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Gianmaria De Tommasi » 12.Controllo di Supervisione - Parte Prima


Sommario della lezione

  • Controllo supervisivo in presenza di eventi non-controllabili.
  • Controllo supervisivo in presenza di eventi non-osservabili – Supervisore parziale.

Controllo di Supervisione

Schema di riferimento per il controllo di supervisione.

Il supervisore S è una funzione che abilita alcuni eventi in funzione della parola osservata v

Il supervisore S è una funzione che abilita alcuni eventi in funzione della parola osservata v


Supervisore

Controllo di Supervisione

“Il supervisore S è una funzione che abilita alcuni eventi in funzione della parola osservata v

Pertanto il supervisore è un controllore dinamico, poichè l’azione di controllo non dipende solo dallo stato in cui si trova il processo da controllare, ma anche dalla traiettoria (sequenza di eventi) con la quale questo stato è stato raggiunto.

Notazione

Notazione

La funzione S(\cdot) indica la legge di controllo

S(v) indica l’azione di controllo da effettuare dopo l’esecuzione della parola v

Se G è il processo da controllare, allora S/G indica il sistema controllato (“a ciclo chiuso”)

Eventi controllabili e non-controllabili

Processo modellato come un automa a stati finiti

G=\bigl(X\,,E\,,f\,,\Gamma\,,x_0\,,X_m\bigr)

L’insieme degli eventi E può essere partizionato come segue
E = E_c\cup E_{nc}\,,\quad E_c\cap E_{nc}=\emptyset

  • E_c eventi controllabili (che possono essere disabilitati dal supervisore)
  • E_{nc} eventi non-controllabili (che NON possono essere disabilitati dal supervisore)

Condizione di ammissibilità 1/2

Condizione di ammissibilità del supervisore in presenza di eventi non-controllabili

In presenza di eventi non-controllabili il supervisore deve soddisfare la seguente condizione:

E_{nc}\cap\Gamma\bigl(f(x_0\,,v)\bigr)\subseteq S(v)

Il supervisore non può disabilitare eventi non-controllabili che sono ammessi nello stato raggiunto dopo l’esecuzione della parola v.

Condizione di ammissibilità 2/2

Se il supervisore è specificato in termini di eventi disabilitati dopo l’esecuzione della parola v S^{disable}(v), allora la condizione di ammissibilità si esprime come

S^{disable}(v)\cap E_{nc}=\emptyset

Linguaggi del sistema controllato

Linguaggi del sistema controllato

Il sistema controllato S/G è un anch’esso un sistema ad eventi discreti, pertanto è caratterizzato dal linguaggio generato e dal linguaggio marcato

Linguaggi \mathcal{L}\bigl(S/G\bigr) e \mathcal{L}_m\bigl(S/G\bigr)

\varepsilon\in\mathcal{L}\bigl(S/G\bigr)
\biggl[\Bigl(v\in\mathcal{L}(S/G)\Bigr)\ \mathrm{e}\ \Bigl(v\sigma\in\mathcal{L}(G)\Bigr)\ \mathrm{e}\ \Bigl(\sigma\in S(v)\Bigr)\biggr]\iff v\sigma\in\mathcal{L}(S/G)
\mathcal{L}_m(S/G):=\mathcal{L}(S/G)\cap\mathcal{L}_m(G)

Linguaggi del sistema controllato – Osservazioni

Osservazioni

  • \mathcal{L}(S/G)\subseteq\mathcal{L}(G)
  • \mathcal{L}(S/G) è chiuso rispetto ai prefissi \Rightarrow \overline{\mathcal{L}(S/G)}=\mathcal{L}(S/G)
  • \emptyset\subseteq\mathcal{L}_m(S/G)\subseteq\overline{\mathcal{L}_m(S/G)}\subseteq\mathcal{L}(S/G)\subseteq\mathcal{L}(G)

Sistema a ciclo chiuso bloccante

Visto che

\emptyset\subseteq\mathcal{L}_m(S/G)\subseteq\overline{\mathcal{L}_m(S/G)}\subseteq\mathcal{L}(S/G)\subseteq\mathcal{L}(G)

ne segue che in generale il sistema a ciclo chiuso può essere bloccante.

Pertanto il vincolo di non bloccaggio per il sistema a ciclo chiuso va imposto esplicitamente.

