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Antonio Cavaliere » 13.Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti - parte seconda

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Uno strato diffusivo instazionario unidimensionale é descritto dalla seguente equazione:

$\frac{\partial Z}{\partial t} = D \frac{\partial^2 Z}{\partial x^2}$

Equazione di conservazione della frazione di miscelamento Z in condizioni non reattive ed a densità costante.

Nel caso in cui la condizione iniziale (t=t₀) sia una funzione a scalino, l’evoluzione di Z si può ottenere dall’integrazione di Z secondo la procedura classica riportata in appendice A di questa lezione. Essa consiste nell’uso della variabile di Boltzmann $\xi=x / \sqrt {4Dt}$ combinazione di x e t.
In tal modo con le condizioni ai limiti Z( x=ξ=0)=Z₀ e Z (x→∞) =Z∞ si ottiene una soluzione basata sulla funzione riportata di seguito:
$\frac{Z-Z_0}{Z_\infty-Z_0}=erf (\xi=\frac {X}{\delta_m})$

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Lo spessore dello strato di miscelamento e la funzione degli errori sono dati rispettivamente dalle seguenti equazioni:

$\delta_m=\delta_{0.9}=\sqrt{4Dt}$

$erf(\xi)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^\xi e^{-x^2}dx$

Dalla figura si desume che erf( ξ ) é zero per ξ=0, sale linearmente per valori inferiori ad 1, per poi tendere asintoticamente ad 1. Un’espressione approssimata dello spessore dello strato diffusivo isotermo incompressibile δ_m é data dal valore di x per cui Z = 0.05 o Z=0.95.
Esso é dato da $\delta_{0.95}=\sqrt{4Dt}$ , che é proprio la quantità con cui si adimensionalizza x nella combinazione di variabili alla Boltzmann.

Distribuzione della frazione di miscelamento.

Funzione degli errori.

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Pertanto $\xi=x/\sqrt{4Dt}=x/\delta_m$ vale 0 al centro dello strato diffusivo, vale 1 nella zona periferica dello stesso dove Z assume valori di Z=0.05.
δ_m viene definito come spessore dello strato diffusivo, esso cresce nel tempo secondo una legge $\sqrt{4Dt}$ .

In condizioni di combustione non ci sono lavori sperimentali o numerici che descrivono l’evoluzione della parte dello strato diffusivo reagente.

E’ facile supporre che nel caso di velocità di reazione infinita tutta l’ossidazione è concentrata su una superficie, a Z=Z_st, infinitamente sottile e localizzata ad una distanza dalla stazione di riferimento pari a δ_0.05.

In altre parole la fiamma è sulla periferia dello strato diffusivo e si allontana sempre di più dall’interfaccia, localizzato per definizione a Z=Z_st.

Nel caso in cui lo strato reattivo non sia infinitamente sottile ma abbia nello spazio della frazione di miscelamento uno “spessore” σ , é possibile ricavare uno spessore fisico dello strato diffusivo, ipotizzando che Z sia lineare nell’intorno di Z_st.

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Uno strato diffusivo stazionario può essere realizzato solo se vi è un trasporto convettivo che impedisce la naturale crescita dello spessore dello strato. E’ difficile pensare ad una condizione fluidodinamica che sia descritta dall’equazione 1-D convettiva diffusiva stazionaria, così come riportata dalla seguente espressione:

$u \frac{dZ}{dx}-D\frac{d^2Z}{dx^2}=0$

Questa condizione è parzialmente soddisfatta sull’asse (o piano) di simmetria di due getti contrapposti. Infatti il campo di moto è descritto dall’equazione:

$- \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=a$

per cui per y=0 la componente della velocità v è praticamente nulla lungo l’asse (o piano) di simmetria.

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Una fiamma a diffusione unidimensionale e stazionaria può essere ottenuta da una configurazione aerodinamica generata da due getti contrapposti, così come riportato nella figura a lato.
Il campo di velocità può essere approssimato da un flusso potenziale in cui le componenti delle velocità siano dipendenti da un solo parametro “a” e siano descritte dalle seguenti equazioni

$\left\{\begin{array}{ll}u=-ax\\v=ay\end{array}$

Pertanto l’equazione di conservazione può essere riformulata come

$-ax\frac{dZ}{dx}-D\frac{d^2Z}{dx^2}=0$

La descrizione del campo quindi da un solo parametro.

