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Antonio Cavaliere » 14.Fiamme a diffusione multidimensionali: classificazione

Flussi concorrenti stazionari

Sono qui riportati tre casi di fiamma a diffusione per il loro rilevante interesse in tecnologia e nella ricerca.
In figura sono schematizzati tre immissioni di combustibile intorno ad un asse (o un piano) di simmetria centrale. Pertanto la frazione di miscelamento sarà distribuita in tutti e tre i casi come indicato nei tre diagrammi Z contro r.
Z sarà unitario all’uscita del confinamento centrale e zero in periferia. Il flusso centrale è uniforme e pari a u₀ⁱ , ed è minore, uguale o maggiore della velocità uniforme del flusso esterno (u₀^e).

Flussi concorrenti stazionari

In tutti e tre i casi sotto le ipotesi di stazionarietà, effetti di galleggiamento nulli, completa isobaricità, densità costante e Pr=Le=Sc=1, l’equazione di conservazione di quantità di moto, o frazione di miscelamento sono esattamente le stesse e sono risolvibili analiticamente.

Nel primo caso la soluzione ottenuta da Spalding e Schlichting presenta delle isosuperfici. Una di queste isosuperfici (a Z=Z_st) sotto l’ulteriore ipotesi di velocità infinita rappresenta la zona dove avviene il rilascio di calore (linea ondulata).

Flussi concorrenti stazionari

In questo caso si può dimostrare che la velocità lungo l’asse di simmetria (uc dove il pedice c sta per linea centrale) o la frazione di miscelamento lungo l’asse Z_c possono essere espresse come:

$\frac{u_{c} }{u_{0} } =\frac{1}{x} \left(\frac{3}{4} I_{u} \right)=\frac{1}{x} \left[\frac{3}{4} \left(\frac{1}{2\nu } u_{0}^{2} r_{0}^{2} \right)\right]$

$\frac{Z_{c} }{Z_{0} } =\frac{1}{x} \left(\frac{3}{4} I_{z} \right)=\frac{1}{x} \left[\frac{3}{4} \left(\frac{1}{2\nu } u_{0}^{2} r_{0}^{2} \right)\right]$

Si può notare che la frazione di miscelamento può essere ottenuta da qualsiasi variabile conservativa β. In condizioni di combustione β può essere una variabile di Zeldovich, ottenuta come la combinazione lineare delle frazioni di massa di combustibile ed ossidante con costanti di proporzionalità uguali ai coefficienti stechiometrici. Infine si può dimostrare che la distanza dall’ugello Z_f, per cui la fiamma si richiude sull’asse si simmetria è Z_f=0.25Re_d r₀/Z_st o in altri termini che l’altezza della fiamma è proporzionale alla portata di combustibile.

Flussi concorrenti stazionari

Il secondo caso, descritto dallo schema riportato nella parte centrale del riquadro, è quello classico trattato da Burke e Schumann.
In questo caso, tutto il sistema è confinato, la velocità del combustibile e dell’ossidante sono uguali. Il rapporto tra le portate può essere cambiato solo variando il rapporto delle aree di passaggio.
Nel caso questo rapporto sia maggiore di quello stechiometrico si dimostra che la fiamma si richiude sull’asse (linea ondulata 1) e si chiama “sopraventilata”; nell’altro caso la fiamma si apre e si estende fino ad intercettare il confinamento esterno (linea 2) e prende il nome di “sottoventilata”.

Flussi concorrenti stazionari

Nell’ultima configurazione, scia con ricircolo, la velocità del combustibile è più bassa di quella esterna del comburente.

A seconda del rapporto di velocità la distribuzione delle frazioni di miscelamento può essere simile a quella della prima configurazione o può avvicinarsi di più a quella di una scia con due vortici controrotanti intorno all’asse (o piano) di simmetria.

In genere vi è una ricircolazione verso l’interno di prodotti di combustione perché la fiamma si stabilizza sulla periferia.

