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Antonio Cavaliere » 17.Atomizzazione di combustibili liquidi - parte seconda


Oscillazioni ondose e frammentazione

Il meccanismo di rottura di una goccia, o di un getto o di una lamina liquida, è legato all’instaurarsi di perturbazioni oscillatorie (onde superficiali) all’interfaccia liquido-gas che, in opportune condizioni, dipendenti dalle proprietà del liquido e dalla geometria dell’interfaccia, possono essere amplificate fino a portare al distacco di legamenti, gocce o lamine liquide che permettono la rimozione di liquido dall’interfaccia.

Una perturbazione ondosa ad un’interfaccia liquido-gas viene sostenuta dalla energia cinetica dovuta alla differenza di velocità tra le fasi all’interfaccia. Le forze capillari e le forze gravitazionali agiscono come forze di reazione vincolare mentre la viscosità del liquido può dare luogo a fenomeni dissipativi che smorzano le onde.


Oscillazioni ondose

Un approccio semplificato al problema della frammentazione dei liquidi basato su una analisi dei bilanci delle principali forze coinvolte può consentire di ricavare utili indicazioni sugli andamenti generali e le lunghezze caratteristiche nonché sulla dipendenza dalle proprietà del liquido.

Le forze per unità di volume agenti all’interfaccia liquido-gas, in assenza di forze esterne, sono:

forze di inerzia: F_1=\varpropto \frac {\rho_1V^2}{L}

forze capillari: F_C=\frac {\sigma}{L^2}

forze di gallegiamento: F_G= \Delta \rho \ g

forze viscose: F_v  \varpropto \frac {\muV}{L^2}

In tali espressioni, L rappresenta la dimensione caratteristica della struttura liquida considerata e V la velocità con cui si muove l’oscillazione ondosa.

Lunghezza capillare

E di interesse verificare in quale condizione le due forze resistenti (capillare e gravitazionale) prevalgono.
Il numero adimensionale che rende conto del bilancio delle forze di buoyancy e di quelle capillari è il numero di Eötvös (o di Bond)

Eo=\frac {\delta \rho gL^2}{\sigma}

Per Eo significativamente maggiore di 1 si ha una prelavenza delle forze di galleggiamento rispetto a quelle capillari. Viceversa per Eo molto inferiore all’unità si ha la prevalenza delle forze capillari.

Lunghezza capillare

Un risultato corrispondente si ricava anche imponendo l’uguaglianza tra le forze capillari e le forze di galleggiamento:

F_C=\frac{\sigma}{L^2}

F_G=\delta \rho \ g

da cui si ricava la lunghezza caratteristica:

L_C=\sqrt{\frac{\sigma}{\Delta \rho \ g}}

Lunghezza capillare

LC (detta lunghezza capillare) è dell’ordine del centimetro per un tipico combustibile liquido a temperatura e pressione standard.

Le perturbazioni ondose di interfacce liquido-gas interesssanti in fenomeni pratici di atomizzazione sono mirati alla realizzazione di dispersioni di gocce con dimensioni caratteristiche ben inferiori al mm.

Per tale motivo possiamo affermare che le oscillazioni ondose coinvolte in un processo di frammentazione liquida di interesse sono controllate dagli effetti della tensione superficiale.

Velocità di fase

Ai fini della comprensione dei comportamenti dinamici delle ocillazioni di una superficie è rilevante introdurre il concetto di velocità di fase per una perturbazione ondosa ad un’interfaccia liquido-gas. La velocità di fase è essenzialmente la velocità con cui si sposta sull’onda un punto a fase costante.

Per un’onda capillare (cioè per lunghezze d’onda, λ, significativamente minori di λc) la velocità di fase vale:

v_{fase}=\sqrt{\frac{2\pi \sigma}{\lambda \ \Delta \rho}}

E’ utile notare che la velocità cresce al decrescere della lunghezza d’onda. In altre parole onde più corte si muovono più velocemente di onde più lunghe e le sopravanzano.


