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Antonio Cavaliere » 21.Vaporizzazione


Condizioni subcritiche

In condizioni subcritiche la vaporizzazione della singola goccia è ben rappresentata dalla legge:

D^2(t)=D_0^{2}-\beta_v \ t

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D0=Diametro iniziale

\beta_v= \frac{dD^2}{dt}=8 \ \alpha_g \ \frac {\rho_g}{\rho_l} \ ln(B+1)

\Downarrow

B= \frac {c_p(T_\infty-T_s)}{c_l(Ts-T_0)+\Lambda}

Evaporazione della goccia (subcritica)

Lato gas

\frac{\partial \rho Y_F}{\partial t}+\frac 1 {r^2}\frac\partial{\partial r}(r^2\rho_guY_F)-\frac 1 {r^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\rho_gD_F\frac{\partial Y_F}{\partial r}\right)=0

\frac{\partial\rho_gc_pT}{\partial t}+\frac 1 {r^2}\frac\partial{\partial r}(r^2\rho_guc_pT)-\frac 1 {r^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\rho_g\alpha\frac{\partial c_pT}{\partial r}\right)=0

Lato liquido

\frac{\partial\rho_Lc_LT}{\partial t}+\frac 1{r^2}\frac{\partial(r^2\rho_Lu_Lc_LT)}{\partial r}-\frac 1{r^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\rho_L\alpha_L\frac{\partial c_LT}{\partial r}\right)=0

Evaporazione della goccia (subcritica)

Condizioni al contorno

Ipotesi di quasi-stazionarietà:

\rho_g(u-\dot R)=\rho_L\dot R\hspace{0,5cm}\frac{\rho_L}{\rho_g}=\frac{u-\dot R}{\dot R}=\frac u {\dot R} - 1{\color{red}\Rightarrow}\frac{\rho_L}{\rho_g}^{O(10^3)}{\color{red}\Rightarrow} u/\dot R^{O(10^3)}

Il flusso diffusivo del combustibile, che fuoriesce dalla superficie del liquido, bilancia il trasporto convettivo della parte rimanente della miscela:

\rho_g(1-Y_F)(u-\dot R)+\rho_gD_F\frac{\partial Y_F}{\partial r}=0

Ossidante non si diffonde nel liquido per cui il flusso diffusivo compensa esattamente il flusso convettivo all’esterno della superficie:

\rho_gY_{Ox}(u-\dot R)-\rho_gD_{Ox}\frac{\partial Y_{Ox}}{\partial r}=0

Il calore entrante nella goccia viene in parte assorbito dal combustibile nel suo passaggio di stato (é l’entalpia latente) ed in parte diffonde all’interno della goccia:

R^2\rho_g(u-\dot R)\Lambda+R^2\rho_L\alpha_L\frac{\partial c_LT}{\partial r}-R^2\rho_g\alpha_g\frac{\partial c_pT}{\partial r}=0

Perché le condizioni critiche?

Molti sistemi di conversione di energia, come i motori diesel o le turbine a gas, operano in condizioni di alta temperatura ed alta pressione, spesso maggiori del punto critico del combustibile utilizzato.

  • nella camera di combustione di un motore diesel regnano una temperatura di circa 900K ed una pressione maggiore di 2 MPa
  • la temperatura e la pressione iniziali di un ciclo termodinamico con turbina a gas sono di circa 700 K e 1.5 MPa

In prossimità delle condizioni critiche il comportamento delle gocce cambia in modo significativo poichè cambiano le proprietà delle sostanze. In particolare cambia la dipendenza dei tempi caratteristici dai parametri ambientali.

Definizione di stato critico

Lo stato critico di una sostanza pura è identificato da una pressione ed una temperatura che rappresentano rispettivamente la più alta pressione (Pc) e la più alta temperatura (Tc) per le quali la sostanza considerata può esistere in condizioni di equilibrio liquido-vapore.

La fase vapore non è più distinguibile dalla fase liquida poiché le proprietà delle due fasi coincidono.

Tali proprietà assumono valori molto caratteristici, che pongono il comportamento dei fluidi critici a metà strada tra quello di un liquido e quello di un gas.

Proprietà di una sostanza in condizioni critiche

Difficoltà a raccogliere dati in condizioni critiche.

Comportamento non descrivibile in modo semplice per mezzo di modelli matematici.

Principio degli stati corrispondenti.


Sostanze pure

Nell’intorno del punto critico a piccole variazioni di pressione corrispondono significative variazioni di densità.

Isoterme sul piano (p, ρ) relative alla CO2 pura (Wenclawiak B., 1992).

Isoterme sul piano (p, ρ) relative alla CO2 pura (Wenclawiak B., 1992).


