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Roberta Siciliano » 4.Proprietà asintotiche degli stimatori, leggi di convergenza e teorema del limite centrale


I contenuti

  • Il problema
  • Definizione di distribuzione limite e di distribuzione asintotica
  • Teorema centrale del limite
  • Teorema di De Moivre – Laplace
  • Leggi di convergenza
  • Proprietà asintotiche dello stimatore
  • Normalità asintotica per stimatori consistenti

Il problema

Ipotesi

Sia data una popolazione finita e su di essa sia definita una v.c. X continua o discreta la cui funzione di densità o distribuzione di probabilità dipenda completamente da un parametro “teta” (scalare) appartenente ad uno spazio parametrico prefissato.

Obiettivo

Stimare il valore di “teta” sulla base di un campione di n unità statistiche osservate.

Definire le proprietà auspicabili della stima ottenuta utilizzando grandi campioni, ovvero studiando il comportamento asintotico dello stimatore quando cresce la numerosità campionaria.

Popolazione teorica

Popolazione teorica

Parametro non noto da stimare

Parametro non noto da stimare


Definizioni

Distribuzione limite

Una distribuzione viene definita limite se è una funzione di probabilità che è il limite di una sequenza di funzioni di probabilità.

La definizione di distribuzione limite qualifica il concetto di convergenza in distribuzione.

Distribuzione asintotica

Una distribuzione viene definita asintotica se, in una sequenza di v.c. che compongono il campione, essa è approssimativamente uguale alla distribuzione di X per un n grande ma finito.

La definizione di distribuzione asintotica qualifica il concetto di convergenza in probabilità.

Convergenza in distribuzione o in legge

Convergenza in distribuzione o in legge

Convergenza in probabilità

Convergenza in probabilità


Leggi di convergenza (1)

Legge dei grandi numeri

La legge dei grandi numeri o legge empirica del caso (teorema di Bernoulli) concerne la media di una sequenza di n v.c., indipendenti ed identicamente distribuite (come le realizzazioni delle n v.c. del campione), quando la numerosità campionaria tende all’infinito.

Legge debole dei grandi numeri

La v.c. Media campionaria converge in probabilità alla media comune delle n v.c. che compongono il campione.

Convergenza in probabilità della Media campionaria

Convergenza in probabilità della Media campionaria

Convergenza in probabilità della Proporzione campionaria

Convergenza in probabilità della Proporzione campionaria


Leggi di convergenza (2)

Legge forte dei grandi numeri

La v.c. Media campionaria converge quasi certamente alla media comune delle n v.c. che compongono il campione.

Per ogni “epsilon” positivo e piccolo a piacere ed un “delta” positivo e piccolo a piacere , esiste un n0 intero e finito tale che, per m>0, la probabilità che la v.c. Media campionaria differisca dal parametro incognito è inferiore a “delta”, per n = n0, n0+1,…, n0+m.

Convergenza quasi certa della Media campionaria

Convergenza quasi certa della Media campionaria


Teorema “centrale” del limite

Ipotesi

Sia data la v.c. Media campionaria definita a partire dalle n v.c. che compongono il campione, v.c. indipendenti e identicamente distribuite secondo la funzione di probabilità (non nota) della popolazione, e con stessa varianza finita.

Tesi

La v.c. Media Campionaria converge in distribuzione a (ovvero ha come distribuzione limite) una distribuzione normale di media pari alla media della funzione di probabilità nella popolazione e varianza pari alla varianza della popolazione diviso per la numerosità campionaria.

Problema di stima della media di una popolazione non nota

Pur non conoscendo la funzione di probabilità della popolazione, lo stimatore Media campionaria si distribuisce come una normale per grandi campioni.

Popolazione non nota con media e varianza finita

Popolazione non nota con media e varianza finita

Teorema centrale del limite

Teorema centrale del limite


Teorema di De Moivre-Laplace

In generale

Pur non conoscendo la funzione di probabilità della popolazione (distribuzione o densità a seconda se la v.c. della popolazione è discreta o continua), al crescere della numerosità campionaria la v.c. Media campionaria si distribuisce come una v.c. nota, ovvero v.c. normale, e pertanto è nota la distribuzione campionaria delle stime possibili al variare del campione.

Problema di stima della media di una popolazione bernoulliana (equivale alla stima della probabilità di successo)

Lo stimatore Proporzione campionaria si approssima ad una normale per grandi campioni (Teorema di De Moivre-Laplace).

Il teorema di De Moivre – Laplace è un caso particolare del Teorema centrale del limite.

Popolazione bernoulliana

Popolazione bernoulliana

Teorema di De Moivre – Laplace

Teorema di De Moivre - Laplace


Le proprietà di uno stimatore per grandi campioni

  • Proprietà auspicabili di uno stimatore per grandi campioni
  • Correttezza asintotica
  • Consistenza (o coerenza)
  • Efficienza asintotica
  • Normalità asintotica per stimatori consistenti

Correttezza asintotica di uno stimatore

Lo stimatore è asintoticamente corretto se la media della sua distribuzione limite è uguale al parametro “teta”.

Esempi di stimatori asintoticamente corretti

Media campionaria

Proporzione campionaria

Varianza campionaria (non corretta per piccoli campioni)

Correttezza asintotica

Correttezza asintotica

Correttezza asintotica della varianza campionaria

Correttezza asintotica della varianza campionaria


Consistenza o coerenza di uno stimatore

Lo stimatore è consistente (o coerente) di “teta” (parametro incognito da stimare) se converge in probabilità a “teta”.

Convergenza in probabilità

La proprietà della consistenza o coerenza equivale alla convergenza in probabilità.

Consistenza o coerenza di uno stimatore

Consistenza o coerenza di uno stimatore


Esempi di stimatori “coerenti”

Esempi di stimatori consistenti

  • Media campionaria
  • Proporzione campionaria
  • Varianza campionaria
Consistenza della Media campionaria

Consistenza della Media campionaria

Consistenza della Proporzione campionaria

Consistenza della Proporzione campionaria


Efficienza asintotica di uno stimatore

Uno stimatore (che ammette finiti i primi due momenti, ovvero con media e varianza finita) è asintoticamente efficiente di “teta” (parametro incognito) se è consistente e se inoltre il suo Errore Quadratico Medio tende a zero al crescere della numerosità campionaria.

Convergenza in media quadratica

La proprietà dell’efficienza asintotica equivale alla convergenza in media quadratica o in errore quadratico medio.

Esempi di stimatori asintoticamente efficienti

Media campionaria, Proporzione campionaria, Varianza campionaria
Proprietà (legame tra leggi di convergenza)

Convergenza in EQM -> Convergenza in probabilità -> Convergenza in distribuzione

Convergenza in media quadratica

Convergenza in media quadratica


Normalità asintotica per stimatori consistenti

Consistenza e normalità asintotica

Uno stimatore è consistente e asintoticamente normale per “teta” (parametro incognito) se la distribuzione asintotica dello stimatore è normale.

Esempi di stimatori consistenti e asintoticamente normali

Media campionaria

Proporzione campionaria

Varianza campionaria

Normalità asintotica di uno stimatore

Normalità asintotica di uno stimatore


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