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Lungo l’asse geometrico dei getti si crea un campo convettivo-diffusivo unidimensionale. Una fiamma si può stabilizzare nell’intorno del punto di ristagno a cui é generalmente associato l’origine degli assi x ed y.

Sull’asse x é possibile scrivere un’equazione del bilancio di entalpia sensibile così semplificata

$pu\frac{\partial T}{\partial x}-\frac\partial{\partil x}\rho\alpha\frac{\partial T}{\partial x}=-\frac{\sum(\dot{\rho Y_i})h_i^o}{c_p}$

facendo un cambio di variabile del tipo

$\frac\partial{\partial x}=\frac{\partial Z}{\partial x}\frac \partial{\partial Z}$

e differenziando si ottiene

$\chi\frac\rho 2\frac{\partial^2T}{\partial Z^2}=\frac{\sum(\dot{\partial Y_i}h_i^o)}{c_p}$

dove χ prende il nome di velocità di dissipazione dello scalare Z ed ha le dimensioni dell’inverso del tempo

$\chi=2\alpha\left(\frac{dZ}{dx}\right)$

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Una notevole semplificazione deriva, dalla eventuale possibilità di conoscere Y_i=Y_i(Z) o T=T(Z) indipendentemente da χ o come funzione nota di χ, perché in questo caso basta conoscere Z e χ per poter conoscere tutte le velocità

In letteratura sono noti cinque tipi di approcci per determinare Y= Y(Z, χ) o T= T(Z, χ).

Schematicamente questi approcci possono essere indicati, in accordo con il tipo di metodologia seguita o con l’ipotesi più significativa a cui sono legati, come:

a) Fiamma infinitamente sottile in Z=Z_st

b) Ipotesi di equilibrio chimico

c) Ipotesi di singola reazione con velocità di reazione finita con alta energia di attivazione, a cui sono associate le teorie o modelli, cosiddetti asintotici.

d) Ipotesi di reazioni multiple con velocità finite. Modellazione numerica

e) Approccio sperimentale.

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Le ipotesi a) e b) sono state descritte nei modelli presentati in precedenza. Per tali modelli Y e T sono solo funzioni di Z e non di χ. Verifichiamo, ora che ciò sia vero nel caso fluidodinamico qui descritto sotto le ipotesi c) e d). Per mezzo della teoria asintotica si dimostra che nella fiamma a diffusione unidimensionale e stazionaria

$\chi_{st}=2D|\nabla Z^2|\propto a \;f(Z_{st})$

dove a è il gradiente di velocità assiale o radiale, che caratterizza tutto il campo di moto.

Pertanto essendo “a” una costante in tutto il campo, χ_st é funzione solo di Z_st. Per ottenere un campo con χ_st più grande si aumenta la velocità dei due getti indisturbati e quindi anche il valore di “a” aumenta.

Sia la teoria asintotica che i modelli numerici predicono che all’aumentare della velocità di dissipazione dello scalare Z la T_max si sposta verso Z>Z_st ed assume valori che decrescono lentamente.

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Temperatura contro frazione di miscelamento per diversi valori della velocità di dissipazione.

La T_maxsi mantiene costante fino a valori di $\chi_q^{-1}=\chi_{st\;min}^{-1}$ cioè in corrispondenza del valore di χ_st detto di “quenching”, per cui la fiamma si estingue.

Massima temperatura in fiamma a diffusione “stirata” per diversi valori dell’inverso della velocità di dissipazione stechiometrica.

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La larghezza della fiamma nello spazio di Z può essere calcolato ad un fissato valore di χ_st,diagrammando $\sum(\rho\dot Y_i)h_i^o=W$ (cioè la velocità di rilascio di calore) contro Z.

La deviazione standard (σ) della gaussiana che meglio si adatta alla W(Z) é una misura dello spessore della fiamma nello spazio Z.

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Sempre con modelli numerici è stato possibile calcolare lo spessore di fiamma σ al variare della velocità di dissipazione χ. Diagrammando σ contro l’inverso della velocità di dissipazione, si osserva che σ aumenta al crescere di χ, ma si mantiene sempre a valori più bassi di Z_st.

