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Antonio Cavaliere » 20.Vaporizzazione di gocce in condizioni subcritiche

Sommario

Vaporizzazione di una goccia in condizioni subcritiche:

goccia in ambiente quiescente
goccia in flusso uniforme a Reynolds elevato
condizioni instazionarie
miscele combustibili

Vaporizzazione di una goccia in condizioni supercritiche
Combustione di una goccia:

combustione subcritica
combustione transcritica e supercritica

Goccia in ambiente quiescente

Ipotesi del modello:

solo vaporizzazione, sistema chimicamente inerte
goccia isolata, singolo componente
simmetria sferica
trasporto di calore convettivo e diffusivo

Variabili considerate:

Y_F, frazione di massa del combustibile
Y_OX, frazione di massa dell’ossidante
c_PT, entalpia sensibile

Goccia in ambiente quiescente

Fase gas

Bilancio combustibile

$\frac{\partial\rho Y_F}{\partial t}+\frac 1 {r^2}\frac\partial{\partial r}(r^2\rho_guY_F)-\frac 1 {r^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\rho_gD_F\frac{\partial Y_F}{\partial r}\right)=0$

Bilancio ossidante

$\frac{\partial\rho_g Y_{0s}}{\partial t}-\frac 1 {r^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\rho_gD_{0s}\frac{\partial Y_{0s}}{\partial r}\right)=0$

Bilancio termico

$\frac{\partial\rho_g c_pT}{\partial t}+\frac 1 {r^2}\frac\partial{\partial r}(r^2\rho_guc_pT)-\frac 1 {r^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\rho_g\alpha\frac{\partial c_pT}{\partial r}\right)=0$

Fase liquida

Bilancio termico

$\frac{\partial\rho_LT}{\partial t}+\frac 1 {r^2}\frac{\partial(r^2\rho_Lu_Lc_LT)}{\partial r}-\frac 1{r^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\rho_L\alpha_L\frac{\partial c_LT}{\partial r}\right)=0$

Goccia in ambiente quiescente

La formulazione delle condizioni al contorno è complicata dal fatto che l’interfaccia liquido-gas regredisce a causa dell’evaporazione.

L’ipotesi semplificativa, supportata da evidenze sperimentali, è che la velocità associata al moto convettivo dei flussi che si allontanano dalla goccia è molto maggiore della velocità di regressione dell’interfaccia.

Di conseguenza si può formulare l’ipotesi di stazionarietà della superficie della goccia e del campo di moto.

Goccia in ambiente quiescente

La perdita di massa di una goccia che evapora può essere espressa come

$\dot{m}=\rho_L \frac\pi 6 \frac {dD^3}{dt} = \frac \pi 4 \rho_L \frac{dD^2}{dt}D$ .

Ne consegue che le due espressioni.

$\dot{m} = K_1D \$ e $\frac {dD^2}{dt}=\beta_v$

sono equivalenti, una volta fissato.

$K_1=\frac \pi 4 \rho_L \beta_L$ .

Quindi i due processi evaporativi associati ai due esperimenti sono equivalenti e cioé l’evaporazione della goccia può essere considerata come un processo stazionario al pari di quello generato dalla iniezione continua. Questa particolare condizione in cui il diametro della goccia D é funzione del tempo, ma in cui la sua legge di variazione può essere pensata come una successione di processi stazionari viene detta approssimazione quasi-stazionaria. La ragione di questo comportamento risiede nel fatto che i flussi convettivi e diffusivi della fase gassosa, sono di ordini di grandezza più grandi dei termini instazionari.

Goccia in ambiente quiescente

Le equazioni di bilancio possono essere integrate, ottenendo
$\beta_v=\frac{dD^2}{dt}=8 \frac{\rho_g}{\rho_L}\alpha_g \ ln(B+1)$

con

$B=S\frac {c_p(T_\infty - T_S)}{c_L(T_S - T_o)}=\frac {Y_{F_{\infty}}-Y_{F_{S}}}{Y_{F_{S}}-Y_{F_{0}}} = \frac {Y_{Ox_{\infty}}-Y_{Ox_{S}}}{Y_{Ox_{S}}-Y_{Ox_{0}}}$

La perdita di massa di una goccia che evapora può essere espressa come

$\dot m=\rho_L\frac \pi 6\frac{dD^3}{dt}=\frac \pi 4\rho_L\frac{dD^2}{dt}D$

Ne consegue che le due espressioni

$\dot m=K_1D\hspace{1cm} e\hspace{1cm}\frac{dD^2}{dt}=\beta_v$

sono equivalenti, un volta fissato

$K_1=\frac\pi 4\rho_L\beta_v$

Goccia in ambiente quiescente

Dipendenza della velocità di vaporizzazione dalla temperatura di ebollizione e ambiente a pressione atmosferica (fig. a sinistra), a pressione di 5 bar (fig. a destra), (Lefebvre A., "Atomization and Sprays", Hemisphere Publishing Corp., N.Y., 1989).

