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Antonio Cavaliere » 13.Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti - parte seconda


Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Uno strato diffusivo instazionario unidimensionale é descritto dalla seguente equazione:

\frac{\partial Z}{\partial t} = D \frac{\partial^2 Z}{\partial x^2}

Equazione di conservazione della frazione di miscelamento Z in condizioni non reattive ed a densità costante.

Nel caso in cui la condizione iniziale (t=t0) sia una funzione a scalino, l’evoluzione di Z si può ottenere dall’integrazione di Z secondo la procedura classica riportata in appendice A di questa lezione. Essa consiste nell’uso della variabile di Boltzmann \xi=x / \sqrt {4Dt} combinazione di x e t.
In tal modo con le condizioni ai limiti Z( x=ξ=0)=Z0 e Z (x→∞) =Z∞ si ottiene una soluzione basata sulla funzione riportata di seguito:
\frac{Z-Z_0}{Z_\infty-Z_0}=erf (\xi=\frac {X}{\delta_m})

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Lo spessore dello strato di miscelamento e la funzione degli errori sono dati rispettivamente dalle seguenti equazioni:

\delta_m=\delta_{0.9}=\sqrt{4Dt}

erf(\xi)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^\xi e^{-x^2}dx

Dalla figura si desume che erf( ξ ) é zero per ξ=0, sale linearmente per valori inferiori ad 1, per poi tendere asintoticamente ad 1. Un’espressione approssimata dello spessore dello strato diffusivo isotermo incompressibile δm é data dal valore di x per cui Z = 0.05 o Z=0.95.
Esso é dato da \delta_{0.95}=\sqrt{4Dt} , che é proprio la quantità con cui si adimensionalizza x nella combinazione di variabili alla Boltzmann.

Distribuzione della frazione di miscelamento.

Distribuzione della frazione di miscelamento.

Funzione degli errori.

Funzione degli errori.


Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Pertanto \xi=x/\sqrt{4Dt}=x/\delta_m vale 0 al centro dello strato diffusivo, vale 1 nella zona periferica dello stesso dove Z assume valori di Z=0.05.
δm viene definito come spessore dello strato diffusivo, esso cresce nel tempo secondo una legge \sqrt{4Dt} .

In condizioni di combustione non ci sono lavori sperimentali o numerici che descrivono l’evoluzione della parte dello strato diffusivo reagente.

E’ facile supporre che nel caso di velocità di reazione infinita tutta l’ossidazione è concentrata su una superficie, a Z=Zst, infinitamente sottile e localizzata ad una distanza dalla stazione di riferimento pari a δ0.05.

In altre parole la fiamma è sulla periferia dello strato diffusivo e si allontana sempre di più dall’interfaccia, localizzato per definizione a Z=Zst.

Nel caso in cui lo strato reattivo non sia infinitamente sottile ma abbia nello spazio della frazione di miscelamento uno “spessore” σ , é possibile ricavare uno spessore fisico dello strato diffusivo, ipotizzando che Z sia lineare nell’intorno di Zst.

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Uno strato diffusivo stazionario può essere realizzato solo se vi è un trasporto convettivo che impedisce la naturale crescita dello spessore dello strato. E’ difficile pensare ad una condizione fluidodinamica che sia descritta dall’equazione 1-D convettiva diffusiva stazionaria, così come riportata dalla seguente espressione:

u \frac{dZ}{dx}-D\frac{d^2Z}{dx^2}=0

Questa condizione è parzialmente soddisfatta sull’asse (o piano) di simmetria di due getti contrapposti. Infatti il campo di moto è descritto dall’equazione:

- \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=a

per cui per y=0 la componente della velocità v è praticamente nulla lungo l’asse (o piano) di simmetria.

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Una fiamma a diffusione unidimensionale e stazionaria può essere ottenuta da una configurazione aerodinamica generata da due getti contrapposti, così come riportato nella figura a lato.
Il campo di velocità può essere approssimato da un flusso potenziale in cui le componenti delle velocità siano dipendenti da un solo parametro “a” e siano descritte dalle seguenti equazioni

\left\{\begin{array}{ll}u=-ax\\v=ay\end{array}

Pertanto l’equazione di conservazione può essere riformulata come

-ax\frac{dZ}{dx}-D\frac{d^2Z}{dx^2}=0

La descrizione del campo quindi da un solo parametro.


Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Lungo l’asse geometrico dei getti si crea un campo convettivo-diffusivo unidimensionale. Una fiamma si può stabilizzare nell’intorno del punto di ristagno a cui é generalmente associato l’origine degli assi x ed y.

Sull’asse x é possibile scrivere un’equazione del bilancio di entalpia sensibile così semplificata

pu\frac{\partial T}{\partial x}-\frac\partial{\partil x}\rho\alpha\frac{\partial T}{\partial x}=-\frac{\sum(\dot{\rho Y_i})h_i^o}{c_p}

facendo un cambio di variabile del tipo

\frac\partial{\partial x}=\frac{\partial Z}{\partial x}\frac \partial{\partial Z}

e differenziando si ottiene

\chi\frac\rho 2\frac{\partial^2T}{\partial Z^2}=\frac{\sum(\dot{\partial Y_i}h_i^o)}{c_p}

dove χ prende il nome di velocità di dissipazione dello scalare Z ed ha le dimensioni dell’inverso del tempo

\chi=2\alpha\left(\frac{dZ}{dx}\right)

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Una notevole semplificazione deriva, dalla eventuale possibilità di conoscere Yi=Yi(Z) o T=T(Z) indipendentemente da χ o come funzione nota di χ, perché in questo caso basta conoscere Z e χ per poter conoscere tutte le velocità

In letteratura sono noti cinque tipi di approcci per determinare Y= Y(Z, χ) o T= T(Z, χ).

Schematicamente questi approcci possono essere indicati, in accordo con il tipo di metodologia seguita o con l’ipotesi più significativa a cui sono legati, come:

a) Fiamma infinitamente sottile in Z=Zst

b) Ipotesi di equilibrio chimico

c) Ipotesi di singola reazione con velocità di reazione finita con alta energia di attivazione, a cui sono associate le teorie o modelli, cosiddetti  asintotici.

d) Ipotesi di reazioni multiple con velocità finite. Modellazione numerica

e) Approccio sperimentale.

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Le ipotesi a) e b) sono state descritte nei modelli presentati in precedenza. Per tali modelli  Y e T sono solo funzioni di Z e non di χ. Verifichiamo, ora che ciò sia vero nel caso fluidodinamico qui descritto sotto le ipotesi c) e d). Per mezzo della teoria asintotica si dimostra che nella fiamma a diffusione unidimensionale e stazionaria

\chi_{st}=2D|\nabla Z^2|\propto a \;f(Z_{st})

dove a è il gradiente di velocità assiale o radiale, che caratterizza tutto il campo di moto.

Pertanto essendo “a” una costante in tutto il campo, χst é funzione solo di Zst. Per ottenere un campo con χst più grande si aumenta la velocità dei due getti indisturbati e quindi anche il valore di “a” aumenta.

Sia la teoria asintotica che i modelli numerici predicono che all’aumentare della velocità di dissipazione dello scalare Z la Tmax si sposta verso Z>Zst ed assume valori che decrescono lentamente.

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Temperatura contro frazione di miscelamento per diversi valori della velocità di dissipazione.

La Tmax si mantiene costante fino a valori di \chi_q^{-1}=\chi_{st\;min}^{-1} cioè in corrispondenza del valore di χst detto di “quenching”, per cui la fiamma si estingue.

Massima temperatura in fiamma a diffusione “stirata” per diversi valori  dell’inverso della velocità di dissipazione stechiometrica.


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La larghezza della fiamma nello spazio di Z può essere calcolato ad un fissato valore di χst,diagrammando \sum(\rho\dot Y_i)h_i^o=W (cioè la velocità di rilascio di calore) contro Z.

La deviazione standard (σ) della gaussiana che meglio si adatta alla W(Z) é una misura dello spessore della fiamma nello spazio Z.

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Sempre con modelli numerici è stato possibile calcolare lo spessore di fiamma σ al variare della velocità di dissipazione χ. Diagrammando σ contro l’inverso della velocità di dissipazione, si osserva che σ aumenta al crescere di χ, ma si mantiene sempre a valori più bassi di Zst.