Effetto della viscosità

Un effetto limitante alla prevalenza di onde con piccola lunghezza d’onda è connesso con l’effetto delle forze viscose.
Infatti poichè le forze viscose e quelle dovute alla tensione superficiale sono proporzionali, rispettivamente a:

F_C \varpropto \frac {\sigma}{L^2}

F_v \varpropto \frac {\muVa}{L^2}

ne segue che una oscillazione capillare non è smorzata dalla viscosità se la sua lunghezza d’onda è sufficientemente maggiore di una lunghezza d’onda di dissipazione capillare data da:

\lambda_{DC}=\frac{2\pi \mu^2}{\sigma \Delta \rho}

Per lunghezze d’onda paragonabili e/o inferiori a questa la viscosità smorza in maniera progressivamente più efficace le oscillazioni.

Lunghezza di dissipazione capillare

Infatti, le forze viscose saranno trascurabili se:

F_V \\\ F_C \Rightarrow\frac {\mu V}{L^2} \  \ \frac {\sigma}{L^2}\Rightarrow \mu^2 \frac {2 \pi \sigma}{\lambda \Delta \rho} \ \ \sigma^2 \Rightarrow \lambda \ \ \lambda_{DC} = \frac{2 \pi \mu^2}{\sigma \Delta \rho}V

λDC è detta lunghezza d’onda di dissipazione delle onde capillari.

Numero di Ohnesorge

In questo senso l’effetto di una viscosità crescente è la progressiva scomparsa delle gocce più piccole a causa della sostanziale impossibilità di deformare la superficie con raggi di curvatura locali sufficientemente piccoli da permettere la formazione di gocce o filamenti liquidi di dimensioni piccole.

Il numero adimensionale che si può usare per dare una valutazione rapida della rilevanza degli effetti viscosi è il numero di Ohnesorge:

Oh=\frac{\mu}{\sqrt {\Delta \rho \ \sigma L}}

E’ possibile notare come il numero Oh sia in realtà la radice del rapporto tra la lunghezza di dissipazione capillare e la dimensione L (caratteristica della struttura liquida primaria).

Nella pratica si osserva che per valori di Oh maggiori di 0,1 la frammentazione è sempre più difficoltosa e per valori maggiori dell’unità è praticamente impossibile ottenere una ragionevole grado di frammentazione di una struttura liquida.

Forze aerodinamiche

Per velocità relative tra liquido e gas molto piccole (~1 m/s) è possibile considerare solo forze interne al liquido. Ciò consente di studiare i meccanismi di rottura dell’interfaccia in maniera semplificata.

A velocità maggiori di 1 m/s diventano importanti le forze aerodinamiche che si esercitano sull’interfaccia e che, al crescere della velocità, diventano le forze dominanti dei processi di frammentazione.


Il numero di Weber

Le pressioni aerodinamiche sono proporzionali alla pressione dinamica del gas:

\frac 12 \rho_g v^2

L’importanza relativa delle forze aerodinamiche rispetto a quelle capillari è data dal valore del numero di Weber, definito come:

We_g=\frac {\rho_g v^2}{\sigma / D}=\frac {\rho_g v^2 D}{\sigma}

Il numero di Weber è un indice della possibilità di frammentare un liquido molto usato nella pratica tecnica.

Weber critico

E’ possibile fare una stima del valore critico del numero di Weber oltre il quale la rottura di una goccia diventa possibile.

Se consideriamo la condizione di equilibrio tra le forze aerodinamiche e le forze capillari:

C_d \frac {\pi D^2}{4} \frac {\rho_g v^2}{2}=\pi D \sigma

\Downarrow

We_g^c= \frac{\rho_g v^2 D}{\sigma}=\frac {8}{C_d}

Tale relazione è valida allorquando sia possibile scrivere il bilancio tra le forze nella forma precedente.
E’ stato sperimentalmente verificato come un criterio basato sulla valutazione del numero di weber critico sia applicabile in generale.
Il valore critico è funzione delle caratteristiche del flusso gassoso e delle proprietà dei mezzi.
Per velocità nell’ordine delle decine di metri al secondo e mezzi poco viscosi il valore di We critico è circa 10÷14.

Considerazioni riassuntive

Dalle considerazioni fatte finora appare chiaro come le principali caratteristiche del mezzo che ne influenzano la sua frammentazione sono in ordine decrescente di importanza:

  • tensione superficiale
  • viscosità
  • densità

Le prime due decrescono significativamente al crescere della temperatura.
Per tale motivo nella pratica industriale è comune l’uso di sistemi di preriscaldamento di combustibili in particolare quando essi abbiano viscosità tali da ostacolare significativamente la frammentazione (Oh maggiori di 1).