Sostanze pure

Compressibilità isoterma

\left( \beta = - \frac{1}{V_m} \left( \frac{\partial V_m}{\partial p} \right)_T = \frac1\rho \left( \frac {\partial \rho}{\partial \rho}\right)_T \right)

I forti gradienti di densità che si instaurano nell’intorno delle condizioni critiche per piccole variazioni di T e P determinano una significativa influenza del campo gravitazionale sul fluido stesso.

Molto importanti divengono, quindi, i moti dovuti a differenze di densità che determinano un netto miglioramento dei processi di scambio termico e di materia.

Andamento della compressibilità isoterma in funzione di ρr su curve parametriche nel rapporto ΔT=(T-Tc)/Tc (Sengers J., 1977)

Andamento della compressibilità isoterma in funzione di ρr su curve parametriche nel rapporto ΔT=(T-Tc)/Tc (Sengers J., 1977)


Sostanze pure

Opalescenza critica

Ai forti gradienti di densità corrispondono significative variazioni locali dell’indice di rifrazione che causano un incremento dell’intensità di luce diffusa elasticamente dal mezzo.

In queste condizioni la sostanza appare opaca.

A tale fenomeno fanno riferimento alcune tecniche ottiche basate sulla raccolta di luce diffusa elasticamente per la determinazione del comportamento delle sostanze in condizioni critiche.

Andamento della intensità relativa di luce diffusa elasticamente in funzione di  (ρ/ρ) su curve parametriche nel rapporto ΔT=(T-Tc)/Tc (Sengers J., 1977)

Andamento della intensità relativa di luce diffusa elasticamente in funzione di (ρ/ρ) su curve parametriche nel rapporto ΔT=(T-Tc)/Tc (Sengers J., 1977)


Sostanze pure

Il calore latente di vaporizzazione (Λ) per una sostanza pura dipende solo dalla temperatura (Reid R.C. et al., 1977). In particolare esso diminuisce all’aumentare di T fino ad annullarsi in corrispondenza del punto critico.

Il calore latente di vaporizzazione diviene particolarmente sensibile ad una variazione di temperatura per valori di T tali che il rapporto (T-T_c)/T_c risulta inferire a 0.1.

Andamento del calore latente di vaporizzazione in funzione della temperatura per diverse sostanze (Reid R.C. et al., 1977).

Andamento del calore latente di vaporizzazione in funzione della temperatura per diverse sostanze (Reid R.C. et al., 1977).


Sostanze pure

Andamento del calore specifico a pressione costante in funzione di  su curve parametriche nel rapporto T/Tc. (Sengers J., 1977).

Andamento del calore specifico a pressione costante in funzione di su curve parametriche nel rapporto T/Tc. (Sengers J., 1977).


Sostanze pure

Mentre la viscosità di un gas a pressione moderata aumenta con la temperatura, quella di un fluido denso decresce con T.

Viscosità dell’anidride carbonica in funzione della pressione su curve parametriche nella temperatura (McHugh M. et al., 1986).

Viscosità dell'anidride carbonica in funzione della pressione su curve parametriche nella temperatura (McHugh M. et al., 1986).


Sostanze pure

La tensione superficiale che decresce all’aumentare della temperatura e della pressione, fino ad annullarsi per P=Pc.

Un andamento analogo può essere riscontrato per la capillarità.

Il comportamento di queste due grandezze in prossimità del punto critico è quella che rende particolarmente interessante l’applicazione dei fluidi densi nella cromatografia.

Infatti, sfruttando i bassi valori di capillarità e di tensione superficiale, è possibile utilizzare colonne molto piccole con efficienza elevate.

Tensione superficiale e capillarità al variare della pressione (Sengers J., 1977).

Tensione superficiale e capillarità al variare della pressione (Sengers J., 1977).


Valori critici per alcune sostanze


Sistemi binari

In regime subcritico, la quantità di azoto disciolto nel n-pentano è molto piccola, decresce progressivamente all’aumentare della temperatura e diviene nulla in corrispondenza del punto di ebollizione del n-pentano.

Al variare della composizione della miscela, variano sensibilmente anche le condizioni di pressione e temperatura in corrispondenza delle quali il sistema raggiunge le condizioni critiche.

In particolare, all’aumentare della frazione molare di azoto disciolto nel n-pentano, cioè la solubilità della fase gas aumenta all’aumentare della temperatura.

La Tc della miscela diminuisce mentre la Pc aumenta.

Diagramma di equilibrio per il sistema n-pentano/azoto a varie pressioni (Hsieh K.C. et al., 1991).

Diagramma di equilibrio per il sistema n-pentano/azoto a varie pressioni (Hsieh K.C. et al., 1991).