Per valutare lo spessore nello spazio fisico bisogna considerare il fatto che Z varia quasi linearmente intorno a Zst con coefficiente angolare:

\frac{\partial Z}{\partial X}\Biggl |_{st}=\left(\sqrt\frac{2D}{\chi_s}\right)^{-1}

per cui:

\Delta x_f=\frac\delta{\frac{\partial Z}{\partial X}}=\sigma\sqrt{\frac{2D}{\chi_s}}

ciò significa che se si riesce a predire Zst, si predice anche σ(χst) e quindi anche Δxf .

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

La figura mostra come, conoscendo Zst e σ sia possibile risalire allo spessore della fiamma  Δxf.

Inoltre la teoria asintotica dimostra che il tempo caratteristico in cui evolve la reazione é calcolabile con l’espressione:

t_c\cong\frac{Z^2_{st}(1-Z^2_st)}{\chi_{st}}\cong\frac 1 {4a}

da cui il tempo caratteristico associato all’estinzione è

t_q=\frac{Z^2_{st}(1-Z^2_{st})}{\chi_q}\cong \frac 1{4a_q}

In altre parole esiste un tempo chimico caratteristico che dipende dal campo di moto, mentre il tempo di estinzione é unico.

Esempio schematico della relazione tra lo spessore di fiamma nel campo delle frazioni di massa e nel campo fisico

Esempio schematico della relazione tra lo spessore di fiamma nel campo delle frazioni di massa e nel campo fisico


Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Consideriamo un elemento di superficie dA scelto su un’interfaccia al tempo to. Tale elemento è identificato con elemento di linea δL(to) rappresentativo della sezione δA. L’evoluzione nel tempo di δL, in assenza di diffusione della frazione di massa del tracciante che segna δL, sarà descritta dall’insieme delle derivate materiali DYt/Dt passanti per i punti di δL(to).
Tale linea (o superficie) prende il nome di linea intermateriale.
Consideriamo una terna di assi ortogonali xn, xt1, xt2 con l’origine sul punto materiale P e che orienti l’asse xn ortogonalmente alla linea materiale.


Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Ipotizziamo che le linee (o isosuperfici) a Z=cost siano sempre parallele alla linea intermateriale e che la curvatura della linea (o superficie) intermateriale nell’intorno di P sia sempre sufficientemente piccola da poter considerare che le superfici di isolivello a frazione di massa costante siano “quasi piatte” cosicché siano valide le seguenti ipotesi

\frac{\partial Z}{\partial X_n}>>\frac{\partial Z}{\partial X_s}=0

\frac{\partial^2Z}{\partial X^2_n}>>\frac{\partial^2Z}{\partial X_{ti}^2}

In questo caso l’equazione di conservazione della frazione di massa si scrive in generale come

\frac{\partial Z}{\partial t}+u\frac{\partial Z}{\partial x}-D\frac{\partial^2Z}{\partial X^2}=0

mentre,rispetto alla terna xn, xt1, xt2 può essere scritta, sotto l’ipotesi di ρ e D costanti, come

\frac{\partial Z}{\partial t}+u_n\frac{\partial Z}{\partial X_n}=D\frac{\partial^2Z}{\partial X_n^2}

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Sviluppando in serie di Taylor la un lungo la xn e trascurando nell’espansione i termini di ordine superiori al primo, si ottiene

\frac{\partial Z}{\partial t}+\left(u_{n0}+\frac{\partial u_n}{\partial X_n}\right)\frac{\partial Z}{\partial X_n}-D\frac{\partial^2Z}{\partial X_n^2}=0

un0 è, per scelta della terna di riferimento uguale a zero, mentre  può essere approssimata alla velocità di stiramento della superficie K nell’ipotesi già fatta di superfici intermateriale praticamente piatta, per cui l’espressione dello stiramento  diventa

K=\underline\nabla\cdot\underline v

In mezzi incompressibili e stazionari   si può porre  \underline\nabla\cdot\underline v=-\partial u_n/\partial x_n

per cui l’equazione di conservazione diventa

\frac{\partial Z}{\partial t}-K\cdot X_n\frac{\partial Z}{\partial X_n}-D\frac{\partial^2Z}{\partial X_n^2}=0

Questa equazione rappresenta lo strato diffusivo convettivo instazionario sotto l’ipotesi di linearizzabilità del campo di moto (ovverosia u=Kx).

