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Antonio Cavaliere » 12.Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti - parte prima

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Nelle fiamme a diffusione il combustibile e l’ossidante sono separati e si miscelano immediatamente prima o durante la reazione di ossidazione.
C’è differenza tra le fiamme in cui le due correnti si miscelano parzialmente prima di reagire e quelle in cui si miscelano mentre reagiscono.
Solo le seconde sono vere e proprie “fiamme a diffusione” anche se tale dizione viene generalmente usata anche per le prime quando solo una frazione minoritaria di combustibile si miscela prima della fase ossidativa.

Fiamme generate da flussi coassiali di combustibile ed ossidante.

Fiamme con sorgente di combustibile puntuale in ambiente ossidante.

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

La miscelazione é un indice di quanto il processo di combustione é andato o “potrebbe essere andato” avanti.
La grandezza generalmente utilizzata per descrivere il campo diffusivo é la “frazione di miscelamento“, Z o ξ , definita come:

$Z=\xi=\frac{\beta-\beta_{2}}{\beta-\beta_{1}}$

dove β é una qualsiasi variabile “conservativa” ed i pedici 1 e 2 si riferiscono rispettivamente al valore di β nel getto che trasporta prevalentemente il combustibile e l’ossidante.

Fiamme a getti contrapposti.

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Esempi di variabili “conservative” sono la frazione di massa di una o più specie atomiche e l’entalpia totale.
Variabili del primo tipo sono le frazioni di massa Y(C,H) e Y(O) così definite:

$Y_{(C,H)}=\Sigma a_{C,i}\frac{m_{C}}{m_{i}}Y_{i}+\Sigma a_{H,i}\frac{m_{H}}{m_{i}}Y_{i}$

$Y_{(O)}=\Sigma a_{O,i}\frac{m_{O}}{m_{i}}Y_{i}$

Y_(C,H) é in pratica la frazione di massa del combustibile “reagito e non”, per cui potrebbe essere scritto come Y_comb .

Le frazioni di miscelamento per Y_(C,H)ed Y_(o) divengono:

$Z_{O}=\xi_{O}=\frac{Y_{(O)}-Y_{(O)_{2}}}{Y_{(O)_{1}}-Y_{(O)_{2}}}=1-\frac{Y_{(O)}}{Y_{(O)_{2}}}\rightarrow$ valida se $Y_{(C,H)_{2}}=0$

$Z_{O}=\xi_{O}=\frac{Y_{(O)}-Y_{(O)_{2}}}{Y_{(O)_{1}}-Y_{(O)_{2}}}=1-\frac{Y_{(O)}}{Y_{(O)_{2}}}\rightarrow$ valida se $Y_{(O)_{1}}=0$

Z_f e Z_O sono uguali sotto l’ipotesi di equidiffuzione.

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Nel caso in cui nel getto identificato col pedice 1 vi sia anche un diluente, esso avrà frazione di massa pari a

$1-Y_{(C,H)_{1}}=Y_{(C,H)_{1}}\frac{1-Y_{(C,H)_{1}}}{Y_{(C,H)_{1}}}$

Cioè la frazione di massa del diluente nel getto 1 è una frazione $\eta=(1-Y{}_{(C,H)_{2}}/Y{}_{(C,H)_{1}})$ di quella del combustibile.

Analogamente,sotto l’ipotesi di equidiffusione, in un punto qualsiasi del campo alla frazione di massa del combustibile Y_(C,H) sarà associata una frazione di massa di diluente: Y_(C,H) η .
Lo stesso ragionamento può essere applicato alla frazione di massa dell’ossidante Y_(O) a cui sarà associata una frazione di diluente:

$Y_{(O)}\frac{1-Y_{(O)_{2}}}{Y_{(O)_{2}}}$

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Considerando che la somma di tutte le frazioni di massa deve essere uguale ad uno, in un punto qualsiasi del campo si avrà:

$Y_{(C,H)}+Y_{(C,H)}\frac{1-Y_{(C,H)_{1}}}{Y_{(C,H)_{1}}}+Y_{(O)}+Y_{(O)}\frac{1-Y{}_{(O)_{2}}}{Y_{(O)_{2}}}=1$

mettendo in evidenza Y_(C,H) e Y_(O) si ottiene ancora:

$Y_{(C,H)}+Y_{(C,H)}\frac{1-Y_{(C,H)_{1}}}{Y_{(C,H)_{1}}}+Y_{(O)}+Y_{(O)}\frac{1-Y{}_{(O)_{2}}}{Y_{(O)_{2}}}=1$

da cui

$Y_{(C,H)}\left(1+\frac{1}{Y_{(C,H)}}-1\right)+Y_{(O)}\left(1+\frac{1}{Y_{(O)_{2}}}-1\right)=1$

quindi si ottiene

$\frac{Y_{C,H)}}{Y_{(C,H)}}=1-\frac{Y_{(O)}}{Y_{(O)_{2}}}$

cioè Z_f = Z_^O

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Altra quantità importante è la frazione di miscelamento in corrispondenza del rapporto stechiometrico ν_s

Essendo ν_s= Y_(O)s / Y_(C,H)s

Si ottiene

$Z_{st}=\xi_{st}=\left(1+\nu_{s}\frac{Y_{(C,H)_{1}}}{Y_{(O)_{2}}}\right)^{-1}$

Tale espressione si ricava dalle seguenti:

$Z_{st}= 1 - \frac {Y_{(0)_{st}}} {Y_{(0)_2}} \longrightarrow Z_{st}= 1 - \frac {\upsilon_s Y_{(C,H)__{st}}} {Y_{(0)_2}}$

$Z_{st}= \frac {Y_{(C,H)_{st}}} {Y_{(C,H)_1}} \longrightarrow Y_{(C,H)} = Z_{st}Y_{(C,H)_1}$

$Z_{st}=\frac{Y_{(C,H)_{st}}}{Y_{(O)_{2}}}\rightarrow Z_{st}=1-\frac{\nu_{s}Y_{(C,H)_{st}}}{Y_{(O)_{2}}}$

$Z_{st}=\frac{Y_{C,H)_{st}}}{Y_{(C,H)_{1}}}\rightarrow Y_{(C,H)_{st}}=Z_{st}Y_{(C,H)_{1}}$

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Sostituendo si ottiene :

$Z_{st}=1-\frac{\nu_{s}Z_{st}Y_{(C,H)_{1}}}{Y_{(O)_{2}}}$

da cui si ricava Z_st:

$Z_{st}Y_{(O)_{2}}-Y_{(O)_{2}}+\nu_{2}Z_{st}Y_{(C,H)_{1}}=0$

$Z_{st}\left(Y_{(O)_{2}}+\nu_{s}Y_{(C,H)_{1}}\right)=Y_{(O)_{2}}$

$Z_{st}\left(1+\nu\frac{Y_{(C,H)_{1}}}{Y_{(O)_{2}}}\right)=1$

infine:

$Z_{st}=\xi_{st}=\left(1+\nu_{s}\frac{Y_{(C,H)_{1}}}{Y_{(O)_{2}}}\right)^{-1}$

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Si definisce tracciante di un flusso gassoso una sostanza inerte, dispersa uniformemente in una parte del flusso, con concentrazione talmente bassa da non alterare l’evoluzione termica, dinamica e fluidodinamica del flusso stesso.
Esso dovrà avere anche la proprietà di non diffondere ma di essere trasportato alla velocità media del campo. In tal modo la sua frazione di massa Yt sarà costante nel tempo ovverosia la derivata materiale di Yt sarà identicamente nulla e cioè

DY_t/Dt =0.
A volte il termine tracciante è riferito a sostanze che diffondono (generalmente con coefficiente di diffusione molecolare pari a quello medio della miscela in cui deve diffondere).
In questo caso è bene sempre specificare “tracciante diffusivo” per non creare ambiguità con la definizione prima data.

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Quando in una porzione di un flusso è immesso un tracciante, questo si disperderà e definirà per un fissato istante un’interfaccia. Questa è la superficie del campo di moto su cui la concentrazione del tracciante è discontinua, passando da zero ad un valore finito su una superficie infinitesimo. In altre parole un’interfaccia è il luogo dei punti dello spazio in cui il ∇Y_t è infinito. In genere al processo che porta alla estensione e dispersione dell’interfaccia viene dato il nome di mescolamento, in quanto non vengono coinvolti processi di diffusione essendo esso puramente convettivo.