Goccia in ambiente quiescente

Un valore di massima della costante βv per un gasolio o un olio combustibile è

$\beta_v=0.5 \cdot 10{-6} \ m^2 s^{-1}$

Integrando la

$\frac {dD^2}{dt}=\beta_v$

si ottiene

$D^2_0-D^2=\beta_v t$

per cui si può stimare il tempo di completa evaporazione di una goccia come

$t_v=D^2/\beta_v$

Una gocciolina di 100 µm evaporerà in un tempo attorno ai 10 ms, mentre una più piccola di 10 µm sarà già scomparsa dopo 0.1 ms.

Gocce in flusso uniforme a Reynolds elevato

In generale la presenza di una velocità relativa liquido-gas tende ad esaltare i gradienti all’interfaccia, favorendo lo scambio di materia e energia, per cui le stime sulla velocità di evaporazione (ottenute sotto l’ipotesi di gas quiescente) vanno considerate conservative.
I tempi caratteristici dell’interazione aerodinamica sono almeno confrontabili con i tempi del processo di vaporizzazione.
Una stima empirica grossolana dell’effetto della perdita di simmetria dovuta al flusso gassoso è data dalla correlazione
.
$\dot{m}=\dot{m}_{ss}(1+0.3Re^{0.5}Pr^{0.3})$
.
da cui si ricava una maggiorazione massima di circa 10 volte della velocità di evaporazione. In realtà nelle condizioni reali dei combustori l’incremento è molto più contenuto e spesso non giustifica il ricorso a modelli più complessi che tengano conto degli effetti fluidodinamici.

Gocce in flusso uniforme a Reynolds elevato

Modello a film

La resistenza al trasporto diffusivo é concentrata in un ipotetico strato di spessore costante determinato dalla condizione fittizia che le proprietà nel film siano uniformi.

Abramzon B. e Sirignano W.A., Thermal Engineering Conference, Vol. I, ASME, Book No. 10219A, pg. 11, 1987

Gocce in flusso uniforme a Reynolds elevato

Modello a film

La resistenza al trasporto diffusivo é concentrata in un ipotetico strato di spessore costante determinato dalla condizione fittizia che le proprietà nel film siano uniformi.

Abramzon B. e Sirignano W.A., Thermal Engineering Conference, Vol. I, ASME, Book No. 10219A, pg. 11, 1987

Gocce in flusso uniforme a Reynolds elevato

Un’ulteriore dissimmetrizzazione del campo é generata quando il numero di Reynolds é molto alto. In questo caso anche il liquido all’interno della goccia può essere messo in moto dalle forze di trascinamento; questo campo interno viene comunemente schematizzato come una struttura vorticosa assialsimmetrica.

La circolazione del liquido incrementa lo scambio di energia e di massa nel liquido per cui i tempi di riscaldamento ed evaporazione diminuiscono. Dimensioni molto grandi delle gocce (>100 µm) e velocità relativa elevata (>50 ms^-1) sono richieste per ottenere la circolazione interna in ambienti a pressione atmosferica dove la densità del gas é dell’ordine del Kg m^-3.

Condizioni instazionarie

Il bilancio di energia all’interno della goccia durante la fase transitoria (in assenza di fenomeni convettivi perché non c’è evaporazione) è

$\rho_L \frac {dc_pT}{dt}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \rho_L \alpha_L \frac {\partial T}{\partial r}\right)$

Integrando si può valutare il flusso termico all’interfaccia come

$q_L=4 \pi R^" \rho_L \alpha_L \frac {\partial T}{\partial r} \$ ……….. Modello a conducibilità finita

Supponendo invece temperatura uniforme nella goccia durante il transitorio si ottiene

$q_L=\rho_L c_L \pi \frac {D^3}{6} \frac {\partial T}{\partial t}$ ………. Modello a conducibilità infinita

La variazione del diametro tende a seguire la legge del D² solo dopo un intervallo di tempo in cui la goccia rimane, in prima approssimazione, delle stesse dimensioni.

Miscele combustibili

Bilancio sulla specie i-esima $\rho_L \frac {\partial Y_i}{\partial t}= \frac {1}{r^2} \frac {\partial}{\partial r} \left( r^2 \rho_L D_i \frac {\partial Y_i}{\partial r} \right) \ i=1...M-1$

Bilancio termico $\rho_L \frac {dc_p T}{dt}= \frac {1}{r^2} \frac {\partial}{\partial r} \left( r^2 \rho_L \alpha_L \frac {\partial c_pT}{\partial r} \right)$

Velocità di evaporazione di una goccia di una miscela al 50% di n-esano (linea tratteggiata) e n-decano (linea tratto punto). a) diametro iniziale 50 µm; b) diametro iniziale 6 µm.