Essa rappresenta con più rigore uno strato diffusivo analogo a quello illustrato nel caso stazionario (immesso nel campo dei getti contrapposti), in cui le condizioni di immissione dei getti variano nel tempo.

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

La frazione di miscelamento Z si ottiene integrando l’equazione secondo la procedura riportata in appendice C . L’evoluzione di Z è ancora una volta descritta dalla funzione errore secondo le stesse relazioni (riportata nelle due seguenti equazioni) ottenute per il caso instazionario non stirato.

\frac{Z-Z_0}{Z_\infty-Z_0}=\text{erf}\left(\xi=\frac x{\delta_m}\right)

\delta_m=\delta_m^{ns}\cdot \gamma=\delta_m^{ns}\frac{\sqrt\overline{SR^2}}{SR}

L’unica differenza è che lo spessore dello strato diffusivo δm  differisce da quello non stirato per un fattore di stiramento .

Schema di uno strato di miscelamento

Schema di uno strato di miscelamento


Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Una rappresentazione schematica di un doppio strato diffusivo è riportata nella figura. Al tempo  t0 la  funzione è a doppio scalino.

La distanza tra le due superfici intermateriali è dato da Δn . La distribuzione della frazione di miscelamento varia nel tempo e nello spazio in accordo alla seguente equazione

Z=\frac 1 2 \left[\text{erf}\left(\frac x{\delta_m}\right)-\text{erf}\left(\frac{x-\Delta_n}{\delta_m}\right)\right]

I profili delle Z riportati in figura sono abbastanza esplicativi di per se. Essi interferiscono solo dopo un certo intervallo di tempo, in modo che la Z non assume più valori unitari, ma decresce progressivamente.

Distribuzione della frazione di miscelamento  per un doppio strato diffusivo

Distribuzione della frazione di miscelamento per un doppio strato diffusivo


Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

APPENDICE  A

Calcolo del profilo di concentrazione nel caso instazionario, unidimensionale.

\frac{\partial Z}{\partial t}=D\frac{\partial^2Z}{\partial x^2}

Si usa una variabile (detta di Boltzmann) come combinazione delle due presenti (una distanza adimensionalizzata).

\xi=\frac x{\sqrt{Dt}}

\frac{\partial Z}{\partial\xi}\left(\frac{d\xi}{dt}\right)=D\frac{\partial^2Z}{\partial\xi^2}\left(\frac{d\xi}{dx}\right)^2

\frac{d\xi}{dt}=\frac x{\sqrt{4D}}(-1/2 t^{-3/2})=\frac{-x}{\sqrt{4Dt}}\frac 1{2t}

\frac{d\xi}{dx}=\frac 1 {\sqrt{4Dt}}

\frac{\partial Z}{\partial\xi}\left(\frac{-x}{2t\sqrt{4Dt}}\right)=D\frac 1 {4Dt}\frac{\partial^2Z}{\partial \xi^2}

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

\frac{\partial^2Z}{\partial \xi^2}+2\xi\frac{\partial Z}{\partial \xi}=0

x=0\Longrightarrow\xi=0\hspace{1,5cm}Z=Z_0

x\rightarrow\infty\Longrightarrow\xi=\infty\hspace{1cm}Z=Z_\infty

Ponendo:

\frac{\partial Z}{\partial \xi}=y

\frac{\partial y}{\partial\xi}+2\xi y=0\Rightarrow\frac{dy}y=-2\xid\xi\Rightarrow \ln\;y=-\xi^2

y=ae^{-\xi^2}\Rightarrow\frac{\partial Z}{\partial \xi}=ae^{-\xi^2}

[Z]_0^\xi=a\int_0^\xi e^{-\xi^2}

Z-Z_0=a\int_0^\xi e^{-\xi^2}

Per trovare a (costante di integrazione) si valuta la funzione a \xi\longrightarrow \infty

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Z-Z_0=a\cdot\int_0^\infty e^{-\xi^2}

Z-Z_0=a\frac{\sqrt\pi}2\Rightarrow a=2\cdot\frac{Z-Z_0}{\sqrt\pi}

da cui

\frac{Z(x,t)-Z_0(x=0, t)}{Z_\infty(x=\infty, t)-Z_0(x=0, t)}=\frac 2 {\sqrt\pi}\int_0^\xi e^{-\xi^2}=\text{erf}(\xi)

in conclusione

\frac{Z-Z_0}{Z_\infty-Z_0}=\text{erf}(\xi)

con

\xi=\frac x{\sqrt{4Dt}}

Per trovare a (costante di integrazione) si valuta la funzione a.