Fiamme triple

La fiamma tripla è una struttura che ha caratteristiche sia della fiamma premiscelata che di quella a diffusione. Lo schema bidimensionale riportato nella figura a lato sintetizza tale struttura.

Le linee sottili rappresentano le isosuperfici a diversi valori di frazione di miscelamento Z. La linea tratteggiata è l’isosuperficie relativa ad una Z stechiometrica.

Su tale distribuzione di Z si può instaurare una fiamma che è rappresentata in figura dalla zona nero-scura a forma di freccia. In questa avviene il rilascio di calore per ossidazione del combustibile innescata con diversi meccanismi.

Schemi di fiamme triple

Fiamme triple

Nel punto triplo situato all’apice della fiamma, sulla isosuperficie stechiometrica, la combustione si propaga con una fiamma premiscelata.

Il fronte di fiamma si incurva nelle zone più ricche e più povere di combustibile, perché in queste condizioni la velocità di propagazione laminare di fiamma è sempre più bassa di quella che si ottiene lungo Z=Z_st.

Questa fiamma premiscelata curva lascia alle sue spalle al suo passaggio due regioni in cui vi sarà un residuo di combustibile o di ossidante, rispettivamente nella zona ricca e povera. Pertanto lungo l’isosuperficie stechiometrica si instaura una fiamma a diffusione che completa l’ossidazione del combustibile o comburente in esubero rispetto allo stechiometrico.

Nella parte inferiore della figura precedente vengono riportati quattro schemi di fiamma tripla. La prima a sinistra presenta il ramo relativo alla fiamma premiscelata relativamente piatto.

Fiamme triple

Questa condizione si realizza quando la miscela è quasi omogenea per cui le isosuperfici sono molto distanziate tra loro.

All’estrema destra è invece rappresentato il caso in cui il ramo premiscelato è molto curvo, praticamente parallelo al ramo diffusivo. E’ questa la condizione in cui i gradienti di Z intorno alla Z_st sono molto forti.

Per giustificare quantitativamente i regimi in cui si verificano fiamme triple con diverso grado di curvatura del ramo premiscelato, è invalso l’uso di far ricorso al parametro di stratificazione B.

$B=\frac{I_{f} }{\delta _{r} } \propto \sqrt{\frac{\chi }{\varepsilon } }$

Questo è il rapporto tra lo spessore lf della fiamma premiscelata (in condizioni stechiometriche e non stirate) e lo spessore dello strato di miscelamento diffusivo σ_m.

Fiamme triple

$l_{f} =\frac{\alpha }{v_{f} } \propto \sqrt{\frac{\alpha }{\varepsilon } }$

La prima grandezza dipende solo dalla composizione e dallo stato termodinamico della miscela ed è una misura della velocità di reazione media (ε).
La seconda grandezza dipende dall’evoluzione fluidodinamica della miscela e dà conto della sua stratificazione.

$\delta _{r} \propto \delta _{m} =\sqrt{4\alpha t} *\gamma \propto \sqrt{\frac{\alpha }{\chi } }$

Lo spessore δ_m è proporzionale a (4αt)^0.5 a meno di un fattore di schiacciamento γ uguale a
$\frac{\sqrt{\overline{SR^{2} }} }{SR}$

Esso è anche proporzionale alla velocità di dissipazione χ .

Fiamme triple

Per B uguale a zero si ottiene la struttura con ramo premiscelato quasi piatto descritto prima, la velocità di propagazione di fiamma è positiva ed è maggiore di v_f. Per B circa uguale ad 1 la curvatura e la zona coinvolta nella fiamma a diffusione sono delle stesse dimensioni.

All’aumentare di B si ottengono due valori notevoli B₀ e B_q. In corrispondenza del primo la velocità di propagazione della fiamma diventa negativa, mentre per B= B_q si ha l’estinzione della fiamma tripla. La fiamma tripla è la struttura che assicura la stabilizzazione di una fiamma a diffusione laminare “staccata“.