Per valutare lo spessore nello spazio fisico bisogna considerare il fatto che Z varia quasi linearmente intorno a Z_st con coefficiente angolare:

$\frac{\partial Z}{\partial X}\Biggl |_{st}=\left(\sqrt\frac{2D}{\chi_s}\right)^{-1}$

per cui:

$\Delta x_f=\frac\delta{\frac{\partial Z}{\partial X}}=\sigma\sqrt{\frac{2D}{\chi_s}}$

ciò significa che se si riesce a predire Z_st, si predice anche σ(χ_st) e quindi anche Δx_f .

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La figura mostra come, conoscendo Z_st e σ sia possibile risalire allo spessore della fiamma Δxf.

Inoltre la teoria asintotica dimostra che il tempo caratteristico in cui evolve la reazione é calcolabile con l’espressione:

$t_c\cong\frac{Z^2_{st}(1-Z^2_st)}{\chi_{st}}\cong\frac 1 {4a}$

da cui il tempo caratteristico associato all’estinzione è

$t_q=\frac{Z^2_{st}(1-Z^2_{st})}{\chi_q}\cong \frac 1{4a_q}$

In altre parole esiste un tempo chimico caratteristico che dipende dal campo di moto, mentre il tempo di estinzione é unico.

Esempio schematico della relazione tra lo spessore di fiamma nel campo delle frazioni di massa e nel campo fisico

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Consideriamo un elemento di superficie dA scelto su un’interfaccia al tempo t_o. Tale elemento è identificato con elemento di linea δL(t_o) rappresentativo della sezione δA. L’evoluzione nel tempo di δL, in assenza di diffusione della frazione di massa del tracciante che segna δL, sarà descritta dall’insieme delle derivate materiali DY_t/D_t passanti per i punti di δL(t_o).
Tale linea (o superficie) prende il nome di linea intermateriale.
Consideriamo una terna di assi ortogonali x_n, x_t1, x_t2 con l’origine sul punto materiale P e che orienti l’asse x_n ortogonalmente alla linea materiale.

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Ipotizziamo che le linee (o isosuperfici) a Z=cost siano sempre parallele alla linea intermateriale e che la curvatura della linea (o superficie) intermateriale nell’intorno di P sia sempre sufficientemente piccola da poter considerare che le superfici di isolivello a frazione di massa costante siano “quasi piatte” cosicché siano valide le seguenti ipotesi

$\frac{\partial Z}{\partial X_n}>>\frac{\partial Z}{\partial X_s}=0$

$\frac{\partial^2Z}{\partial X^2_n}>>\frac{\partial^2Z}{\partial X_{ti}^2}$

In questo caso l’equazione di conservazione della frazione di massa si scrive in generale come

$\frac{\partial Z}{\partial t}+u\frac{\partial Z}{\partial x}-D\frac{\partial^2Z}{\partial X^2}=0$

mentre,rispetto alla terna x_n, x_t1, x_t2 può essere scritta, sotto l’ipotesi di ρ e D costanti, come

$\frac{\partial Z}{\partial t}+u_n\frac{\partial Z}{\partial X_n}=D\frac{\partial^2Z}{\partial X_n^2}$

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Sviluppando in serie di Taylor la un lungo la x_n e trascurando nell’espansione i termini di ordine superiori al primo, si ottiene

$\frac{\partial Z}{\partial t}+\left(u_{n0}+\frac{\partial u_n}{\partial X_n}\right)\frac{\partial Z}{\partial X_n}-D\frac{\partial^2Z}{\partial X_n^2}=0$

_un0 è, per scelta della terna di riferimento uguale a zero, mentre può essere approssimata alla velocità di stiramento della superficie K nell’ipotesi già fatta di superfici intermateriale praticamente piatta, per cui l’espressione dello stiramento diventa

$K=\underline\nabla\cdot\underline v$

In mezzi incompressibili e stazionari si può porre $\underline\nabla\cdot\underline v=-\partial u_n/\partial x_n$

per cui l’equazione di conservazione diventa

$\frac{\partial Z}{\partial t}-K\cdot X_n\frac{\partial Z}{\partial X_n}-D\frac{\partial^2Z}{\partial X_n^2}=0$

Questa equazione rappresenta lo strato diffusivo convettivo instazionario sotto l’ipotesi di linearizzabilità del campo di moto (ovverosia u=Kx).

