origine degli assi
  • Potrebbe essere il caso in cui la varianza condizionata è stata stimata con un modello simmetrico mentre i residui «suggeriscono» la stima di un modello asimmetrico
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