Infine essa si propaga in avanti o indietro (cioè verso i gas incombusti o combusti) se lungo la isosuperficie stechiometrica la velocità di dissipazione X varia in modo tale che ottenga valori superiori a quelli associati all’estinzione della fiamma.

Singoli vortici

L’evoluzione cinematica di un’interfaccia può essere schematizzata come nella sequenza della figura seguendo i riquadri da a) a d). L’arrotolamento di una protuberanza che fuoriesce dal mezzo, rappresentato con colore nero è accompagnato da un ripiegamento più complesso dello strato diffusivo.

Schema di evoluzione di un vortice

Singoli vortici

Nel primo riquadro sia le isosuperfici rappresentate con linea continua che l’isosuperficie corrispondente alla frazione di miscelamento stechiometrica, rappresentata con linea tratteggiata, sono appena ondulate.

Nel riquadro b) l’insieme di queste linee seguono l’arrotolamento della interfaccia, per cui si potrebbe pensare che lo strato diffusivo possa essere descritto dal caso stirato unidimensionale instazionario.

In realtà, rispetto a questo modello semplificato, entrano in gioco diversi fattori come i) la curvatura delle isosuperfici ii) l’interazione tra strati diffusivi contigui iii) la distribuzione, fino al possibile annichilimento della isosuperficie, dello stiramento lungo la isosuperficie stechiometrica iv) l’espansione dei gas dovuta al rilascio del calore. Tutti questi fattori, a loro volta, entrano in gioco in maniera differente a seconda delle condizioni iniziali dell’evoluzione del vortice o, in altre parole, a seconda di quanto è spesso lo strato diffusivo al momento dell’inizio del ripiegamento.

Coppie di vortici

Esistono due tipi di coppie di vortici bidimensionali. Quelli controrotanti rappresentati nei riquadri a) e b) e quelli co-rotanti dei riquadri c) e d). L’interesse nei primi risiede nella possibilità di realizzare sperimentalmente degli impulsi che li generino in campi di moto laminare ben definiti. Infatti sono stati impiegati in alcuni lavori sperimentali ed hanno dato luogo a due tipi di studi legati a getti pulsati di combustibile (riquadro a) o a vortici viaggianti sia all’interno del combustibile (riquadro b) che all’interno del comburente.

Schema di evoluzione di una coppia di vortici

Coppie di vortici

Nel caso a) l’interfaccia (confine della zona tratteggiata) è a struttura spiraliforme e la fiamma a diffusione rappresentata con linea tratteggiata in corrispondenza della isosuperficie stechiometrica segue la dinamica dell’interfaccia. Il caso descritto in b) differisce dal caso a) perché vi è un intervallo di tempo iniziale in cui la fiamma a diffusione risente del vortice solo come ondulazione e stiramento. E’ interessante notare come la coppia di vortice, a differenza del singolo vortice, presenta una forte tendenza all’estinzione della fiamma a diffusione. Questa caratteristica è in comune con il caso dei vortici co-rotanti del riquadro c).

Il caso dei soli due vortici co-rotanti, schematizzato nel riquadro c) (a differenza del caso con vortici controrotanti) è di difficile realizzazione sperimentale ma vi sono diverse rilevazioni di questa struttura in getti “transizionali” nello strato di miscelamento dove sono forti i gradienti di velocità. Generalmente l’evoluzione di vortici di questo tipo è una crescita con più spire oppure un accoppiamento con il vortice che lo precede o lo segue. La coppia dei vortici può essere a sua volta schiacciata o ripiegata come se si trattasse di un’unica struttura. E’ chiaro che uno schiacciamento di uno (o più vortici) porta all’avvicinamento delle interfaccie e di conseguenza accelera l’annichilimento delle isosuperfici.