Essa rappresenta con più rigore uno strato diffusivo analogo a quello illustrato nel caso stazionario (immesso nel campo dei getti contrapposti), in cui le condizioni di immissione dei getti variano nel tempo.

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La frazione di miscelamento Z si ottiene integrando l’equazione secondo la procedura riportata in appendice C . L’evoluzione di Z è ancora una volta descritta dalla funzione errore secondo le stesse relazioni (riportata nelle due seguenti equazioni) ottenute per il caso instazionario non stirato.

$\frac{Z-Z_0}{Z_\infty-Z_0}=\text{erf}\left(\xi=\frac x{\delta_m}\right)$

$\delta_m=\delta_m^{ns}\cdot \gamma=\delta_m^{ns}\frac{\sqrt\overline{SR^2}}{SR}$

L’unica differenza è che lo spessore dello strato diffusivo δ_m differisce da quello non stirato per un fattore di stiramento .

Schema di uno strato di miscelamento

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Una rappresentazione schematica di un doppio strato diffusivo è riportata nella figura. Al tempo t₀ la funzione è a doppio scalino.

La distanza tra le due superfici intermateriali è dato da Δ_n . La distribuzione della frazione di miscelamento varia nel tempo e nello spazio in accordo alla seguente equazione

$Z=\frac 1 2 \left[\text{erf}\left(\frac x{\delta_m}\right)-\text{erf}\left(\frac{x-\Delta_n}{\delta_m}\right)\right]$

I profili delle Z riportati in figura sono abbastanza esplicativi di per se. Essi interferiscono solo dopo un certo intervallo di tempo, in modo che la Z non assume più valori unitari, ma decresce progressivamente.

Distribuzione della frazione di miscelamento per un doppio strato diffusivo

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APPENDICE A

Calcolo del profilo di concentrazione nel caso instazionario, unidimensionale.

$\frac{\partial Z}{\partial t}=D\frac{\partial^2Z}{\partial x^2}$

Si usa una variabile (detta di Boltzmann) come combinazione delle due presenti (una distanza adimensionalizzata).

$\xi=\frac x{\sqrt{Dt}}$

$\frac{\partial Z}{\partial\xi}\left(\frac{d\xi}{dt}\right)=D\frac{\partial^2Z}{\partial\xi^2}\left(\frac{d\xi}{dx}\right)^2$

$\frac{d\xi}{dt}=\frac x{\sqrt{4D}}(-1/2 t^{-3/2})=\frac{-x}{\sqrt{4Dt}}\frac 1{2t}$

$\frac{d\xi}{dx}=\frac 1 {\sqrt{4Dt}}$

$\frac{\partial Z}{\partial\xi}\left(\frac{-x}{2t\sqrt{4Dt}}\right)=D\frac 1 {4Dt}\frac{\partial^2Z}{\partial \xi^2}$

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$\frac{\partial^2Z}{\partial \xi^2}+2\xi\frac{\partial Z}{\partial \xi}=0$

$x=0\Longrightarrow\xi=0\hspace{1,5cm}Z=Z_0$

$x\rightarrow\infty\Longrightarrow\xi=\infty\hspace{1cm}Z=Z_\infty$

Ponendo:

$\frac{\partial Z}{\partial \xi}=y$

$\frac{\partial y}{\partial\xi}+2\xi y=0\Rightarrow\frac{dy}y=-2\xid\xi\Rightarrow \ln\;y=-\xi^2$

$y=ae^{-\xi^2}\Rightarrow\frac{\partial Z}{\partial \xi}=ae^{-\xi^2}$

$[Z]_0^\xi=a\int_0^\xi e^{-\xi^2}$

$Z-Z_0=a\int_0^\xi e^{-\xi^2}$

Per trovare a (costante di integrazione) si valuta la funzione a $\xi\longrightarrow \infty$

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$Z-Z_0=a\cdot\int_0^\infty e^{-\xi^2}$

$Z-Z_0=a\frac{\sqrt\pi}2\Rightarrow a=2\cdot\frac{Z-Z_0}{\sqrt\pi}$

da cui

$\frac{Z(x,t)-Z_0(x=0, t)}{Z_\infty(x=\infty, t)-Z_0(x=0, t)}=\frac 2 {\sqrt\pi}\int_0^\xi e^{-\xi^2}=\text{erf}(\xi)$

in conclusione

$\frac{Z-Z_0}{Z_\infty-Z_0}=\text{erf}(\xi)$

con

$\xi=\frac x{\sqrt{4Dt}}$

Per trovare a (costante di integrazione) si valuta la funzione a.

