Roberta Siciliano » 13.Analisi delle Componenti Principali

L’obiettivo dell’ACP

L’ACP è un metodo fattoriale per la sintesi di “p” variabili quantitative, tra loro correlate, attraverso l’identificazione di h<p variabili latenti (non osservate), dette componenti principali, che godono delle seguenti proprietà:

• sono tra loro non correlate (ortogonali) e legate linearmente alle variabili di partenza
• sono determinate in ordine decrescente rispetto alla percentuale di variabilità spiegata

Qualora non si possibile rappresentare totalmente la variabilità originaria con meno di p variabili, l’ACP si limita a rappresentare la maggior parte di questa variabilità con un minor numero di variabili.

La matrice dei dati X è formata da n unità statistiche e p variabili quantitative correlate tra loro.

I vettori di riga di X sono punti-unità nello spazio R^p generato dalle variabili.

I vettori colonna di X sono punti-variabile nello spazio Rⁿ generato dalle unità.

L’interpretazione geometrica

Sintesi di p=2 variabili attraverso h=1 asse fattoriale

Supponendo di rappresentare sul piano cartesiano i punti-unità le cui coordinate sono i valori standardizzati delle due variabili.
Con l’ACP si identifica l’asse fattoriale nella direzione di massima variabilità della nube dei punti-unità, in modo da deformare il meno possibile la distanza reciproca tra punti: si minimizza la somma delle distanze dei punti dall’asse (AB), che equivale a massimizzare la somma delle proiezioni dei punti sull’asse (OA) [Teorema di Pitagora].

La derivazione analitica

Il vettore c₁ delle proiezioni degli n punti-unità sul primo asse fattoriale u₁ (di norma unitaria) è dato da:
c₁=Xu₁ (prima componente principale)

La funzione obiettivo da massimizzare è:

L₁=(Xu₁)²=u^‘₁X^‘Xu₁

sotto il vincolo che la somma dei quadrati dei coefficienti è pari ad uno (figura a lato).

La derivazione analitica (segue)

Il secondo asse fattoriale u₂ è un asse ortogonale al primo (u₁) e di norma unitaria che massimizza la variabilità dei punti proiettati:

c₂=Xu₂ (seconda componente principale)

La funzione obiettivo è:

L₂=u^‘₂X’Xu₂-λ(u’₂u₂-1)=max

sotto i vincoli (figura a lato).

Importanza degli autovalori

L’α-mo autovalore è pari alla somma dei quadrati delle proiezioni sull’asse u_α, e rappresenta quindi una misura della variabilità su quell’asse.

λ_α= u_αXU_α = (XU_α)²

La variabilità spiegata

Vale la relazione in figura.
Lo spazio p-dimensionale definito dagli assi fattoriali ricostruisce esattamente la variabilità della nube dei punti nello spazio originario R^p.
Il singolo autovalore λ_α rappresenta la varianza spiegata dalla α-ma componente principale.

Pertanto, sommando i primi h autovalori e rapportando tale somma alla variabilità totale è possibile esprimere percentualmente la quota di variabilità spiegata dai primi h assi fattoriali.

Distanza tra due punti-variabile

Analogamente, è possibile derivare gli assi fattoriali per rappresentare i punti-variabile nello spazio generato dalle unità.
Si dimostra che studiare le distanze o prossimità tra punti equivale a studiarne la correlazione e che i punti-variabile sono racchiusi nel cerchio delle correlazioni.

ACP della matrice delle variabili standardizzate

Quando le variabili di partenza non sono espresse nella stessa unità di misura si ricorre alla loro standardizzazione.

Ausili all’interpretazione dei fattori

Contributo assoluto: esprime il contributo di ciascun elemento (punto-unità o punto-variabile) alla spiegazione del fattore, ossia il peso di ciascun elemento nell’ammontare dell’inerzia riprodotta dal fattore, nel ricostruire cioè la variabilità di un certo asse fattoriale espressa dall’autovalore.
Per l’i-mo punto unità e l’α mo fattore avremo la relazione in figura.

Contributo relativo: esprime il contributo del fattore alla spiegazione di ciascun elemento (punto-unità o punto-variabile), ossia quanto il fattore riesce a rappresentare un elemento.
Per l’i-mo punto unità e l’α –mo fattore avremo la relazione (seconda figura) il cui rapporto è pari al quadrato del coseno dell’angolo formato da elemento e fattore ed esprime una misura della qualità della rappresentazione.

Caso studio: indicatori della performance aziendale

Le variabili:

• ECON.PRO -> economic profit , differenziale tra rendimento del capitale investito ed il suo costo
• CASH -> cash flow sul fatturato in %
• LAVOR.VA -> costo del lavoro sul valore aggiunto, in%
• ROE -> return on equity, utile netto sul patrimonio, in%
• INDE.CAP -> indebitamento sul capitale proprio
• FATTURATO

La matrice delle correlazioni

L’osservazione della matrice di correlazione è una fase importante: se tutte le variabili fossero non correlate tra di loro non avrebbe senso procedere con un metodo fattoriale, infatti si avrebbero tante componenti quante variabili osservate.
Dalla tabella si evince come il ROE sia fortemente correlato positivamente col Cash Flow e la variabile economic profit.

Il calcolo della variabilità spiegata

Occorre stabilire un criterio per la scelta delle componenti da trattenere nel modello.
Criteri di scelta delle componenti:

• Variabilità spiegata (le prime h componenti che spiegano almeno il 75% della variabilità)
• Autovalore (le prime h componenti il cui autovalore è non inferiore a 1)

Nel caso in esame entrambi i criteri portano alla scelta delle prime due componenti con una percentuale di variabilità spiegata pari al 74,90%.

Le coordinate dei punti-variabile

Procedendo all’analisi dei punti-variabile è possibile individuare il ruolo giocato da ciascuna variabile nella costruzione degli assi ortogonali.

Naturalmente siamo interessati soltanto ai primi 2 assi.

Ricordando la matrice di correlazione notiamo come, nella costruzione del primo asse, sono state la variabili maggiormente correlate a giocare un ruolo preminente.

Interpretazione del cerchio delle correlazioni

Le variabili correlate con il primo asse suggeriscono di interpretare lo stesso come una sintesi di redditività: a destra vi è una redditività alta, a sinistra una redditività bassa.
Il secondo asse discrimina sull’indebitamento: in alto si posizioneranno le aziende ad alto tasso di indebitamento, in basso quelle che sono meno indebitate.