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Antonio D'Ambrosio » 7.Analisi della volatilità - Parte prima


In questa lezione

  • Analisi della volatilità;
  • Introduzione;
  • Misure di volatilità;
  • Considerazioni.

Volatilità

L’analisi della volatilità risponde alla esigenza di una valutazione dell’incertezza di rendimenti futuri.

Al concetto di volatilità vengono associate misure statistiche di variabilità (varianza).

Problema: la volatilità non è direttamente osservabile, ma gode di alcune caratteristiche comunemente osservate nelle serie dei rendimenti.

Volatilità (segue)

  • La variabilità dei rendimenti non è costante nel tempo;
  • Esistono fenomeni di volatility clustering (la volatilità può essere alta in alcuni periodi e bassa in altri);
  • C’è persistenza nella volatilità, ovvero alta volatilità tende ad essere seguita da alta volatilità; bassa volatilità tende ad essere seguita da bassa volatilità;
  • Raramente si osservano scatti di volatilità (si sviluppa lungo il tempo in maniera continua);
  • La volatilità non diverge all’infinito ma varia in un range fisso. Statisticamente parlando, questo significa che spesso la volatilità è stazionaria;
  • La volatilità sembra reagire differentemente a grandi o a lievi variazioni di prezzo.

Misure di volatilità

Varianza storica:

s_r^2 = \frac{1}{{T - 1}}\sum\limits_{t = 1}^T {\left( {r_t - \bar r} \right)^2 }

Spesso la varianza storica è approssimata da s_r^2 \approx \left( {T - 1} \right)^{ - 1} \sum\limits_{t = 1}^T {r_t^2 }, poiché la media dei rendimenti, se la serie ha alta frequenza , è pressoché nulla.

Misure di volatilità (segue)

Varianza mobile:

s_{r,t}^2 = \frac{1}{\tau }\sum\limits_{i = t - \tau + 1}^t {\left( {r_i - \bar r_t } \right)^2 },

\bar r_t = \frac{1}{\tau }\sum\limits_{i = t - \tau + 1}^t {r_i }

In cui \tau è l’ampiezza dell’intervallo su cui calcolare la varianza. Mantenendo costante tale intervallo, si procede aggiungendo un’osservazione (ed eliminando la meno recente) sino alla fine della serie (tempo T).

Viene attribuito lo stesso peso ad ogni osservazione. Una variante è la varianza mobile esponenziale.

Misure di volatilità (segue)

Rendimenti (in alto) e varianza mobile (in basso) del titolo Autogrill. τ=51.

Rendimenti (in alto) e varianza mobile (in basso) del titolo Autogrill. τ=51.


Misure di volatilità (segue)

Varianza Riskmetrics:

s_t^2 = \lambda s_{t - 1}^2 + \left( {1 - \lambda } \right)\left( {r_t - \bar r_t } \right)^2 {\rm }0 < \lambda < 1

Vi è forte analogia con l’exponential smoothing\lambda indica la costante di lisciamento. s_{t - 1}^2 è la stima della volatilità al tempo t-1.

Quanto più \lambda si avvicina ad uno, tanto più la volatilità risulta persistente poiché non viene dato alcun peso all’osservazione più recente.

Empiricamente si pone \lambda compreso tra 0,8 e 0,9. Volendo, si potrebbe stimare tale parametro esattamente come avviene per l’exponential smoothing.

Misure di volatilità (segue)

Aggregazione:

s_{01}^2 = \frac{1}{{n_{01} - 1}}\sum\limits_{i = 1}^{n_{01} } {\left( {r_i - \bar r_{01} } \right)^2 } ;{\rm }s_{02}^2 = \frac{1}{{n_{02} - 1}}\sum\limits_{i = 1}^{n_{02} } {\left( {r_i - \bar r_{02} } \right)^2 } ;...

in cui 01 indica il mese di gennaio, n_{01} indica i giorni di apertura nel mese di gennaio, 02 il mese di febbraio, e così via.

Una volta calcolata la varianza all’interno del mese, si attribuisce tale misura a tutte le osservazioni dello stesso mese.

Nella prossima lezione

  • Analisi della volatilità;
  • Considerazioni empiriche;
  • Introduzione ai modelli ARCH.
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