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Nel caso le condizioni al contorno siano

$x=-\infty\;\xi=-\infty\;Z=0\hspace{2cm}x=\infty\;\xi=\infty\;Z=Z_\infty$

si può scrivere

$[Z]_{-\infty}^\xi=a\int_{-\infty}^\xi e^{-\xi^2} d\xi$

per trovare a si pone $\xi=+\infty$

$Z(x=\infty)-Z(x=-\infty)=a\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\xi^2}=2a\int_0^{+\infty} e^{-\xi^2}=a2\cdot\frac{\sqrt\pi}2$

$a=\frac{Z_\infty}{\sqrt\pi}\Rightarrow Z(x, t)=\frac{Z_\infty}{\sqrt\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{\frac{-x^2}{4Dt}}dx$

In conclusione:

$\frac Z{Z_\infty}=\frac 1 2\text{erf}(\xi)$

Per trovare a (costante di integrazione) si valuta la funzione a.

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APPENDICE B

Una fiamma si può stabilizzare nell’intorno del punto di ristagno a cui é generalmente associato l’origine degli assi x ed y.

Sull’asse x é possibile scrivere un’equazione del bilancio di entalpia sensibile così semplificata

$\rho u\frac{\partial T}{\partial x}-\frac\partial{\partial x}\;\rho\alpha\frac{\partial T}{\partial x}=-\frac{\sum(\rho\dot Y_i)h_i^0}{c_p}$

facendo un cambio di variabile del tipo $\frac\partial{\partial x}=\frac{\partial Z}{\partial x}\;\frac\partial{\partial Z}$ e differenziando come qui di seguito riportato:

$\rho u\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\partial T}{\partial Z}-\frac\partial{\partial x}\left(\rho\alpha\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\partial T}{\partial Z}\right)=-\frac{\sum(\rho\dot Y_i)h_i^0}{c_p}$

$\rho u\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\partial T}{\partial Z}\hspace{0,5cm}\frac\partial{\partial x}\left(\rho\alpha\frac{\partial Z}{\partial x}\right)\frac{\partial T}{\partial Z}\hspace{0,5cm}\frac{\partial^2T}{\partial x\partial Z}\hspace{0,5cm}\rho\alpha\frac{\partial Z}{\partyial x}\;\; ==-\frac{\sum(\rho\dotY_i)h_i^0}{c_p}$

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APPENDICE B

$\frac{\partial T}{\partial Z}\left[\rho u\frac{\partial Z}{\partial x}-\frac \partial{\partial x}\left(\rho\alpha\frac{\partial Z}{\partial x}\right)\right]+-\rho\alpha\frac{\partial Z}{\partial x}\frac\partial{\partial Z}\left(\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\partial T}{\partial Z}\right)=-\frac{\sum(\rho\dot Y_i)h_i^0}{c_p}$

$-\rho\alpha\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\partial^2T}{\partial Z^2}-\rho\alpha\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\partial T}{\partial Z}\frac{\partial^2Z}{\partial x\partial Z}==-\frac{\sum(\rho\dot Y_i)h_i^0}{c_p}$

si ottiene:

$\rho\alpha\left(\frac{\partial Z}{\partial x}\right)^2\frac{\partial^2T}{\partial Z^2}=\frac{\sum(\rho\dot Y_i)h_i^0}{c_p}$

oppure:

$\chi\frac\rho 2\frac{\partial^2 T}{\partial Z^2}=\frac{\sum(\rho\dot Y_i)h_i^0}{c_p}$

dove:

$\chi=2\alpha\left(\frac{\partial Z}{\partial x}\right)^2$

χ prende il nome di velocità di dissipazione dello scalare Z ed ha le dimensioni dell’inverso del tempo.

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APPENDICE C

Risoluzione dello strato diffusivo-convettivo instazionario, nel caso di velocità linearizzabile.