Sistemi bidimensionali piani quiescenti

Una distribuzione random della frazione di miscelamento in condizioni quiescenti si può ottenere da un immissione di combustibile in un campo di moto turbolento o in un campo di moto laminare con caratteristiche caotiche-lagrangiane. Dopo l’arresto del campo di moto si ottiene una distribuzione di composizione random che prende anche il nome di turbolenza “fossile” nel senso che è appunto un residuo della vera e propria turbolenza. Questa composizione non uniforme è interessante nel caso della combustione perché è soprattutto la distribuzione del ∇Z che regola il rilascio di calore. Quando ∇Z è molto basso la fiamma è in equilibrio chimico, mentre quando ∇Z (o χ o B ) è molto alto la fiamma tende ad estinguersi o a non ignirsi.

Campo delle frazione di miscelamento. La curva tratteggiata rappresenta una superficie stechiometrica. La curva a tratto continuo rappresenta il luogo dei punti dove è avvenuta la reazione.

Sistemi bidimensionali piani quiescenti

Negli esempi a) e b) riportati nel riquadro, si immagina che l’ignizione avvenga nei punti contrassegnati con x e che fiamme triple si dipartano da questi punti. L’ignizione può avvenire sia per autoignizione se la temperatura ha superato una predeterminata soglia di temperatura, sia per immissione esterna di altre forme di energia come ad esempio una scintilla.

Dopo una fase di transizione dominata da un’evoluzione esplosiva – deflagrativa dei centri di innesco, le fiamme triple viaggiano lungo le isosuperfici stechiometriche (indicate in figura con tratteggio nella miscela fresca e con linea continua nella miscela combusta).

Nell’esempio a) queste superfici sono tutte connesse per cui dalle biforcazioni fuoriescono i rami su cui viaggiano le fiamme triple con caratteristiche forme a fungo rappresentate con colorazione nera più spessa nella zona dove rilasciano calore.

Nel caso in cui le isosuperfici non siano connesse come nell’esempio b), le strutture delle fiamme triple sono osservabili solo nelle zone attraversate da isosuperfici stechiometriche che intercettano l’innesco.

E’ plausibile supporre che se la fiamma tripla fosse vicino a isosuperfici che sono nei limiti di infiammabilità, siano possibili la formazione di fronti deflagrativi a forma di arco come quelli tracciati in figura.

Isosuperficie ed interfaccia progressiva

L’esempio qui riportato è usato per definire alcune grandezze di rilievo nella classificazione dei regimi di miscelazione. Una semplice configurazione piana è usata come confinamento del flusso. Questa consiste in un canale principale con un rapporto altezza lunghezza di 1:3, nel quale l’ingresso del flusso è suddiviso in 17 più piccoli canali tutti di 3 mm di altezza. Si immette nel flusso centrale un flusso con velocità 10 volte maggiore degli altri (circa 1.4 m/s), così che il numero di Reynolds per questo è di 288. Quando il flusso sviluppa una piena condizione instazionaria, il canale centrale è inseminato da un tracciante.

Rappresentazione delle isosuperfici progressive

Isosuperficie ed interfaccia progressiva

La simulazione dell’equazione di trasporto è ottenuta usando un approccio tipo volume di controllo. L’evoluzione di un passivo non diffusivo tracciante è simulata dall’uso di un approccio lagrangiano. Il flusso è inseminato con particelle allo stesso punto nel canale centrale.

L’interfaccia è definita come un insieme di particelle che hanno lo stesso punto di inseminazione. Le isosuperfici sono invece relative alla soluzione dell’equazione di trasporto su un fissato volume di controllo. In questo caso, una frazione di massa di valore unitario è distribuita lungo i punti della sezione di ingresso del canale centrale. Le specie sono trasportate e diffuse (per un dato numero di Schmidt) lungo il canale centrale.

Allo scopo di dare un chiaro significato all’analisi dell’interfaccia progressiva e dell’isosuperficie, si usa considerarla a frazioni di miscelamento costanti.

