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Antonio Cavaliere » 20.Vaporizzazione di gocce in condizioni subcritiche


Sommario

Vaporizzazione di una goccia in condizioni subcritiche:

  • goccia in ambiente quiescente
  • goccia in flusso uniforme a Reynolds elevato
  • condizioni instazionarie
  • miscele combustibili

Vaporizzazione di una goccia in condizioni supercritiche
Combustione di una goccia:

  • combustione subcritica
  • combustione transcritica e supercritica

Goccia in ambiente quiescente

Ipotesi del modello:

  • solo vaporizzazione, sistema chimicamente inerte
  • goccia isolata, singolo componente
  • simmetria sferica
  • trasporto di calore convettivo e diffusivo

Variabili considerate:

  • YF, frazione di massa del combustibile
  • YOX, frazione di massa dell’ossidante
  • cPT, entalpia sensibile

Goccia in ambiente quiescente

Fase gas

Bilancio combustibile

\frac{\partial\rho Y_F}{\partial t}+\frac 1 {r^2}\frac\partial{\partial r}(r^2\rho_guY_F)-\frac 1 {r^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\rho_gD_F\frac{\partial Y_F}{\partial r}\right)=0

Bilancio ossidante

\frac{\partial\rho_g Y_{0s}}{\partial t}-\frac 1 {r^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\rho_gD_{0s}\frac{\partial Y_{0s}}{\partial r}\right)=0

Bilancio termico

\frac{\partial\rho_g c_pT}{\partial t}+\frac 1 {r^2}\frac\partial{\partial r}(r^2\rho_guc_pT)-\frac 1 {r^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\rho_g\alpha\frac{\partial c_pT}{\partial r}\right)=0

Fase liquida

Bilancio termico

\frac{\partial\rho_LT}{\partial t}+\frac 1 {r^2}\frac{\partial(r^2\rho_Lu_Lc_LT)}{\partial r}-\frac 1{r^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\rho_L\alpha_L\frac{\partial c_LT}{\partial r}\right)=0

Goccia in ambiente quiescente

La formulazione delle condizioni al contorno è complicata dal fatto che l’interfaccia liquido-gas regredisce a causa dell’evaporazione.

L’ipotesi semplificativa, supportata da evidenze sperimentali, è che la velocità associata al moto convettivo dei flussi che si allontanano dalla goccia è molto maggiore della velocità di regressione dell’interfaccia.

Di conseguenza si può formulare l’ipotesi di stazionarietà della superficie della goccia e del campo di moto.

Goccia in ambiente quiescente


Goccia in ambiente quiescente

La perdita di massa di una goccia che evapora può essere espressa come

\dot{m}=\rho_L \frac\pi 6 \frac {dD^3}{dt} = \frac \pi 4 \rho_L \frac{dD^2}{dt}D.

Ne consegue che le due espressioni.

\dot{m} = K_1D \\frac {dD^2}{dt}=\beta_v

sono equivalenti, una volta fissato.

K_1=\frac \pi 4 \rho_L \beta_L.

Quindi i due processi evaporativi associati ai due esperimenti sono equivalenti e cioé l’evaporazione della goccia può essere considerata come un processo stazionario al pari di quello generato dalla iniezione continua. Questa particolare condizione in cui il diametro della goccia D é funzione del tempo, ma in cui la sua legge di variazione può essere pensata come una successione di processi stazionari viene detta approssimazione quasi-stazionaria. La ragione di questo comportamento risiede nel fatto che i flussi convettivi e diffusivi della fase gassosa, sono di ordini di grandezza più grandi dei termini instazionari.

Goccia in ambiente quiescente

Le equazioni di bilancio possono essere integrate, ottenendo
\beta_v=\frac{dD^2}{dt}=8 \frac{\rho_g}{\rho_L}\alpha_g \ ln(B+1)

con

B=S\frac {c_p(T_\infty - T_S)}{c_L(T_S - T_o)}=\frac {Y_{F_{\infty}}-Y_{F_{S}}}{Y_{F_{S}}-Y_{F_{0}}} = \frac {Y_{Ox_{\infty}}-Y_{Ox_{S}}}{Y_{Ox_{S}}-Y_{Ox_{0}}}

La perdita di massa di una goccia che evapora può essere espressa come

\dot m=\rho_L\frac \pi 6\frac{dD^3}{dt}=\frac \pi 4\rho_L\frac{dD^2}{dt}D

Ne consegue che le due espressioni

\dot m=K_1D\hspace{1cm} e\hspace{1cm}\frac{dD^2}{dt}=\beta_v

sono equivalenti, un volta fissato

K_1=\frac\pi 4\rho_L\beta_v

Goccia in ambiente quiescente

Dipendenza della velocità di vaporizzazione  dalla temperatura di ebollizione e ambiente a pressione atmosferica (fig. a sinistra), a pressione di 5 bar (fig. a destra), (Lefebvre A., “Atomization and Sprays”, Hemisphere Publishing Corp., N.Y., 1989).

Dipendenza della velocità di vaporizzazione dalla temperatura di ebollizione e ambiente a pressione atmosferica (fig. a sinistra), a pressione di 5 bar (fig. a destra), (Lefebvre A., "Atomization and Sprays", Hemisphere Publishing Corp., N.Y., 1989).