Si approssima la $\frac{\partial Z}{\partial t}+u\frac{\partial Z}{\partial x_n}-D\frac{\partial^2 Z}{\partial x_n}=0$ con $\frac{\partial Z}{\partial t}-Kx_n\frac{\partial Z}{\partial x_n}-D\frac{\partial^2Z}{\partial x_n^2}=0$

dove: $K=-\frac{\partial u_n}{\partial x_n}=\frac 1 {\delta A}\frac{D(\delta A)}{Dt}$

è la “velocità di stiramento” ed è in relazione a: $SR=\frac{(\delta A)_t}{(\delta A)_{t_0}}$ (definito “rapporto di stiramento”) attraverso la seguente equazione:

$\int^t_{t_0} Kdt=\int^t_{t_0}\frac{D(\delta A)}{\delta A}=\ln \left[\frac{(\delta A)_t}{\delta A_{t_0}}=\ln SR$

Per cui, in sintesi, si ottiene che:

$SR=\exp\left[\int^t_{t_0} Kdt\right]$

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Eseguiamo una trasformazione di variabili. Poniamo:

$\xi(x_n, y)=x_nf(t)$

$\tau=\tau(t)$

per cui si ottiene anche che $\left\{\frac{\partial\xi}{\partial x_n}=f(t), \frac{\partial\xi}{\partial t}=x_n*f(t)\right\}$

In altre parole Zα dipenderà dalle due variabili $\xi$ e $\tau$ $Z_\alpha=Z-\alpha(\xi.\tau)$

Pertanto andando ad eseguire le trasformazioni di variabile si ottiene:

$\left[\frac{\partial Z}{\partial \xi}\left(\frac{\partial Z}{\partial t}+\frac{\partial Z}{\partial \tau}\left(\frac{\partial \tau}{\partial t}\right)\right]-Kx_n\frac{\partial Z}{\partial \xi}\left(\frac{\partial \xi}{\partial x_n}\right)-D\left[\frac{\partial^2Z}{\partial \xi^2}\left(\frac{\partial \xi}{\partial x_n}\right)^2+\frac{\partial Z}{\partial \xi}\left(\frac{\partial^2\xi}{\partial x_n^2}\right)\right]=0$

Il termine $\left(\frac{\partial^2\xi}{\partial x_n^2}\right)=0$ perché la $\frac{\partial\xi}{\partial x_n}$ è solo funzione del tempo.

Pertanto mettendo in evidenza $\frac{\partial Z}{\partial\xi}$ l’equazione precedente si riduce a

$\frac{\partial Z}{\partial t}\left(\frac{\partial\tau}{\partial t}\right)+\frac{\partial Z}{\partial\xi}\left[\frac{\partial\xi}{\partial t}-Kx_n\left(\frac{\partial\xi}{\partial x_n}\right)\right]-D\left(\frac{\partial\xi}{\partial x_n}\right)^2\frac{\partial^2Z}{\partial \xi^2}=0$

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Sostituendo alle derivate rispetto a x_n e t, le espressioni sopra ottenute, si ottiene:

$\frac{\partial Z}{\partial \tau}\left(\frac{\partial \tau}{\partial t}\right)+\frac{\partial Z}{\partial\xi}\left[x_nf'(t)-Kx_nf(t)\right]-Df^2(t)\frac{\partial^2Z}{\partial\xi^2}=0$

scegliamo opportunamente la funzione f(t) tale che: $x_nf'(t)-K x_nf(t)=0$

Cosicché: $f'(t)=Kf(t)$ per cui $\int^t_{t_0}\frac{df}f=\int^t_{t_0}K dt$

e quindi: $f(t)=\exp\left[\int^t_{t_0}Kdt\right]=SR$ ponendo l’arbitrario valore di f(t_o) uguale a 1.

In definitiva: $\xi(x_nt)=x_n*f(t)=x_n*SR$ ottenendo:

$\frac{\partial Z}{\partial\tau}\left(\frac {d\tau}{dt}\right)-DSR^2\frac{\partial^Z}{\partial\xi^2}=0$

scegliendo, ancora:

$\frac{d\tau}{dt}=SR^2$

si ottiene:

$\frac{\partial Z}{\partial\tau}-D\frac{\partial^2Z}{\partial\xi^2}=0$

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Ricordando che: $\xi(x_n,t)=x_nSR$ ed integrando $d\tau/\alpha t$ in dt, si ottiene:

$\tau=\int_{t_0=0}^tSR^2dt=t\;\overline{SR^2}$

L’equazione di conservazione di Z ottenuta in precedenza è la classica equazione della diffusione instazionaria che può essere risolta con la ulteriore trasformazione di variabile “alla Boltzmann” e cioè ponendo:

$\eta=\frac\xi{\sqrt{4D\tau}}$

da cui: $\left\{\frac{\partial\eta}{\partial\xi}=\frac 1 {\sqrt{4D\tau}}, \frac{\partial\eta}{\partial\tau}=-\frac\eta{2\tau}\right\}$

cosicché:

$\frac{\partial Z}{\partial \eta}\left(\frac{\partial\eta}{\partial\tau}\right)-D\left(\frac{\partial\eta}{\partial\xi}\right)^2\frac{\partial^2Z}{\partial\eta^2}=0$

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Si ottiene: $\frac{\partial Z}{\partial \eta}\left(\frac{\eta}{2\tau}\right)-D\left(\frac 1{\sqrt{4D\tau}}\right)^2\frac{\partial^2Z}{\partial\eta^2}=0$

e cioè:

$2\eta\frac{\partial Z}{\partial\eta}+\frac{\partial^2Z}{\partial\eta^2}=0$

o equivalentemente: $\frac{d^2Z}{d\eta^2}=-2\frac{dz}{d\eta}$

ponendo ancora $G=\frac{dZ}{d\eta}$ si ha: $\frac{dG}{d\eta}=-2\eta\;\;G$

separando le variabili $\frac{dG}G=-2\eta\;d\eta$ ed integrando si ottiene $G=ce^{-\eta^2}$

Per cui sostituendo G ed integrando ancora tra $\eta=0(Z_0=0)$ ed η corrente $\int^Z_{Z_0}dZ=c\int_0^eta e^{-\eta^2} d\eta$ si ottiene :

$Z-Z_0=c\frac{\sqrt\pi}2erf(\eta)$

dove $erf(\eta)=\frac 2{\sqrt\pi}\int_0^\eta e^{-\eta^2}d\eta$ è la funzione errore.

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Infine si ricava: $Z-Z_0=c\frac{\sqrt\pi}2erf\left(\frac\xi{\sqrt{4D\tau}}\right)=c\frac{\sqrt\pi}2erf\left(\frac{x_nSR}{\sqrt{4D\tau}}\right)$

che, per x_n=∞(erf(∞)=1), permette di determinare Z=Z_∞ ,e quindi $c=\frac 2{\sqrt\pi}(Z_\infty-Z_0)$

Pertanto

$\frac{Z-Z_0}{Z_\infty-Z_0}=erf\left(\frac{x_nSR}{\sqrt{4D\tau}}\right)\hspace{0,5cm}\tau\int_{t_0=0}^t SR^2\;dt=t\;\overline{SR^2}$

Pertanto si ottiene la seguente espressione della frazione di massa:

$\frac{Z-Z_0}{Z_\infty-Z_0}=erf\left(\frac{x_n}{\sqrt{4D\tau}}\frac{SR}{\sqrt{\overline{SR^2}}}\right)$

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La distanza dall’origine della coordinate per cui $Z-Z_0=0,9(Z_\infty-Z_0)$

viene qui definita come spessore di strato di miscelamento $\delta_{0,9}$ , si ha

$\frac{Z-Z_0}{Z_\infty-Z_0}=erf\left(\frac{\delta_{0,9}}{\sqrt{4D\tau}}\frac{SR}{\sqrt{\overline{SR^2}}}\right)$

La funzione errore vale 0.9 per un valore della variabile circa uguale 1, per cui:

$1=\frac{\delta_{0,9}}{\sqrt{4Dt}}\frac{SR}{\sqrt{\overline{SR^2}}}\;{\color{red}\Longrightarrow}\;\delta_{0,9}\sqrt{4Dt}\frac{\sqrt{\overline{SR^2}}}{SR}\;{\color{red}\Longrightarrow}\;\frac{Z-Z_0}{Z_\infty-Z_0}=erf\left(\frac{x_n}{\delta_{0,9}}\right)$

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$Z_1=\frac 1 2[1+erf(\xi_1)]\hspace{2cm}Z_2=\frac 1 2[(1+erf(\xi_2))]\hspace{1,5cm}Z_3=\frac 1 2(erf(\xi_1)-erf(\xi_2))$