E’ interessante analizzare, nella figura precedente, la sequenza dei percorsi della isosuperficie (disegnate con linee solide) per Z=0.05, a tempi di residenza consecutivi. Esse sono spesso simili per i cinque casi presentati e sono linee diritte e quasi parallele nella prima parte a sinistra della linea verticale. Poi esse si arrotolano nella parte centrale ed eventualmente procedono parallele vicino al confine del flusso.

Isosuperficie ed interfaccia progressiva

La linea verticale nera che si muove con il tempo, verso il lato destro della sezione, interseca il più lontano punto che guida dall’uscita del getto. Le linee tratteggiate sono invece completamente dietro questo leading point e si estendono molto col passare del tempo. L’isosuperficie progressiva è la parte di isosuperficie a Z=0.05 che sta sulla sinistra della linea verticale nera, cioè è la parte di isosuperficie che segue il leading point.

L’estensione delle interfacce progressive non può essere valutata in questi modelli con una indagine visuale, ma solo grazie ad una valutazione quantitativa rappresentata nella seconda figura, nella quale sono riportate le aree della interfaccia progressiva e delle isosuperfici progressive a Z=0.05, 0.38, 0.5 e 0.95. L’isosuperficie progressiva a Z=0.05 (curva 2) e Z=0.5 (curva 3) mostrano lo stesso andamento dell’interfaccia progressiva fino a metà dell’intero tempo di residenza. Dopo questo tempo, che sarà chiamato “splitting time”, mostrano un andamento completamente diverso, infatti sono più basse dell’interfaccia progressiva con una leggera tendenza a salire. L’unica differenza con la curva 4 è che lo “slitting time” è più piccolo di quello della isosuperficie progressiva a Z=0.5 e t=0.05. Infine la curva 5 è relativa all’intera frazione di miscelamento a Z=0.38 che è basata sulla portata massica dei canali centrali e periferici.

Classificazione dei regimi di miscelamento

Una classificazione dei regimi di miscelamento può essere fatta qui con l’aiuto della figura nel riquadro. Questa può essere vista come un diagramma di flusso fisico e logico basato sull’analisi della seconda figura precedente.

Diagramma logico della relazione dei regimi di miscelamento con isosuperficie progressive

Classificazione dei regimi di miscelamento

Il primo test |S_int – S_iso,Zm|≠ε considera lo “splitting time” t_s relativo alla frazione di miscelamento totale. Prima di t_s l’interfaccia progressiva e l’isosuperficie sono coincidenti così che l’evoluzione del miscelamento molecolare può essere analizzata in relazione all’interfaccia. In questo caso lo stiramento e l’arrotolamento coinvolgono entrambe le superfici, esse sono praticamente uguali tanto che |S_int – S_iso,Zm|<ε.Definiamo un regime come “regime di miscelamento-mescolamento accoppiato” quando il flusso soddisfa questa condizione. Invece, quando la differenza tra l’area dell’interfaccia progressiva e dell’isosuperficie progressiva è più grande di un fissato convenzionale valore ε (|S_int – S_iso,Zm|>ε)il flusso è classificato come “regime di miscelamento-mescolamento disaccoppiato”. Un’ulteriore divisione si può ottenere nella categoria del “regime di miscelamento-mescolamento accoppiato” con un criterio basato sulla stessa differenza, prima menzionata, nel quale l’isosuperficie progressiva è relativa al tipico valore della periferia dello strato di miscelamento. Il valore della frazione di miscelamento a Z_δ+=0.05 e Z_δ =0.95 possono essere considerati una ragionevole approssimazione di questi valori periferici. Quando la differenza è più piccola di un prefissato arbitrario piccolo valore ε* per entrambe le isosuperfici (relative a Z_δ+=0.05 e Z_δ =0.95), l’intero strato di miscelamento si sviluppa nelle vicinanze dell’interfaccia.