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Nel caso le condizioni al contorno siano

x=-\infty\;\xi=-\infty\;Z=0\hspace{2cm}x=\infty\;\xi=\infty\;Z=Z_\infty

si può scrivere

[Z]_{-\infty}^\xi=a\int_{-\infty}^\xi e^{-\xi^2} d\xi

per trovare a si pone \xi=+\infty

Z(x=\infty)-Z(x=-\infty)=a\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\xi^2}=2a\int_0^{+\infty} e^{-\xi^2}=a2\cdot\frac{\sqrt\pi}2

a=\frac{Z_\infty}{\sqrt\pi}\Rightarrow Z(x, t)=\frac{Z_\infty}{\sqrt\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{\frac{-x^2}{4Dt}}dx

In conclusione:

\frac Z{Z_\infty}=\frac 1 2\text{erf}(\xi)

Per trovare a (costante di integrazione) si valuta la funzione a.

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APPENDICE B

Una fiamma si può stabilizzare nell’intorno del punto di ristagno a cui é generalmente associato l’origine degli assi x ed y.

Sull’asse x é possibile scrivere un’equazione del bilancio di entalpia sensibile così semplificata

\rho u\frac{\partial T}{\partial x}-\frac\partial{\partial x}\;\rho\alpha\frac{\partial T}{\partial x}=-\frac{\sum(\rho\dot Y_i)h_i^0}{c_p}

facendo un cambio di variabile del tipo \frac\partial{\partial x}=\frac{\partial Z}{\partial x}\;\frac\partial{\partial Z} e    differenziando come qui di seguito riportato:

\rho u\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\partial T}{\partial Z}-\frac\partial{\partial x}\left(\rho\alpha\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\partial T}{\partial Z}\right)=-\frac{\sum(\rho\dot Y_i)h_i^0}{c_p}

\rho u\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\partial T}{\partial Z}\hspace{0,5cm}\frac\partial{\partial x}\left(\rho\alpha\frac{\partial Z}{\partial x}\right)\frac{\partial T}{\partial Z}\hspace{0,5cm}\frac{\partial^2T}{\partial x\partial Z}\hspace{0,5cm}\rho\alpha\frac{\partial Z}{\partyial x}\;\; ==-\frac{\sum(\rho\dotY_i)h_i^0}{c_p}

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APPENDICE B

\frac{\partial T}{\partial Z}\left[\rho u\frac{\partial Z}{\partial x}-\frac \partial{\partial x}\left(\rho\alpha\frac{\partial Z}{\partial x}\right)\right]+-\rho\alpha\frac{\partial Z}{\partial x}\frac\partial{\partial Z}\left(\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\partial T}{\partial Z}\right)=-\frac{\sum(\rho\dot Y_i)h_i^0}{c_p}

-\rho\alpha\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\partial^2T}{\partial Z^2}-\rho\alpha\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\partial T}{\partial Z}\frac{\partial^2Z}{\partial x\partial Z}==-\frac{\sum(\rho\dot Y_i)h_i^0}{c_p}

si ottiene:

\rho\alpha\left(\frac{\partial Z}{\partial x}\right)^2\frac{\partial^2T}{\partial Z^2}=\frac{\sum(\rho\dot Y_i)h_i^0}{c_p}

oppure:

\chi\frac\rho 2\frac{\partial^2 T}{\partial Z^2}=\frac{\sum(\rho\dot Y_i)h_i^0}{c_p}

dove:

\chi=2\alpha\left(\frac{\partial Z}{\partial x}\right)^2

χ prende il nome di velocità di dissipazione dello scalare Z ed ha le dimensioni dell’inverso del tempo.

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

APPENDICE C

Risoluzione dello strato diffusivo-convettivo instazionario, nel caso di velocità linearizzabile.

