Ipotesi
Sia data una popolazione finita e su di essa sia definita una v.c. X continua o discreta la cui funzione di densità o distribuzione di probabilità dipenda completamente da un parametro “teta” (scalare) appartenente ad uno spazio parametrico prefissato.
Obiettivo
Stimare il valore di “teta” sulla base di un campione di n unità statistiche osservate.
Definire le proprietà auspicabili della stima ottenuta utilizzando grandi campioni, ovvero studiando il comportamento asintotico dello stimatore quando cresce la numerosità campionaria.
Distribuzione limite
Una distribuzione viene definita limite se è una funzione di probabilità che è il limite di una sequenza di funzioni di probabilità.
La definizione di distribuzione limite qualifica il concetto di convergenza in distribuzione.
Distribuzione asintotica
Una distribuzione viene definita asintotica se, in una sequenza di v.c. che compongono il campione, essa è approssimativamente uguale alla distribuzione di X per un n grande ma finito.
La definizione di distribuzione asintotica qualifica il concetto di convergenza in probabilità.
Legge dei grandi numeri
La legge dei grandi numeri o legge empirica del caso (teorema di Bernoulli) concerne la media di una sequenza di n v.c., indipendenti ed identicamente distribuite (come le realizzazioni delle n v.c. del campione), quando la numerosità campionaria tende all’infinito.
Legge debole dei grandi numeri
La v.c. Media campionaria converge in probabilità alla media comune delle n v.c. che compongono il campione.
Legge forte dei grandi numeri
La v.c. Media campionaria converge quasi certamente alla media comune delle n v.c. che compongono il campione.
Per ogni “epsilon” positivo e piccolo a piacere ed un “delta” positivo e piccolo a piacere , esiste un n0 intero e finito tale che, per m>0, la probabilità che la v.c. Media campionaria differisca dal parametro incognito è inferiore a “delta”, per n = n0, n0+1,…, n0+m.
Ipotesi
Sia data la v.c. Media campionaria definita a partire dalle n v.c. che compongono il campione, v.c. indipendenti e identicamente distribuite secondo la funzione di probabilità (non nota) della popolazione, e con stessa varianza finita.
Tesi
La v.c. Media Campionaria converge in distribuzione a (ovvero ha come distribuzione limite) una distribuzione normale di media pari alla media della funzione di probabilità nella popolazione e varianza pari alla varianza della popolazione diviso per la numerosità campionaria.
Problema di stima della media di una popolazione non nota
Pur non conoscendo la funzione di probabilità della popolazione, lo stimatore Media campionaria si distribuisce come una normale per grandi campioni.
In generale
Pur non conoscendo la funzione di probabilità della popolazione (distribuzione o densità a seconda se la v.c. della popolazione è discreta o continua), al crescere della numerosità campionaria la v.c. Media campionaria si distribuisce come una v.c. nota, ovvero v.c. normale, e pertanto è nota la distribuzione campionaria delle stime possibili al variare del campione.
Problema di stima della media di una popolazione bernoulliana (equivale alla stima della probabilità di successo)
Lo stimatore Proporzione campionaria si approssima ad una normale per grandi campioni (Teorema di De Moivre-Laplace).
Il teorema di De Moivre – Laplace è un caso particolare del Teorema centrale del limite.
Lo stimatore è asintoticamente corretto se la media della sua distribuzione limite è uguale al parametro “teta”.
Esempi di stimatori asintoticamente corretti
Media campionaria
Proporzione campionaria
Varianza campionaria (non corretta per piccoli campioni)
Lo stimatore è consistente (o coerente) di “teta” (parametro incognito da stimare) se converge in probabilità a “teta”.
Convergenza in probabilità
La proprietà della consistenza o coerenza equivale alla convergenza in probabilità.
Esempi di stimatori consistenti
Uno stimatore (che ammette finiti i primi due momenti, ovvero con media e varianza finita) è asintoticamente efficiente di “teta” (parametro incognito) se è consistente e se inoltre il suo Errore Quadratico Medio tende a zero al crescere della numerosità campionaria.
Convergenza in media quadratica
La proprietà dell’efficienza asintotica equivale alla convergenza in media quadratica o in errore quadratico medio.
Esempi di stimatori asintoticamente efficienti
Media campionaria, Proporzione campionaria, Varianza campionaria
Proprietà (legame tra leggi di convergenza)
Convergenza in EQM -> Convergenza in probabilità -> Convergenza in distribuzione
Consistenza e normalità asintotica
Uno stimatore è consistente e asintoticamente normale per “teta” (parametro incognito) se la distribuzione asintotica dello stimatore è normale.
Esempi di stimatori consistenti e asintoticamente normali
Media campionaria
Proporzione campionaria
Varianza campionaria
2. Campionamento statistico e statistiche campionarie di uso più frequente
3. Stimatore e proprietà per piccoli campioni
4. Proprietà asintotiche degli stimatori, leggi di convergenza e teorema del limite centrale
6. Teoria della stima intervallare
7. Teoria della verifica delle ipotesi: la costruzione del test parametrico