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Antonio Cavaliere » 2.Mezzi gassosi multicomponenti reattivi


Sommario

  • Introduzione
  • Equazioni di bilancio
  • Flussi diffusivi
    • Produzione di specie chimiche
  • Testi consigliati

Introduzione

La presente lezione è dedicata alla definizione formale delle equazioni che descrivono l’evoluzione dei mezzi gassosi multicomponenti reattivi, nonchè all’elencazione delle ipotesi su cui tali equazioni si reggono. Tali equazioni sono quelle di bilancio, quelle costitutive del mezzo e quelle che descrivono la produzione delle specie chimiche. Tutte le equazioni presentate sono valide nell’ipotesi del continuo, di equilibrio termodinamico locale e di mezzo omogeneo gassoso.

Variabili primitive

Si definiscono preliminarmente le cosiddette variabili primitive. La loro conoscenza puntuale descrive completamente un processo di combustione nel senso che tutte le altre grandezze di interesse debbono poter essere derivate da esse. La definizione dell’insieme delle variabili primitive è in una certa misura arbitraria, perché essa si basa sulla misurabilità e sulla modellabilità delle variabili.

Variabili primitive

Le variabile primitive con cui sarà possibile descrivere i processi di combustione in mezzi omogenei trattati in queste lezioni sono;

  • la velocità euleriana  v
  • le frazioni di massa Yi
  • la densità ρ
  • la temperatura T

ad esse è facile associare una grandezza estensiva per la quale è possibile scrivere una equazione di bilancio. Queste sono:

  • la quantità di moto Mv
  • le masse delle singole specie Mi
  • la massa totale M
  • l’entalpia sensibile Hs

Frazione di massa

La frazione di massa, è riferita ad una generica specie presente nel sistema e che le specie considerate in queste lezioni, a meno di altra esplicita ridefinizione, saranno sempre molecole o radicali. In altre parole non si farà distinzione tra diverse configurazioni elettroniche e diversi stati energetici in riferimento ad una specie con prefissata composizione chimica. In un sistema multicomponente l’entalpia sensibile è la media pesata dell’entalpia sensibile associata alle singole specie.

h^s=\sum_iY_i\int^T_{T_0}c_{p_i}(T)dT

Grandezze estensive

Alle grandezze estensive si possono ancora associare le corrispondenti densità , ovverosia le grandezze per unità di volume, che verranno da ora in poi indicate con il simbolo {φ} quando non si voglia specificare quale di queste si stia trattando. Esse sono rappresentabili come un vettore di variabili del tipo:

{φ} = ρ v, ρ Yi , ρ, ρhs

con n+5 componenti. Infatti n sono le specie chimiche considerate, tre sono le componenti della velocità e due sono le rimanenti grandezze scalari ρ e ρhs .

Equazioni di bilancio

Per ognuna delle componenti del vettore è possibile scrivere una equazione di bilancio o di conservazione. Segnatamente seguendo l’ordine del vettore la forma di

\sum \dot{\rho_i}h_i^o

\frac{\partial \varphi}{\partial t}+\_\cdot (\underscore v\varphi)+\nabla\cdot J_{\hat v}=\dot{\varphi}

In sintesi la generica equazione di bilancio può essere specializzata nelle seguenti equazioni

\frac{\partial \rho}{\partial t}\hspace{2cm}+\undeline\nabla\cdot (\rho\underline v)\hspace{1cm}=\hspace{0,5cm}0\hspace{0,5cm}(2.4)

\frac{\partial\rho\underline v}{\partial t}\hspace{0,5cm}+\hspace{0,5cm}\underline\nabla\cdot(\rho\underline v\underline v)\hspace{0,5cm}+\hspace{0,5cm}\nabla\cdot J_v\hspace{0,5cm}=\hspace{0,5cm}-\underline\nabla p

\frac{\partial\rho Y_i}{\partial t}\hspace{0,5cm}+\hspace{0,5cm}\underline\nabla\cdot(\rho\underline v Y_i)\hspace{0,5cm}+\hspace{0,5cm}\nabla\cdot J_{Y_I}\hspace{0,5cm}=\hspace{0,5cm}\dot{\rho}_i

\frac{\partial\rho h^s}{\partial t}\hspace{0,5cm}+\hspace{0,5cm}\underline\nabla\cdot(\rho\underline v h^s)\hspace{0,5cm}+\hspace{0,5cm}\nabla\cdot J_{h^s}\hspace{0,5cm}=\hspace{0,5cm}-\sum\dot{\rho}_ih_s^o

Equazioni di bilancio


Flussi diffusivi

I flussi diffusivi di quantità di moto,di massa, di entalpia sono quantità espresse nel paragrafo precedente solo simbolicamente. Hanno le dimensioni della grandezza a cui si riferiscono per unità di superficie e di tempo. Essi debbono essere relazionati alle grandezze primitive nel caso si voglia ottenere un numero di equazioni di bilancio pari al numero delle variabili primitive.

Jv = – ρ ν ( v + T v)

JYi = ρ Dim ( Yi )

J hs = – ρα ( hs )


Flussi diffusivi

ν, Dim eα sono rispettivamente la diffusività cinematica, di massa e termica;hanno le dimensioni di una lunghezza al quadrato per unità di tempo , sono approssimativamente uguali tra di loro e valgono circa 10-5 m2s-1 per i gas bimolecolari e relativamente poco densi (come l’aria a temperatura e pressione atmosferica). Pertanto i numeri di Prandtl, Schmidt e Lewis (rapporti di coppie di diffusività) sono all’incirca unitari. La diffusività cinematica e termica di mezzi multicomponenti gassosi sono bene approssimate da formule basate su medie pesate del tipo

ν = (Σ mi ½ Χi νi) / mi ½ Χi )

α = mi ¹/³Χi αi)/ mi ¹/³Χi )

Al contrario la diffusività di massa di un’unica specie i-ma in una miscela di diverse specie gassose dipende in modo più complesso da effetti legati alle singole specie.

\frac 1 {D_{i,m}}=\sum(\chi_i/D_{i,j})}

Produzione di specie chimiche

La produzione è esprimibile in termini di concentrazioni molari come

\dot{\rho_i}=m_i\dot{C_i}=m_i\sum_j^tv_{ij}\dot{\omega_j}

dove v_{ij} é la differenza tra i coefficienti dei prodotti v_{ij}^{''} e dei reagenti v_{ij}^{'}‘ relativa alla specie i-ma associata alla reazione j-ma ed \dot\omega_j é la velocità di reazione relativa alla reazione j-ma, che può essere legata alla concentrazione dei reagenti tramite la seguente relazione fenomenologica:

\dit\omega_j=k_j\prod_k^SC_k^{v'_{jk}

infine kj detta costante specifica della velocità di reazione, é generalmente espressa in termini di legge del tipo Arrhenius, come

k_j=A_je^{(-E_j/RT)}

 

I materiali di supporto della lezione

Transport Processes in Chemically Reacting Flow Systems, D.E; Rosner, Butterworths, Boston, 1986. Theory of Laminar Flames, J.D. Buckmaster e G.S. Ludford, Cambridge University Press, 1982 Transport Phenomena, R.B. Bird, W.E. Stewart e C. Lightfoot, John Wiley, N.Y., 1960 Fundamental Mechanics of Fluids, I.G. Currie, McGraw-Hill, N.Y., 1974

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