Esempi di interfaccia e superficie intermateriale

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Una superficie viene detta materiale quando é costituita da punti identificati con un tracciante. In altre parole una superficie é materiale quando evolve materialmente ovverosia quando segue l’evoluzione materiale (o sostanziale) dei punti che la compongono.
Una superficie materiale può, oltre che traslare e ruotare anche piegarsi, arrotolarsi nonché stirarsi. Lo stiramento di una superficie é definito come l’andamento temporale dell’area di una superficie. Il rapporto di stiramento SR (stretch ratio) é il rapporto dell’area della superficie materiale al tempo t rispetto all’area al tempo t₀, pertanto SR=δA(t)/δA(t₀).
La velocità di stiramento K è la derivata logaritmica di SR ,

$K= \frac D {D_t} ln SR = \frac 1 {\delta A} \frac {D \delta A} {Dt}$

$K=\frac{D}{Dt}1nSR=\frac{1}{\delta A}\frac{D\delta A}{Dt}$

e viceversa

$SR=\exp\intop_{t0}^{t}K(t)dt$

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La velocità di stiramento di una superﬁcie é legata alla velocità del campo di moto in cui evolve dalla seguente relazione cinematica,

$K=\underline\nabla\cdot\underline v-\underline\nabla\cdot\underline v:\underline n\;\underline n$

dove $\underline n$ é il versore unitario normale alla superficie $\delta A$ .
Quest’espressione può essere letta in modo euristico come la differenza tra uno stiramento volumetrico ed uno lineare, tenendo conto che le velocità di stiramento sono “moltiplicative” in virtù della loro natura logaritmica. Per completezza sono riportate la definizione della velocità di stiramento lineare ( $K_{\delta l}$ ), superficiale ( $K_{\delta A}$ ) e volumetrica ( $K_{\delta V}$ ) con le loro corrispondenti espressioni cinematiche

$K_{\elta l}=\frac l{\delta l}\frac{D\delta l}{Dt}=\umderline \nabla\cdot\underline v:\underline n\;\underline n$

$K_{\elta A}=\frac l{\delta A}\frac{D\delta A}{Dt}=\umderline \nabla\cdot\underline v:\underline n\;\underline n$

$K_{\elta V}=\frac l{\delta V}\frac{D\delta V}{Dt}=\umderline \nabla\cdot\underline v:\underline n\;\underline n$
Si può inﬁne dimostrare che:

$K_{\delta A}=\underline\nabla\cdot\underline v-\underline\nabla\underline v:\underline n\underline n=\underline \nabla\cdot\underline v_t-u_nC$

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Una superficie intermateriale è una superficie materiale definita al tempo t₀ su un’interfaccia. Generalmente le superfici intermateriali di interesse pratico sono quelle che sono limitate in parte dal punto (o linea) di primo contatto. Per punto (o linea) di primo contatto si intende il punto (o linea) della interfaccia attraverso cui passa il tracciante con il più piccolo tempo di residenza.
Isosuperfici o superfici di isolivello sono le superfici su cui uno scalare è costante. Le isosuperfici si spostano rispetto al fluido che le trasporta con una velocità di propagazione relativa pari a:

$|w_z|=\frac{Dx_n}{Dt}=\frac{DZ}{Dt}\left(\frac{DZ}{DX_n}\right)^{-1}=D\frac{\underline\nabla^2Z}{|\underline\nabla Z|}$

Una seconda espressione di w é la seguente:

$|\underline w_z|=D\frac{\nabla^2Z}{|\underline \nabla Z|}=\frac D{|\nabla Z|}\underline\nabla\cdot (-\underline n \cdot\underline\nabla(|\nabla Z|)-\frac D{|\nabla Z|}|\nabla Z|\underline\nabla\cdot\underline n=-\frac D{|\nabla Z|}\frac\partial{\partial x_n}|\underline\nabla Z|-D\underline \nabla\cdot\underline n$

Infine la velocità di stiramento di una isosuperficie sarà:

$K_{\delta, A}=(\underline\nabla\cdot\underline v-\underline n\;\underline n:\underline\nabla v)+\underline w\;\underline\nabla\cdot\underline n$

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Con la dicitura fiamma con velocità di reazione infinita si intendono fare le seguenti ipotesi:

I) (ρY_i ) = ∞ in Z = Z_st

I)(ρY_i) = 0 in Z ≠ Z_st

II) Y_[C,H] = 0 per Z < Z_st

II) Y_[O] = 0 per Z > Z_st

dove Y_[C,H] e Y[O] stanno per le frazioni di massa degli atomi C, H ed O legati a specie molecolari che non hanno ancora reagito nel processo di ossidazione esotermica.
Dalla I) si deduce che tutto il calore di combustione é rilasciato sulla superficie Z= Z_st, per cui la temperatura in quel punto corrisponde alla temperatura adiabatica di fiamma di Z_st, sono pertanto fissati i valori di T, Y_[O] ed Y_[C,H]per Z=0, Z=1 e Z= Z_st.
Tutti gli altri valori si ottengono da un’interpolazione lineare di quelli noti in quanto sono il risultato di un miscelamento di inerti.