Si approssima la \frac{\partial Z}{\partial t}+u\frac{\partial Z}{\partial x_n}-D\frac{\partial^2 Z}{\partial x_n}=0 con  \frac{\partial Z}{\partial t}-Kx_n\frac{\partial Z}{\partial x_n}-D\frac{\partial^2Z}{\partial x_n^2}=0

dove: K=-\frac{\partial u_n}{\partial x_n}=\frac 1 {\delta A}\frac{D(\delta A)}{Dt}

è la “velocità di stiramento” ed è in relazione a: SR=\frac{(\delta A)_t}{(\delta A)_{t_0}} (definito “rapporto di stiramento”) attraverso la seguente equazione:

\int^t_{t_0} Kdt=\int^t_{t_0}\frac{D(\delta A)}{\delta A}=\ln \left[\frac{(\delta A)_t}{\delta A_{t_0}}=\ln SR

Per cui, in sintesi, si ottiene che:

SR=\exp\left[\int^t_{t_0} Kdt\right]

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Eseguiamo una trasformazione di variabili. Poniamo:

\xi(x_n, y)=x_nf(t)

\tau=\tau(t)

per cui si ottiene anche che \left\{\frac{\partial\xi}{\partial x_n}=f(t), \frac{\partial\xi}{\partial t}=x_n*f(t)\right\}

In altre parole Zα dipenderà dalle due variabili \xi e \tau Z_\alpha=Z-\alpha(\xi.\tau)

Pertanto andando ad eseguire le trasformazioni di variabile si ottiene:

\left[\frac{\partial Z}{\partial \xi}\left(\frac{\partial Z}{\partial t}+\frac{\partial Z}{\partial \tau}\left(\frac{\partial \tau}{\partial t}\right)\right]-Kx_n\frac{\partial Z}{\partial \xi}\left(\frac{\partial \xi}{\partial x_n}\right)-D\left[\frac{\partial^2Z}{\partial \xi^2}\left(\frac{\partial \xi}{\partial x_n}\right)^2+\frac{\partial Z}{\partial \xi}\left(\frac{\partial^2\xi}{\partial x_n^2}\right)\right]=0

Il termine \left(\frac{\partial^2\xi}{\partial x_n^2}\right)=0 perché la \frac{\partial\xi}{\partial x_n} è solo funzione del tempo.

Pertanto mettendo in evidenza \frac{\partial Z}{\partial\xi} l’equazione precedente si riduce a

\frac{\partial Z}{\partial t}\left(\frac{\partial\tau}{\partial t}\right)+\frac{\partial Z}{\partial\xi}\left[\frac{\partial\xi}{\partial t}-Kx_n\left(\frac{\partial\xi}{\partial x_n}\right)\right]-D\left(\frac{\partial\xi}{\partial x_n}\right)^2\frac{\partial^2Z}{\partial \xi^2}=0

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Sostituendo alle derivate rispetto a xn e t, le espressioni sopra ottenute, si ottiene:

\frac{\partial Z}{\partial \tau}\left(\frac{\partial \tau}{\partial t}\right)+\frac{\partial Z}{\partial\xi}\left[x_nf'(t)-Kx_nf(t)\right]-Df^2(t)\frac{\partial^2Z}{\partial\xi^2}=0

scegliamo opportunamente la funzione f(t) tale che: x_nf'(t)-K x_nf(t)=0

Cosicché: f'(t)=Kf(t) per cui \int^t_{t_0}\frac{df}f=\int^t_{t_0}K dt

e quindi: f(t)=\exp\left[\int^t_{t_0}Kdt\right]=SR ponendo l’arbitrario valore di f(to) uguale a 1.

In definitiva: \xi(x_nt)=x_n*f(t)=x_n*SR ottenendo:

\frac{\partial Z}{\partial\tau}\left(\frac {d\tau}{dt}\right)-DSR^2\frac{\partial^Z}{\partial\xi^2}=0

scegliendo, ancora:

\frac{d\tau}{dt}=SR^2

si ottiene:

\frac{\partial Z}{\partial\tau}-D\frac{\partial^2Z}{\partial\xi^2}=0

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Ricordando che: \xi(x_n,t)=x_nSR ed integrando d\tau/\alpha t in dt, si ottiene:

\tau=\int_{t_0=0}^tSR^2dt=t\;\overline{SR^2}

L’equazione di conservazione di Z ottenuta in precedenza è la classica equazione della diffusione instazionaria che può essere risolta con la ulteriore trasformazione di variabile “alla Boltzmann” e cioè ponendo:

\eta=\frac\xi{\sqrt{4D\tau}}

da cui: \left\{\frac{\partial\eta}{\partial\xi}=\frac 1 {\sqrt{4D\tau}}, \frac{\partial\eta}{\partial\tau}=-\frac\eta{2\tau}\right\}

cosicché:

\frac{\partial Z}{\partial \eta}\left(\frac{\partial\eta}{\partial\tau}\right)-D\left(\frac{\partial\eta}{\partial\xi}\right)^2\frac{\partial^2Z}{\partial\eta^2}=0

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Si ottiene: \frac{\partial Z}{\partial \eta}\left(\frac{\eta}{2\tau}\right)-D\left(\frac 1{\sqrt{4D\tau}}\right)^2\frac{\partial^2Z}{\partial\eta^2}=0

e cioè:

2\eta\frac{\partial Z}{\partial\eta}+\frac{\partial^2Z}{\partial\eta^2}=0

o equivalentemente: \frac{d^2Z}{d\eta^2}=-2\frac{dz}{d\eta}

ponendo ancora G=\frac{dZ}{d\eta} si ha: \frac{dG}{d\eta}=-2\eta\;\;G

 

separando le variabili \frac{dG}G=-2\eta\;d\eta ed integrando si ottiene G=ce^{-\eta^2}

Per cui sostituendo G ed integrando ancora tra \eta=0(Z_0=0) ed η corrente \int^Z_{Z_0}dZ=c\int_0^eta e^{-\eta^2} d\eta  si ottiene :

Z-Z_0=c\frac{\sqrt\pi}2erf(\eta)

dove erf(\eta)=\frac 2{\sqrt\pi}\int_0^\eta e^{-\eta^2}d\eta è la funzione errore.

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Infine si ricava: Z-Z_0=c\frac{\sqrt\pi}2erf\left(\frac\xi{\sqrt{4D\tau}}\right)=c\frac{\sqrt\pi}2erf\left(\frac{x_nSR}{\sqrt{4D\tau}}\right)

che, per xn=∞(erf(∞)=1), permette di determinare Z=Z ,e quindi c=\frac 2{\sqrt\pi}(Z_\infty-Z_0)

Pertanto

\frac{Z-Z_0}{Z_\infty-Z_0}=erf\left(\frac{x_nSR}{\sqrt{4D\tau}}\right)\hspace{0,5cm}\tau\int_{t_0=0}^t SR^2\;dt=t\;\overline{SR^2}

Pertanto si ottiene la seguente espressione della frazione di massa:

\frac{Z-Z_0}{Z_\infty-Z_0}=erf\left(\frac{x_n}{\sqrt{4D\tau}}\frac{SR}{\sqrt{\overline{SR^2}}}\right)

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

La distanza dall’origine della coordinate per cui Z-Z_0=0,9(Z_\infty-Z_0)

viene qui definita come spessore di strato di miscelamento \delta_{0,9},  si ha

\frac{Z-Z_0}{Z_\infty-Z_0}=erf\left(\frac{\delta_{0,9}}{\sqrt{4D\tau}}\frac{SR}{\sqrt{\overline{SR^2}}}\right)

La funzione errore vale 0.9 per un valore della variabile circa uguale 1, per cui:

1=\frac{\delta_{0,9}}{\sqrt{4Dt}}\frac{SR}{\sqrt{\overline{SR^2}}}\;{\color{red}\Longrightarrow}\;\delta_{0,9}\sqrt{4Dt}\frac{\sqrt{\overline{SR^2}}}{SR}\;{\color{red}\Longrightarrow}\;\frac{Z-Z_0}{Z_\infty-Z_0}=erf\left(\frac{x_n}{\delta_{0,9}}\right)

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Z_1=\frac 1 2[1+erf(\xi_1)]\hspace{2cm}Z_2=\frac 1 2[(1+erf(\xi_2))]\hspace{1,5cm}Z_3=\frac 1 2(erf(\xi_1)-erf(\xi_2))

\xi_1=x/\delta_1\hspace{3,5cm}\xi_2=(x-\Delta_n){\delta_m}\hspace{2,5cm}J_{\Delta_n\biggl |_{x=0}}\cong\frac{\rho D}{\sqrt\pi}\frac{SR}{\delta_m}C