Goccia in ambiente quiescente

Un valore di massima della costante βv per un gasolio o un olio combustibile è

\beta_v=0.5 \cdot 10{-6} \ m^2 s^{-1}

Integrando la

\frac {dD^2}{dt}=\beta_v

si ottiene

D^2_0-D^2=\beta_v t

per cui si può stimare il tempo di completa evaporazione di una goccia come

t_v=D^2/\beta_v

Una gocciolina di 100 µm evaporerà in un tempo attorno ai 10 ms, mentre una più piccola di 10 µm sarà già scomparsa dopo 0.1 ms.

Gocce in flusso uniforme a Reynolds elevato

In generale la presenza di una velocità relativa liquido-gas tende ad esaltare i gradienti all’interfaccia, favorendo lo scambio di materia e energia, per cui le stime sulla velocità di evaporazione (ottenute sotto l’ipotesi di gas quiescente) vanno considerate conservative.
I tempi caratteristici dell’interazione aerodinamica sono almeno confrontabili con i tempi del processo di vaporizzazione.
Una stima empirica grossolana dell’effetto della perdita di simmetria dovuta al flusso gassoso è data dalla correlazione
.
\dot{m}=\dot{m}_{ss}(1+0.3Re^{0.5}Pr^{0.3})
.
da cui si ricava una maggiorazione massima di circa 10 volte della velocità di evaporazione. In realtà nelle condizioni reali dei combustori l’incremento è molto più contenuto e spesso non giustifica il ricorso a modelli più complessi che tengano conto degli effetti fluidodinamici.

Gocce in flusso uniforme a Reynolds elevato

Modello a film

La resistenza al trasporto diffusivo é concentrata in un ipotetico strato di spessore costante determinato dalla condizione fittizia che le proprietà nel film siano uniformi.

Abramzon B. e Sirignano W.A., Thermal Engineering Conference, Vol. I, ASME, Book No. 10219A, pg. 11, 1987

Abramzon B. e Sirignano W.A., Thermal Engineering Conference, Vol. I, ASME, Book No. 10219A, pg. 11, 1987


Gocce in flusso uniforme a Reynolds elevato

Modello a film

La resistenza al trasporto diffusivo é concentrata in un ipotetico strato di spessore costante determinato dalla condizione fittizia che le proprietà nel film siano uniformi.

Abramzon B. e Sirignano W.A., Thermal Engineering Conference, Vol. I, ASME, Book No. 10219A, pg. 11, 1987

Abramzon B. e Sirignano W.A., Thermal Engineering Conference, Vol. I, ASME, Book No. 10219A, pg. 11, 1987


Gocce in flusso uniforme a Reynolds elevato

Un’ulteriore dissimmetrizzazione del campo é generata quando il numero di Reynolds é molto alto. In questo caso anche il liquido all’interno della goccia può essere messo in moto dalle forze di trascinamento; questo campo interno viene comunemente schematizzato come una struttura vorticosa assialsimmetrica.

La circolazione del liquido incrementa lo scambio di energia e di massa nel liquido per cui i tempi di riscaldamento ed evaporazione diminuiscono. Dimensioni molto grandi delle gocce (>100 µm) e velocità relativa elevata (>50 ms-1) sono richieste per ottenere la circolazione interna in ambienti a pressione atmosferica dove la densità del gas é dell’ordine del Kg m-3.


Condizioni instazionarie

Il bilancio di energia all’interno della goccia durante la fase transitoria (in assenza di fenomeni convettivi perché non c’è evaporazione) è

\rho_L \frac {dc_pT}{dt}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \rho_L \alpha_L \frac {\partial T}{\partial r}\right)

Integrando si può valutare il flusso termico all’interfaccia come

q_L=4 \pi R^" \rho_L \alpha_L \frac {\partial T}{\partial r} \ ……….. Modello a conducibilità finita

Supponendo invece temperatura uniforme nella goccia durante il transitorio si ottiene

q_L=\rho_L c_L \pi \frac {D^3}{6} \frac {\partial T}{\partial t}………. Modello a conducibilità infinita

La variazione del diametro tende a seguire la legge del D2 solo dopo un intervallo di tempo in cui la goccia rimane, in prima approssimazione, delle stesse dimensioni.

La variazione del diametro tende a seguire la legge del D2 solo dopo un intervallo di tempo in cui la goccia rimane, in prima approssimazione, delle stesse dimensioni.


Miscele combustibili

Bilancio sulla specie i-esima \rho_L \frac {\partial Y_i}{\partial t}= \frac {1}{r^2} \frac {\partial}{\partial r} \left( r^2 \rho_L D_i \frac {\partial Y_i}{\partial r} \right) \ i=1...M-1

Bilancio termico \rho_L \frac {dc_p T}{dt}= \frac {1}{r^2} \frac {\partial}{\partial r} \left( r^2 \rho_L \alpha_L \frac {\partial c_pT}{\partial r} \right)

Velocità di evaporazione di una goccia di una miscela al 50% di n-esano (linea tratteggiata) e n-decano (linea tratto punto).
a) diametro iniziale 50 µm; b) diametro iniziale 6 µm.

Velocità di evaporazione di una goccia di una miscela al 50% di n-esano (linea tratteggiata) e n-decano (linea tratto punto). a) diametro iniziale 50 µm; b) diametro iniziale 6 µm.


Miscele combustibili


Miscele combustibili

Esperimenti su gocce con D > 200 µm immesse in un mezzo ad alta temperatura e con elevata capacità di riscaldamento.

Cenosfere.


Miscele combustibili

Esperimenti su gocce piccole immesse in un ambiente a temperatura relativamente bassa tale che l’ignizione ha luogo.
Pleosfere.


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