$\xi_1=x/\delta_1\hspace{3,5cm}\xi_2=(x-\Delta_n){\delta_m}\hspace{2,5cm}J_{\Delta_n\biggl |_{x=0}}\cong\frac{\rho D}{\sqrt\pi}\frac{SR}{\delta_m}C$

$J_1\biggl |_{x=0}=-\ro D\frac 1 {\sqrt\pi}\frac{SR_1}{\delta_1}\hspace{1,5cm}J_2\biggl |_{x=0}=-\rho D\frac 1{\sqrt\pi}\frac{SR_2}{\delta_2}\exp\left[-\left(\frac{\Delta_n}{\delta_2\right)^2\right]}$

$C=1-\exp\left[-\left(\frac{\Delta_n}{\delta_m}\right)\right]$

Tre distribuzioni della frazione di miscelamento. La terza è la somma delle prime due. Sotto ogni schema sono riportate le formule che descrivono i profili ed i flussi diffusivi attraverso la superficie localizzata dove al tempo iniziale la Z assume una discontinuità

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

L’equazione di conservazione della frazione di miscelamento sono lineari in Z. Pertanto Z può essere pensata come la differenza di due distribuzioni Z₁ e Z₂ ottenute dall’integrazione della equazione di conservazione unidimensionale con condizioni iniziali come quelle descritte dalla linea continua nel caso 1 e 2. La frazione di miscelamento è quindi data dall’equazione sul lato destro del riquadro e cioè dalla differenza di due funzioni errore determinate sulle variabili adimensionalizzate $\xi_1=\frac x{\delta_1}$ e $\xi_2=\frac{(x-\Delta_n)}{\delta_2}$

Nel caso in cui Δ_n tenda all’infinito erf(ξ₂)=-1 per cui Z si distribuisce come nel caso dello strato diffusivo isolato e cioè

$Z=\frac 1 2(1+erf(\xi))$

In quest’ultimo caso il flusso diffusivo, attraverso una superficie posizionata ad x=0 ed unitaria al tempo t=0 può essere ottenuto attraverso la seguente equazione

$J_{\Delta_n\rightarrow\infty}=-\rho D\frac{\partial Z}{\partial x}SR$

Infatti per la legge di Fick nel caso non stirato il flusso diffusivo è $-\rho D\frac{\partial Z}{\partial x}$

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Ricordando le formule di derivazione della funzione errore si ottiene che:

$\frac d{d\xi}erf(\xi)=\frac 2{\sqrt\pi}e^{-\xi^2}$

$\frac{d\xi}{dx}=\frac d{dx}\left(\frac x\delta\right)=\frac 1\delta$

$\frac{\partial Z}{\partial x}\biggl |_{\xi=0}=\frac{\partial \xi}{\partial x}\biggl |_{\xi=0}=\frac 12 \left(\frac 2{\sqrt\pi}\right) e^{-\xi^2}\biggl |_{\xi=0} * \frac 1 \delta=\frac 1{\sqrt\pi}\frac 1 \delta$

Per cui il flusso diffusivo, nel caso di strato isolato, può essere espresso come:

$J_{\Delta_n\rightarrow\infty}=-\rhoD\frac 1 {\sqrt\pi}\frac{SR}{\delta_m}$

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac 1 2 \left(\frac{\partial erf(\xi_1)}{\partial\xi_1}\frac{\partial\xi_1}{\partial x}-\frac{\partial erf(\xi_2)}{\partial\xi_2}\frac{\partial\xi_2}{\partial x}\right)=\frac 1 2 \left(\frac 2 {\sqrt\pi}e^{-\xi_1}\frac 1 {\delta_1}-\frac 2{\delta_1}e^{-\xi_2}\frac 1 {\delta_2\right)}=$

$=\frac 1{\sqrt\pi}\frac 1\delta\left[1-\exp\left(-\frac{\Delta_n}\delta\right)\right]$

$\delta_1=\delta_2$

$J_{\Delta_n}=-\rhoDSR\frac{\partial Z}{\partial x}=-\frac{\rho D}{\sqrt\pi}\frac{SR}{\delta_n}\left[1-\exp\left(-\frac{\Delta_n}\delta\right)\right]$