Roberta Siciliano » 5.L'uso delle variabili dicotomiche nella regressione

Obiettivi e contenuti

Obiettivi

Comprendere la specificazione di modelli lineari che impiegano variabili qualitative come predittori.

Specificazione della regressione con variabili binarie o dicotomiche (variabili dummy).

Acquisire la competenza per l’elaborazione dei dati considerando le relative condizioni di applicazione e l’interpretazione dei risultati.

Contenuti

• La specificazione del modello
• Le ipotesi
• La stima e il test
• La bontà di adattamento
• Esempi

Variabile dummy quale predittore

La variabile dipendente Y può essere spiegata da variabili qualitative.
Un metodo per “quantificare” ciascuna modalità (attributo o categoria) di un predittore qualitativo è ottenuto attraverso la creazione di una variabile binaria 0-1 (detta variabile dummy) che indica la presenza o l’assenza dell’attributo in ciascuna unità statistica.

la variabile dummy può assumere valori

= 0 se l’attributo è assente

= 1 se l’attributo è presente

La variabile dummy nella regressione

In generale, si supponga di voler inserire nel modello di regressione quale predittore una variabile binaria D_i così definita:

D_i = 1 se per l’unità i-esima l’attributo è presente
D_i = 0 se per l’unità i-esima l’attributo è assente

Il modello di regressione sarà così formalizzato:

Y_i = α + β  D_i + u_i

Dove l’effetto della variabile dummy è quello di modificare il valore medio della risposta Y_i ovvero l’intercetta è pari ad α (se l’evento E è assente) o ad α + β (se l’evento E è presente).

Esempio di introduzione di una variabile dummy

Ad esempio, supponiamo il modello

Y_i = α_i + α₂ D_i + u_i

dove

Y_i indica il risparmio delle famiglie

D_i = 0 se la famiglia non risiede nel Nord Italia

D_i = 1 se la famiglia risiede nel Nord Italia

L’obiettivo è identificare attraverso il modello di regressione se l’area di residenza influisca sui livelli medi di risparmio delle famiglie.

Il ruolo della variabile dummy

Poiché avviene quanto descritto:

E (Y/D_i = 0) = α₁con α₁ che indica il risparmio medio delle famiglie

E (Y/D_i = 0) = α₁ + α₂con α₂ che indica di quanto il risparmio medio di una famiglia del Nord differisce da quello di una famiglia non residente al Nord

Un test statistico con ipotesi nulla H₀ : α₂ =0 permette di verificare sulla base di un test t, se la stima di α₂ è statisticamente significativa, ovvero il parametro nella popolazione è diverso da zero.

Esempio: analisi del reddito da lavoro

Si vuole investigare se vi sono differenze nel reddito da lavoro (anno 2000) dovute alla appartenenza ad una regione settentrionale o meridionale (fonte dei dati: ISTAT).

Si costruisce una variabile dummy che vale 1 se la regione è codificata come appartenente al centro-nord, mentre vale 0 in caso contrario.

Stimiamo un modello contenente solo la costante e la variabile dummy.

Esempio: Specificare il modello in Gretl

Esempio: interpretazione dei parametri

Inseriamo un predittore quantitativo nell'esempio considerato in precedenza. Nel caso specifico, inseriamo il PIL regionale.

Modello di regressione con predittori misti

Y_i = α₁ + α₂ D_i+ βX_i + u_i

dove

Y_i indica il risparmio della famiglia,

D_i = 1 se la famiglia è residente al Nord

D_i = 0 se la famiglia non è residente al Nord

X_i indica il reddito della famiglia

Inseriamo una variabile esplicativa X di natura quantitativa nel modello precedente; si tratta di verificare l’esistenza di situazioni differenziate nella relazione lineare tra X e Y, caratterizzate dalla presenza o dalla assenza di un certo attributo associato alla variabile binaria.

Interpretazione dei parametri nella regressione con predittori misti

Assumendo che il E(u_i) = 0 si deduce che il risparmio medio di una famiglia sarà definito come

E (Y_i/X_i, D_i = 0) = α₁ + βX_i per non residenti a Nord

E (Y_i/X_i, D_i = 0) = α₁ + α₂ +βX_i per residenti a Nord

Il modello specifica che il risparmio medio di una famiglia residente a Nord o non a Nord ha uguale coefficiente angolare beta ma diversa intercetta alfa. La residenza a Nord o meno influenza il valore medio della variabile di risposta al netto dell’influenza di altre variabili.

Esempio: variabile dummy e predittore quantitativo

Esempio: interpretazione grafica dei parametri

Effetto moltiplicativo delle variabili dummy

Se si assume che gli effetti derivanti dal valore assunto dalla variabile dummy abbiano conseguenze sul coefficiente angolare, la variabile indicatrice va utilizzata in modo diverso, precisamente in modo moltiplicativo.

Y _i = α₁ + α₂ D_i + β₁ X₁ + β₂ X_i D_i + u_i

Se Y indica il consumo, X indica il reddito e D indica un anno di guerra, l’indicazione di un anno di guerra indica come in media cambiano i consumi (intercetta) e la propensione al consumo (coefficiente angolare).

Y _i = α₁ + α₁ D_i + β₁ X₁ + u_i con D_i = 0

Y _i = (α₁ + α₂) D_i +( β₁ + β₂) X_i + u_i con  D_i = 1

Esempio: interpretazione grafica dell’effetto moltiplicativo

La trappola delle variabili dummy: modalità di azione

Per ovviare a tale problema si può:
Inserire J-1 variabili dummy (se J sono le modalità della variabile qualitativa).

Esempio. Si vuole investigare il reddito di una serie di individui. Tra i predittori c’è la variabile “Massimo titolo di studio” avente le seguenti modalità:
1. nessun titolo
2. licenza elementare
3. licenza media inferiore
4. licenza media superiore
5. laurea

Si generano le seguenti (5-1) variabili dummy:

De -> 1 se l’i-mo individuo possiede la licenzza elementare, 0 altrimenti
Din -> 1 se l’i-mo individuo possiede la licenza media inferiore, 0 altrimenti
Ds -> 1 se l’i-mo individuo possiede la licenza media superiore, 0 altrimenti
Dl -> 1 se l’i-mo individuo possiede la laurea, 0 altrimenti

Il modello è il seguente:

Y_i = α + β₁ De_i + β₂ Din_i + β₃ Ds _i + β₄ Dl_i+ u_i

Se tutte le dummy valgono zero, l’intercetta indica il reddito di chi non possiede alcun titolo di studio.

La trappola delle variabili dummy: modello senza intercetta

Si possono inserire tutte le variabili dummy e stimare il modello SENZA INTERCETTA

Si generano le seguenti 5 variabili dummy:

Dn -> 1 se l’i-mo individuo non possiede titolo di studio, 0 altrimenti
De -> 1 se l’i-mo individuo possiede la licenza elementare, 0 altrimenti
Din -> 1 se l’i-mo individuo possiede la licenza media inferiore, 0 altrimenti
Ds -> 1 se l’i-mo individuo possiede la licenza media superiore, 0 altrimenti
Dl -> 1 se l’i-mo individuo possiede la laurea, 0 altrimenti

Il modello è il seguente:

Y_i =  β₀ Dn_i + β₁ De_i + β₂Din_i + β₃ Ds_i + β₄ Dl_i+ u_i

Utilizzo di più variabili dummy: modello senza intercetta

Differenza tra il modello con e senza intercetta

Confronto tra gli output dei due modelli precedenti.