Sistemi binari

Curve di equilibrio liquido-gas per il sistema ossigeno/idrogeno, a varie pressioni (Yang V. et al., 1995).

Curve di equilibrio liquido-gas per il sistema ossigeno/idrogeno, a varie pressioni (Yang V. et al., 1995).


Sistemi binari

In un sistema binario in condizioni subcritiche, per il quale la solubilità del gas nella fase liquida può essere ignorata, il calore latente di vaporizzazione dipende, come nel caso di una sostanza pura, solo dalla temperatura.

In condizioni di alta pressione, esso dipende anche dalla pressione.

Esso decresce all’aumentare della pressione.

Effetto della pressione sul calore latente di vaporizzazione del n-pentano, nel sistema n-pentano/azoto (Hsieh K.C. et al., 1991).

Effetto della pressione sul calore latente di vaporizzazione del n-pentano, nel sistema n-pentano/azoto (Hsieh K.C. et al., 1991).


Evaporazione delle singole gocce

In condizioni subcritiche la condizione di quasi stazionarietà si verifica sia per la legge di regressione della superficie sia per l’andamento della temperatura della goccia.

Quando le condizioni ambientali superano la Tc e la Pc del combustibile, la quasi-stazionarietà nel trasporto di materia non è più condizione necessaria e sufficiente affinchè sia verificata la quasi-stazionarietà nel trasporto di energia.

Infatti è possibile avere una temperatura variabile pur trovandosi in una zona in cui è ancora valida la legge del D2.
Figura in basso: Andamento di (D/Do)2 per una goccia di n-esano in azoto, in regime di vaporizzazione su curve parametriche nella pressione (Gilver S.D. e Abraham J., 1996).

Profilo temporale della temperatura superficiale di una goccia di n-esano in azoto, per differenti valori della pressione (Gilver S.D. e Abraham J., 1996).

Profilo temporale della temperatura superficiale di una goccia di n-esano in azoto, per differenti valori della pressione (Gilver S.D. e Abraham J., 1996).


Evaporazione delle singole gocce

Regimi di vaporizzazione di una goccia in funzione di Tr e Pr. (Givler S.D. et al., 1996)

Regimi di vaporizzazione di una goccia in funzione di Tr e Pr. (Givler S.D. et al., 1996)


Evaporazione delle singole gocce

Evoluzione di una goccia in funzione della temperatura e della pressione iniziali (Rosner et al., 1973)

Evoluzione di una goccia in funzione della temperatura e della pressione iniziali (Rosner et al., 1973)


Evaporazione delle singole gocce

Andamento di  in funzione di pr, su curve parametriche in  per gocce di n-eptano (a partire da Givler S.D. et al., 1996)

Andamento di in funzione di pr, su curve parametriche in per gocce di n-eptano (a partire da Givler S.D. et al., 1996)


Tempo di gasificazione

REGIME SUBCRITICO

  • E’ sempre possibile individuare la superficie della goccia
  • tg decresce all’aumentare della pressione poiché risente dell’andamento del calore latente: il processo è controllato dall’equilibrio di fase
  • t_g \propto p^{-0.4}

REGIME SUPERCRITICO

  • Non è possibile individuare la superficie della goccia ma solo di un salto di concentrazione di combustibile
  • controlla il processo di diffusione di massa
  • tg aumenta leggermente all’aumentare della pressione

REGIME TRANSCRITICO

  • tg diminuisce più rapidamente con P (t_g \propto p^{-1})
  • forza spingente del trasferimento di massa praticamente unitaria
Campi di esistenza dei differenti regimi di vaporizzazione in riferimento al tempo di vaporizzazione (Umemura A. et al., 1996).

Campi di esistenza dei differenti regimi di vaporizzazione in riferimento al tempo di vaporizzazione (Umemura A. et al., 1996).


Spray di gocce in condizioni supercritiche

L’interazione tra le gocce ha una notevole influenza sulle condizioni al contorno relative ai processi di scambio termico e di materia:

  • la diminuzione della temperatura ambientale dovuta ad una massiva vaporizzazione del combustibile e
  • l’aumento della frazione di combustibile nella fase gas dovuto alla presenza di numerose gocce

determinano una diminuzione delle forze spingenti dei meccanismi di trasporto.
E’ stato dimostrato (Jiang T.L. et al., 1994) che per spray diluiti, per i quali la distanza tra i centri delle gocce è 20 o più volte il diametro della singola goccia, il tempo di vaporizzazione è qualitativamente in accordo con quello ricavato dagli studi sulla singola goccia. In tal caso le gocce possono raggiungere le condizioni critiche.

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