Per quanto riguarda la densità la sua influenza è tipicamente meno rilevante delle altre proprietà nel determinare l’andamento del processo.

Considerazioni riassuntive

L’effetto della pressione ambiente sul processo di frammentazione può essere compreso considerando che il numero di Weber dipende linearmente dal valore della densità del gas.

Per tale motivo è lecito attendersi un effetto benefico della pressione sul processo di frammentazione che però può essere reso meno rilevante da un concomitante incremento della temperatura.

A pressioni e temperature che si avvicinano a quelle critiche per il liquido da atomizzare la fenomenologia può differire anche molto da quanto succede in condizioni standard.

In generale in tali condizioni gli effetti idrodinamici diventano molto più efficienti in ragione della rapida de-crescita della tensione superficiale e della bassa viscosità, nel deformare l’interfaccia liquido-gas dando luogo a processi di frammentazione superficiali molto rapidi.

E’ bene tenere, però, presente che in tali condizioni i processi di evaporazione non sono necessariamente favoriti ed il vantaggio finale per i processi di combustione può non essere così marcato (tenendo presente che anche i tempi cinetici sono più brevi).

Breakup secondario

Il fenomeno della frammentazione secondaria di gocce liquide viene molto spesso indicato come il processo chiave in molti processi di frammentazione.

Esso rappresenta il punto centrale di un modello a cascata della frammentazione nel quale le rotture delle gocce, che avvengono attraverso pochi meccanismi elementari, si susseguono fino ad arrivare a dimensioni finali dei frammenti liquidi caratterizzate da un We inferiore ad un determinato valore critico.


Weber critico

Il valore critico del numero di Weber è intorno a 12 nel caso di viscosità bassa o trascurabile.

Per valori di viscosità maggiori tale valore va corretto da una correlazione del tipo:

We^c=12(1+1.077+Oh^{1.6})


Meccanismi di frammentazione di gocce

E’ molto popolare, nella formulazione dimodelli numerici dell’atomizzazione, una classificazione dei fenomeni di frammentazione delle gocce in funzione del numero di We, elaborata da Pilch e Erdman.

In tale schema si individuano:

  • rotture a sacchetto
  • rotture ad ombrello
  • rottura per strappamento
  • rotture catastrofiche

Tale classificazione non va accettata in maniera acritica in quanto la successione dei regimi (ed anche la reale possibilità del loro manifestarsi) è fortemente dipendente dalle proprietà del liquido e, in particolare, dalla viscosità.


La rilevanza dell’atomizzazione primaria

Un ulteriore cura da porre nella elaborazione di modelli numerici dell’atomizzazione riguarda la scelta di un accurato sotto-modello del processo di atomizzazione primaria.

Difatti, nella pratica è comune assegnare al sottomodello di atomizzazione secondaria la responsabilità di ricostruire una distribuzione finale della funzione di distribuzione delle dimensioni e delle velocità delle gocce accurata.

E’ necessario tenere, però, presente differenti processi attivi nel processo di preparazione della miscela ingibile a partire dal sistema di iniezione possono avere dipendenze funzionali dalle dimensioni delle gocce anche significtivamente differenti.

Ad esempio, le forze aerodinamiche che agiscono su una particella liquida dipendono dal quadrato delle dimensioni delle gocce mentre la massa delle gocce dipende dal cubo della dimensione.

Per questa ragione la interazione tra dinamica delle gocce e loro velocità di vaporizzazione cambia in dipendenza dalle dimensioni delle gocce.

Una errata valutazione delle dimensioni delle gocce formate nel processo di atomizzazione primaria (ad esempio la rottura di un getto o una lamina liquida) può produrre risultati finali incorretti se i processi di trasporto di massa e quelli di trasporto di calore evolvono su scale spaziali e temporali comparabili.

Coalescenza

Un ultima notazione va fatta riguardo i fenomeni di coalescenza di gocce.

Perchè si abbia un fenomeno di coalescenza è necessario che si abbia un impatto fisico tra due gocce con opportune velocità relativa, diametro relativo e angolo di impatto.

Nella pratica la collisione è sicuramente un fenomeno che è favorito nelle regioni molto dense di uno spray e che, per questo motivo, la disponibilità di dati sperimentali è alquanto incerta.

In definitiva nella maggior parte dei sitemi pratici di combustione di liquidi il fenomeno di coalescenza viene trascurato o tenuto in conto con fattori correttivi empirici.

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