J_1\biggl |_{x=0}=-\ro D\frac 1 {\sqrt\pi}\frac{SR_1}{\delta_1}\hspace{1,5cm}J_2\biggl |_{x=0}=-\rho D\frac 1{\sqrt\pi}\frac{SR_2}{\delta_2}\exp\left[-\left(\frac{\Delta_n}{\delta_2\right)^2\right]}

C=1-\exp\left[-\left(\frac{\Delta_n}{\delta_m}\right)\right]

Tre distribuzioni della frazione di miscelamento. La terza è la somma delle prime due. Sotto ogni schema sono riportate le formule che descrivono i profili ed i flussi diffusivi attraverso la superficie localizzata  dove al tempo iniziale  la Z assume una discontinuità

Tre distribuzioni della frazione di miscelamento. La terza è la somma delle prime due. Sotto ogni schema sono riportate le formule che descrivono i profili ed i flussi diffusivi attraverso la superficie localizzata dove al tempo iniziale la Z assume una discontinuità


Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

L’equazione di conservazione della frazione di miscelamento sono lineari in Z. Pertanto Z può essere pensata come la differenza di due distribuzioni Z1 e Z2 ottenute dall’integrazione della equazione di conservazione unidimensionale con condizioni iniziali come quelle descritte dalla linea continua nel caso 1 e 2. La frazione di miscelamento è quindi data dall’equazione sul lato destro del riquadro e cioè dalla differenza di due funzioni errore determinate sulle variabili adimensionalizzate \xi_1=\frac x{\delta_1} e  \xi_2=\frac{(x-\Delta_n)}{\delta_2}

Nel caso in cui Δn tenda all’infinito erf(ξ2)=-1 per cui Z si distribuisce come nel caso dello strato diffusivo isolato e cioè

Z=\frac 1 2(1+erf(\xi))

In quest’ultimo caso il flusso diffusivo,  attraverso una superficie posizionata ad x=0 ed unitaria al tempo t=0 può essere ottenuto attraverso la seguente equazione

J_{\Delta_n\rightarrow\infty}=-\rho D\frac{\partial Z}{\partial x}SR

Infatti per la legge di Fick nel caso non stirato il flusso diffusivo è -\rho D\frac{\partial Z}{\partial x}

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

Ricordando le formule di derivazione della funzione errore si ottiene che:

\frac d{d\xi}erf(\xi)=\frac 2{\sqrt\pi}e^{-\xi^2}

\frac{d\xi}{dx}=\frac d{dx}\left(\frac x\delta\right)=\frac 1\delta

\frac{\partial Z}{\partial x}\biggl |_{\xi=0}=\frac{\partial \xi}{\partial x}\biggl |_{\xi=0}=\frac 12 \left(\frac 2{\sqrt\pi}\right) e^{-\xi^2}\biggl |_{\xi=0} * \frac 1 \delta=\frac 1{\sqrt\pi}\frac 1 \delta

Per cui il flusso diffusivo, nel caso di strato isolato, può essere espresso come:

J_{\Delta_n\rightarrow\infty}=-\rhoD\frac 1 {\sqrt\pi}\frac{SR}{\delta_m}

Combustione controllata dalla diffusione dei reagenti

\frac{\partial z}{\partial x}=\frac 1 2 \left(\frac{\partial erf(\xi_1)}{\partial\xi_1}\frac{\partial\xi_1}{\partial x}-\frac{\partial erf(\xi_2)}{\partial\xi_2}\frac{\partial\xi_2}{\partial x}\right)=\frac 1 2 \left(\frac 2 {\sqrt\pi}e^{-\xi_1}\frac 1 {\delta_1}-\frac 2{\delta_1}e^{-\xi_2}\frac 1 {\delta_2\right)}=

=\frac 1{\sqrt\pi}\frac 1\delta\left[1-\exp\left(-\frac{\Delta_n}\delta\right)\right]

\delta_1=\delta_2

J_{\Delta_n}=-\rhoDSR\frac{\partial Z}{\partial x}=-\frac{\rho D}{\sqrt\pi}\frac{SR}{\delta_n}\left[1-\exp\left(-\frac{\Delta_n}\delta\right)\right]

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