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Un secondo approccio possibile è quello dell’equilibrio termodinamico.
L’assunto di base di tale modello é che la composizione del mezzo é quella di equilibrio, indipendentemente dai flussi diffusivi locali.
Le composizioni dei prodotti finali di equilibrio possono essere calcolate per mezzo di procedure basate sulla minimizzazione dell’energia libera di o su formulazioni basate sulle costanti di equilibrio. Contemporaneamente é necessario calcolare la temperatura adiabatica del mezzo reagente esotermico per mezzo di un’equazione di conservazione dell’energia totale.
In tale approccio, la temperatura e la composizione chimica dipendono, unicamente dalla frazione di miscelamento Z per T= T^e(Z), Y_i= Y_i^e(Z).
L’ipotesi si basa sulla considerazione fisica che nel campo delle frazioni di miscelamento, nel quale le reazioni di ossidazione hanno luogo, queste procedono così velocemente che la produzione dei prodotti di combustione é unicamente controllata dalla diffusione.

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Z_st è spostato verso valori bassi di Z (per CH₄ – aria Z_st =0,055). Le temperature in Z=0 e Z=1 sono quelle iniziali dei getti prima che entrino in contatto, per cui sono fissate come se fossero quelle in condizioni normali (T=15 °C).
La differenza sostanziale tra i due approcci considerati é che nel caso di equilibrio termodinamico, nell’intorno della frazione di miscelamento Z_st, la temperatura non presenta discontinuità e che é possibile prevedere la presenza di più specie chimiche, che comprendono anche prodotti di dissociazione.

In figura a lato: Temperatura contro frazione di miscelamento nel modello a fiamma infinitamente sottile (- – - -), e nel modello con ipotesi di equilibrio termodinamico ( _).

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E’ da notare che mentre per Y_[C,H] a Z=1 si é assunto un valore pari a uno considerando il combustibile non diluito, per Y_[O] a Z=0 si é assunto un valore intorno a 0,2 considerando l’ossigeno di una miscela d’aria.
Sia nell’approccio di fiamma infinitamente sottile che in quello basato sull’ipotesi di equilibrio chimico, il campo diffusivo reattivo può essere descritto in termini di una sola variabile conservativa (la frazione di miscelamento Z) per cui la caratterizzazione del campo ricade nella categoria del mescolamento di due superfici inerti.
In figura a lato: esempi di frazione di massa dell’ossigeno atomico e del carbonio + idrogeno atomico contro la frazione di miscelamento nel modello a fiamma infinitamente sottile (- – - -) e nel modello con ipotesi di equilibrio termodinamico (-).

Combustione Controllata dalla Diffusione dei Reagenti

Le equazioni che reggono una combustione controllata dalla diffusione della materia non possono prescindere dall’evoluzione termica del campo reattivo. Pertanto alle equazioni di bilancio di massa delle singole specie chimiche deve essere aggiunto anche il bilancio dell’entalpia sensibile:

$\frac{\partial\rho h^s}{\partial t}+\underline\nabla \bullet(\rho\underline v h^s)-\underline \nabla\bullet(\rho\alpha\underline\nabla h^s)=\sum\dot\rho h_i^o$

$\frac{\partial p Y_i}{\partial t}+\underline \nabla\bullet(\rho\underline v Y_i)-\underline\nabla\bullet(\rho\alpha\underline\nabla Y_i)=\dot\rho Y_i$

Sono possibili due semplificazioni sul bilancio di entalpia. La prima è che la produzione sia nulla. La seconda è che tutti i termini siano identicamente zero.
Nel primo caso ci troviamo di fronte ad un processo elementare, che non è propriamente una combustione, perché non c’è rilascio di calore. Nel secondo caso, il campo reattivo è praticamente isotermo. Entrambi i casi descritti sono ovviamente condizioni limiti, utili come schematizzazioni didattiche e di prima valutazione degli effetti.