  • Se \mathcal{L}(S/G)\neq\overline{\mathcal{L}_m(S/G)} allora S/G sarà bloccante
  • Se \mathcal{L}(S/G)=\overline{\mathcal{L}_m(S/G)} allora S/G sarà non-bloccante

Esempio

Esempio

Sia
\mathcal{L}(G)=\overline{\bigl\{abc\bigr\}}\,,\quad\mathcal{L}_m(G)\bigl\{ab\bigr\}\,.
L’automa G è bloccante.

Si consideri il supervisore
S(\varepsilon)=\bigl\{a\bigr\}\,, S(a)=\bigl\{b\bigr\}\,, S(ab)=\emptyset

È facile verificare che S/G è non-bloccante.

Se l’evento c fosse non-controllabile allora la legge di controllo S(\cdot) sarebbe non ammissibile.

Eventi osservabili e non-osservabili

Un’altra possibile partizione dell’insieme degli eventi E è la seguente
E = E_o\cup E_{no}\,,\quad E_o\cap E_{no}=\emptyset

  • E_c eventi osservabili (che possono essere “misurati” dal supervisore)
  • E_{nc} eventi non-osservabili (che NON possono essere “misurati” dal supervisore)

Controllo di supervisione in presenza di eventi non-osservabili

Con P:E^\ast\mapsto E_o^\ast proiezione sull’insieme degli eventi osservabili
S_P(\cdot):P\Bigl[\mathcal{L}(G)\Bigr]\mapsto 2^E è la legge di supervisione in presenza di osservazione parziale.


Supervisore parziale – osservazioni

Osservazioni

Se v_1 e v_2 sono tali che P(v_1)=P(v_2) il supervisore attuerà la medesima azione di controllo.

S_P viene chiamato anche supervisore parziale (P-supervisor).


Condizione di ammissibilità per supervisori parziali 1/3

  • Sia t\in P\Bigl[\mathcal{L}(G)\Bigr] e S_P(t) l’azione di controllo corrispondente.
  • Se t=t'\sigma con \sigma\in E_o, allora tutte le parole P^{-1}(t')\bigl\{\sigma\bigr\} determinano la stessa azione di controllo S_P(t).
  • Anche tutte le continuazioni ammissibili di eventi non-osservabili determineranno la stessa azione di controllo.

Condizione di ammissibilità per supervisori parziali 2/3

Il linguaggio

L_t=P^{-1}(t')\bigl\{\sigma\bigr\}\Bigl(S_P(t)\cap E_{no}\Bigr)^\ast\cap\mathcal{L}(G)

contiene tutte le parole che determinano l’azione di controllo S_P(t).

Condizione di ammissibilità per supervisori parziali 3/3

Affinchè il supervisore parziale S_P(\cdot) sia ammissibile deve valere

E_{nc}\cap\Bigl[\cup_{v\in L_t}\Gamma\bigl(f(x_0\,,v)\bigr)\Bigr]\subseteq S_P(t)

Esempio

Sia
\mathcal{L}(G)=\overline{\bigl\{abc\bigr\}}\,,\quad\mathcal{L}_m(G)\bigl\{ab\bigr\}\,,
con E_{no}=\bigl\{b\bigr\} e E_{nc}=\bigl\{c\bigr\}.

Se b\in S_P(a)\Rightarrow c\in S_P(a) affinchè S_P(\cdot) sia ammissibile.

Linguaggi del sistema controllato da un supervisore parziale

Linguaggi \mathcal{L}\bigl(S_P/G\bigr) e \mathcal{L}_m\bigl(S_P/G\bigr)

\varepsilon\in\mathcal{L}\bigl(S_P/G\bigr)
\biggl[\Bigl(v\in\mathcal{L}(S_P/G)\Bigr)\ \mathrm{e}\ \Bigl(v\sigma\in\mathcal{L}(G)\Bigr)\ \mathrm{e}\ \Bigl(\sigma\in S_P\Bigl[P(v)\Bigr]\Bigr)\biggr]\iff v\sigma\in\mathcal{L}(S_P/G)
\mathcal{L}_m(S_P/G):=\mathcal{L}(S_P/G)\cap\mathcal{L}_m(G)

Osservazione: \mathcal{L}(S_P/G) e \mathcal{L}_m(S_P/G) sono contenuti in E^\ast e non in E_o^\ast essendo definiti prima della proiezione P.

I materiali di supporto della lezione

Capitolo 3, paragrafi 3.1 e 3.2, da Cassandras-LaFortune.

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