Classificazione dei regimi di miscelamento

Dunque, i flussi o parte di essi, che soddisfano questa proprietà, possono essere considerati appartenere ad un “regime di miscelamento ben identificato”. L’altro caso possibile è che |S_int – S_iso,Zδ|>ε*. In questo caso il flusso può essere classificato nel “regime di miscelamento non ben identificato” . Lo strato di miscelamento può scomparire sia a causa dell’annichilimento di superfici a proprietà costanti o a causa di uno stiramento positivo lungo la direzione del gradiente di frazione di miscelamento. In questo caso le superfici a Z costante si separano e non si ricongiungono per qualsiasi evoluzione cinematica. I flussi, che sono in queste condizioni, sono chiamati nella figura del riquadro, come flussi in “regime di strato di miscelamento separato”. Gli stessi tipi di commenti sono possibili per significative differenze tra l’interfaccia progressiva e l’isosuperficie progressiva relativa al valore dell’intera frazione di miscelamento Z_m. In questo caso i flussi sono classificati come “regimi di miscelamento-mescolamento disaccoppiato”, dunque i due processi sono totalmente non correlati e l’interfaccia non è più un riferimento per l’analisi di superfici con proprietà costanti. Anche in questo caso si può fare la divisione in due classi riferite all’annichilimento o alla separazione di isosuperfici. La prima classe è chiamata in analogia con la precedente “regime di miscelamento saturato”, la seconda “regime di miscelamento- mescolamento separato”.

Evoluzione e statistiche

La simulazione numerica diretta (direct numerical simulation DNS) è stata impiegata negli ultimi anni per ottenere indicazione sul comportamento d’insieme di alcuni parametri o grandezze che sono risultate essere di interesse nell’evoluzione delle strutture semplici.

Distribuzione di grandezze cinematiche sulla frazione di miscelamento

Evoluzione e statistiche

Ad esempio nella parte sinistra del riquadro, è schematizzata una condizione fluidodinamica,per condurre tali tipi di studio. Sono iniettati flussi gassosi A e B con frazione di miscelamento zero (a sinistra dello schema ossidante) e 1 (a destra combustibile), i due flussi sono perturbati dall’addizione di fluttuazioni turbolente isotrope ed omogenee con un predeterminato spettro di potenza L’evoluzione del flusso risultante è seguita, come detto, per mezzo di una simulazione diretta bidimensionale. Nel riquadro il pattern bidimensionale riportato sulla sinistra rappresenta tre isosuperfici a Z=0.25, 0.50 e 0.75 con linea spessa e varie superfici di isovorticità con linea sottile.

Sulla destra invece sono riportati:

a) la velocità di stiramento fluidodinamica contro la frazione di miscelamento Z con linea continua spessa per i valori ottenuti dalla sperimentazione numerica o con linea continua sottile se modellati come una costante.

$K_{\delta A,Z_{s} }^{V} =<\underline{\nabla }\cdot \underline{v}-\underline{n}\underline{n}:\underline{\nabla }\underline{v}>_{\delta A,Z_{s} }$

Evoluzione e statistiche

b) lo stiramento dovuto alla curvatura con linea punteggiata spessa ottenuta come somma di due termini come qui di seguito riportato

$<w\underline{\nabla }\cdot \underline{n}>_{_{\delta A,Z_{s} } } =-D<(\underline{\nabla }\cdot \underline{n})^{2} >_{\delta A,Z_{s} } -D<\underline{n}\cdot \underline{\nabla }(\left|\nabla Z\right|)\underline{\nabla }\cdot \underline{n}(\nabla Z)>$

rispettivamente con linea segmentata con tratto breve (per il primo termine) e con tratto lungo (secondo termine).

E’ immediato notare che il termine dovuto alla fluidodinamica è prevalente su quello relativo alla propagazione della parte di isosuperficie curva e che nel caso considerato (assenza di gradienti di velocità media) entrambe le velocità di stiramento sono approssimativamente costanti.

Questo tipo di comportamento si verifica anche per altri valori del rapporto stechiometrico.